- •1.Структура систем управления.
- •2.Управляемость динамических систем.
- •3.Наблюдаемость динамических систем. Соотношение двойственности.
- •4.Оценка вектора состояния линейной динамической системы. Наблюдатель Люенбергера.
- •5.Теорема Куна-Таккера, следствие из нее.
- •6.Теорема о числе переключений.
- •7.Условия трансверсальности.
- •8.Принцип максимума для задач управления стационарными системами с интегральным критерием качества.
- •9.Вывод условий принципа максимума для нестационарных задач управления с интегральным критерием качества.
- •10.Терминальные задачи управления.
10.Терминальные задачи управления.
В терминальных задачах управления критерий качества включает в себя терминальную оценку , которая характеризует статические свойства системы свойства систем, их ошибки.
Пусть состояние динамической системы описывается дифференциальным уравнением вида =. Критерий качества включает в себя терминальную и интегральную составляющую:
Будем считать, что конечное время не задано, а функция Pпо крайней мере дважды непрерывно дифференцируема поxи поt.
В силу этого, Pможно представить следующим образом:
Подставим это выражение в функционал:
Так как и заданы, то=const.
Управление, минимизирующее данный функционал от константы не зависит. Следовательно, данную задачу мы можем рассматривать как задачу управления с функционалом (*)
Задача свелась к задаче с интегральным критерием качества, решение которой уже известно. Запишем условие принципа максимума для приведённой задачи.
Пусть — оптимальный процесс, который переводит систему из состоянияв. Тогда найдётся функция,иconst, для которых оптимальная траектория определяется решением следующей системыДУ:
Здесь и— гамильтониан и допустимая функция для задачи с критерием качества(*).
Гамильтониан для приведённой задачи (**)
Также выполняются следующие условия:
1. Условие максимума
2. Условие трансверсальности
3. Поведение гамильтона вдоль оптимальной траектории. Если tfне задано:
если tf задано:
Введём в рассмотрение функцию следующего вