Гладков / Выдать 14 февраля 3013 / 1. Поверхность / 3.4. Поверхностные состояния и уровни / Электронные поверхностные уровни Ашкрофт и Мермин т1 с 366-369

2

Э лектронные поверхностные уровни, Ашкрофт и Мермин, т.1, с.366÷369

Электронные поверхностные уровни, Ашкрофт и Мермин, т.1, с.366÷369

ЭЛЕКТРОННЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ УРОВНИ¹⁾

При любой попытке детального описания поверхности твердого тела сле­дует учитывать то обстоятельство, что, кроме блоховских решений одноэле­ктронного уравнения Шредингера для обычного периодически повторенного кристалла, суще­ствуют другие решения с комплексными волновыми векторами, которые описывают уровни электронов, локализованных вблизи поверхности реального кристалла. При обсуждении объемных свойств мы имеем полное пра­во пренебрегать такими уров­нями. Отношение числа поверхностных уровней к числу блоховских уровней не превышает отношения числа поверхностных ато­мов к полному числу атомов в кристалле, которое для макроскопического об­разца равно примерно 10^–8. В резуль­тате поверхностные уровни дают прене­брежимо малый вклад в объемные свойства; исключение составляет лишь случай чрезвычайно малых образцов. Однако они довольно важны при определе­нии структуры кристаллической поверхности. Например, они должны учиты­ваться при всяком подлинно микроскопическом расчете структуры поверхно­стного двойного слоя.

Чтобы качественно понять причину возникновения подобных поверхно­стных уровней, вернемся к выводу теоремы Блоха, проведенному в гл.8.

Рассуждения, приводящие к блоховскому выражению

(r) = exp(ikr)u(r)], u(r + R) = u(r), (18.29)

не требуют, чтобы волновой вектор k был действительным. Это ограничение возни­кает позднее, при наложении периодических граничных условий Борна – Кармана. Такие граничные условия являются, однако, искусственным построе­нием, допусти­мым для бесконечного кристалла. При отказе от них можно най­ти гораздо больше решений уравнения Шредингера в бесконечном кристалле, имеющих вид

(r) = [exp(ikr)u(r)]exp(–r), (18.30)

где k теперь есть действительная часть волнового вектора, который может иметь и мнимую часть .

Волновая функция (18.30) неограниченно возрастает в направлении, про­тиво­положном , и спадает по экспоненте в обратном направлении. Поскольку плотность электронов всюду конечна, в бесконечном кристалле такие уровня невозможны. Если, однако, существует плоская поверхность, перпендикуляр­ная вектору , то можно попытаться сшить решение вида (18.30), нарастающее экспоненциально при подходе к поверхности, с решением, экспоненциально затухающим вне кристалла (фиг.18.9). В общем случае при заданной состав­ляющей вектора k, параллельной поверхности, такая сшивка возможна лишь для дискретного множества определен­ных значений  (как и в любой другой задаче, касающейся локализованных состоя­ний).

Дальнейшее обсуждение задачи выходит за рамки настоящей книги – нам пришлось бы вначале заново рассмотреть все свойства блоховских функций, не требуя действительности волнового вектора k, а затем исследовать вопрос о том, как подобные блоховские функции с комплексными волновыми векторами могут быть сшиты с экспоненциально спадающими волновыми функциями в пу­стом пространстве. Такие решения в приближении почти свободных электро­нов изучаются в задаче 2.

1⁾ Электронные поверхностные уровни обычно называют таммовскими уровнями (см. [4*]).— Прим. ред.