Гладков / Выдать 14 февраля 3013 / 1. Поверхность / 3.4. Поверхностные состояния и уровни / Теория слоя пространственного заряда Шалимова с 304-309

4

Т ЕОРИЯ СЛОЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА, Шалимова, с.304-309

Приповерхностная область полупроводника

10-2. ТЕОРИЯ СЛОЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА, Шалимова, с.304309

Поскольку в приповерхностной области полупроводника имеет место изгиб энергетических зон, то концентрация подвижных но­сителей заряда зависит от координаты в направлении, нормальном к поверхности (рис.10-1,б,в).

Для выяснения конкретного вида этих зависимостей необходимо решить уравнение Пуассона. В § 9-4 подобное решение проведено для случая обедненных слоев на кон­такте металл – полупроводник в пренебрежении вкладом неоснов­ных носителей заряда в так называе­мом приближении обедненного слоя Шоттки, которое приводит к квадра­тичной зависимости потенциала от координаты (9-52).

Это решение, од­нако, не описывает (x) для случая обогащенных и инверсионных слоев. Поэтому необходимо провести реше­ние уравне­ния Пуассона в общем виде, не пренебрегая вкладом в плот­ность объемного заряда подвиж­ных носителей заряда.

Прежде чем перейти к решению уравне­ния Пуассона, введем обозна­чения, принятые при рассмотрении поверхностных явлений и смысл которых поясняется рис.10-4. Удобно вести отсчет всех величин, характеризующих полупро­вод­ник в области пространственного заряда и вне ее, от F_i – уровня Ферми для собственного полу­пр­оводника [обычно F_i называют серединой запрещенной зоны, что, однако, полностью соответствует действи­тель­ности лишь в случае равенства эффективных масс плот­ностей состояния m*_dn и m*_dp (см. соотношение 4-88)].

Потенциал  определяется в общем случае:

e = F – F_i, (10-1)

где F – уровень Ферми для данного полупроводника.

Электро­статический потенциал в объеме полупроводника обозначим через _B, на его поверхности – через _s. Потенциал в произвольной точке пространствен­ного заряда (x) = (x) – _B, на поверх­ности его значение _s = _s– _B. Концентра­ции электронов и ды­рок в области пространственного заряда могут быть выражены че­рез  и  следующим образом:

n = N_cexp[–(E_c + U – F)/kT] = п₀exp(e_B/kT)exp[e(–_B)/kT] =

= n_iexp(e/kT). (10-2)

Так как U = –e (в соответствии с рис.10-1 и рис.10-4  < 0), то

p = p₀exp(–e/kT) =

= n_iexp(–e_B/kT)exp[e(–_B)/kT] =

= n_iexp(–e_B/kT). (10-3)

Поверхностные концентрации электронов и дырок

n_s = n₀exp(+e_s/kT) = n_iexp(+e_s/kT). (10-4)

p_s = p₀exp(–e_s/kT) = n_iexp(–e_s/kT). (10-5)

Из соотношений (10-2)  (10-5) очевидно, что < 0 при изгибе зон вверх и  > 0 при изгибе зон вниз. Если объемный _B и по­верхностный _s электроста­тические потенциалы имеют одинако­вые знаки, то приповерхностный слой обога­щен основными носи­телями заряда, если же _B и _s имеют разные знаки, то имеют ме­сто слои обеднения или инверсии; последний будет иметь место в том случае, когда электростатический потенциал s меняет знак и концентрация неосновных носителей заряда на поверхности больше, нежели основных (см. рис.10-4 и 10-1).

Уравнение Пуассона имеет вид:

d²(x)/dx² = –(x)/₀, (10-6)

где , ₀ – диэлектрическая проницаемость полупроводника и ва­куума соответст­венно.

Полагая, что при всех значениях (x) примесь N_a и N_d яв­ляются полностью ионизированными и равномерно распределены по всему объему полупроводника, для (x) при произвольном зна­чении х можно записать:

(x) = –e(n – p + N_a – N_d). (10-7)

Принимая во внимание условие электронейтральности для объема полупро­водника

n₀ – p₀ + N_a – N_d = 0, (10-8)

выражение (10-7) может быть трансформировано в

(х) = –e[(n – n₀) – (p – p₀)]. (10-9)

Используя (10-2) и (10-3), можно получить (x) в функции по­верхностного электростатического потенциала:

(x) = –e[n₀(e/kT – 1) – p₀(–e/kT – 1) ]. (10-10)

Введем обозначения

Y = e/kT;  = n₀/n_i = n_i/p₀ = exp(e_B/kT); L²_d = ₀kT/2e²n_i. (10-11)

• Величина Y есть безразмерный электростатический потенциал; Y отрицателен при изгибах зон вверх и положителен при изгибах зон вниз;

•  есть характеристика степени легирования полупровод­ника;  > 1 для полупровод­ника n-типа, этому соответствует _B > 0;  < 1 для полупроводника p-типа, объемный электроста­тиче­ский потенциал является величиной отрицательной;

• L_d по фи­зическому смыслу есть дебаевский радиус экранирования для собствен­ного полупроводника.

Используя обозначения (10-11) и подставляя (10-10) в (10-6), получаем:

2d²Y/dx² = L^–_d²[(e^Y – l) – ^–l(e^–Y – l)]. (10-12)

Граничные условия для решения (10-12) следующие:

при x = 0

Y = Y_s, (10-13)

а при х  

Y = 0 и dY/dx = 0. (10-14)

Первый интеграл (10-12) находим, используя тождество

(d (dY/dx)²)/dx = 2(d²Y/dx²)(dY/dx). (10-15)

Умножая правую и левую части уравнения (10-12) на dY/dx и ин­тегрируя, а затем из­влекая квадратный корень, получаем:

dY/dx = ±L_d^–1F(,Y) + C, (10-16)

где

F(,Y) = [(e^Y –1) – ^–1(e^–Y –1) + (^–1– l)Y]^1/2. (10-17)

Для отрицательных значений Y(dY/dx) > 0 и, следовательно, перед F (,Y) необходимо выбрать плюс; а для положительных значений Y перед F(,Y) необхо­димо выбрать знак минус.

Использование граничного условия (10-14) приводит к С = 0. Для энергетиче­ской диаграммы рис.10-4 Y < 0, поэтому

dY/dx = L_d^–1F(,Y). (10-18)

Определим полный положительный заряд Q_sp в приповерхност­ной области полупроводника. Используя соотношение для L_d и (10-18), будем иметь:

Q_sp = ₀^(x)dx = –(₀kT/e)_0^(d²Y/dx²)dx =

= (₀kT/e)(dY/dx)|_x=0 = 2en_iL_dF(,Y_s). (10-19)

Таким образом, величина заряда в приповерхностной области Qsp определя­ется значением поверхностного потенциала Ys и уров­нем легирования полупровод­ника (рис. 10-5).

В ходе зависимости Q_sp (Ys), определяемой из (10-17), можно выделить сле­дующие характерные участки. Для определенности будем полагать, что полупровод­ник n-типа, то есть >> 1, и доста­точно сильно легированный, так что  >> ^–1 .

1. При больших положительных значениях Y в соотношении (10-17) преобла­дающим является член e^Y, знак Q_sp отрицатель­ный и, следовательно, концентрация основных носителей заряда в приповерхностной области полупроводника выше, чем в объеме (n_s > n₀). Это режим обогащения (см. рис. 10-2).

2. При Y = 0 и Q_sp = 0, а значит изгиб зон отсутствует. Это случай «плоских зон».

3. При малых отрицательных Y [диапазон изменений Y опреде­ляется условием (1 + Y) > ^–1e^–Y] скорость убывания концен­трации основных носителей заряда – электронов больше скоро­сти нарастания концентрации дырок, вследствие чего приповерх­ностный слой полупроводника обедняется подвижными носите­лями заряда. Это режим обеднения (область 1, рис.10-1, a). Поло­жительный простран­ственный заряд в этом случае создается в ос­новном ионами донорной примеси.

Если вспомнить, что при выводе всех соотношений мы полагаем полную ионизацию примеси при любых значениях Y, то увеличе­ние Q_sp в этом диапазоне означает одновременное увеличение ши­рины области пространственного заряда, которое происходит до тех пор, пока преимущественный вклад в Q_sp не будет вно­сить дырки. Под действием поля, соответствующего отрицательным значениям Y (направление этого поля из полупроводника к поверх­ности), подвижные дырки формируют слой положительного объем­ного заряда, непосредственно прилегаю­щий к поверхности. Обра­зуется инверси­онный слой (область II, рис.10-1, а).

4. Условием образования инвер­си­онного слоя является преобла­дание члена ^–1e^–Y над всеми остальными чле­нами в соотношении (10-17). Здесь заряд Q_sp, как и в случае обогащенного слоя, экспо­ненциально возрастает с ростом Y.

График зависимости простран­ственного заряда Q_sp от величины без­размерного электростатического потен­циала Y_s, рассчитанный с исполь­зованием (10-17), представлен на рис.10-5 при  в качестве параметра.

Как уже отмечалось, в случае свободной поверхности и отсутст­вия внешних полей заряд в области простран­ственного заряда Q_sp равен и противополо­жен по знаку заряду в поверхностных состоя­ниях Q_ss. Величина и знак Q_ss опре­де­ляются характером поверх­ностных состояний (акцепторные или донорные), числом состоя­ний на каждом уровне и положением уровня Ферми на поверхности.

В принятых обозначениях на рис.10-4 e_s = F – F_i.

Если считать, что E_s есть энергия поверхностного уровня, отсчитанная от F_i, то поверхностный заряд Q_ss для полупроводника, имеющего, на­пример, поверхност­ные акцепторные уровни E_s с концентрацией N_s равен:

Q_ss = – eN_s/[exp(E_s – e_s)/kT + 1]. (10-20)

Следовательно, используя (10-18) и (10-20), можно записать:

Q_sp = 2en_iL_dF(,Y_s) = –Q_ss =

= eN_s/[exp(E_s – e_s)/kT + 1]. (10-21)

Выражение (10-21) можно использовать для нахождения зна­чения электро­статического потенциала свободной поверхности, если известны уровень легирова­ния полупроводника , концент­рация N_s и энергия E_s поверхностного уровня. При изу­чении поверхностных свойств полупроводников чаще приходится решать обрат­ную задачу – по известной величине Q_ss в функции Y_s ищутся (а точнее, подбира­ются) N_s и E_s. Для нахождения Q_ss(Y_s) используется наиболее распространенный метод исследова­ния параметров поверхности полупроводников – метод эффекта поля.

Для получения вида зависимости Y от x необходимо проинтег­рировать урав­нение (10-18) с граничными условиями Y = Y_s при x = 0 и Y = 0 при x  :

_Ys⁰dY/[F(,Y)] = x/L_d. (10-22)

Интеграл в (10-22) при F(,Y), в общем виде определяемый соотношением (10-17), не может быть вычислен в квадратурах. Поэтому для выяснения хода зависимости рассматривают частные случаи, в которых возможно получить явный вид зависимости Y от x.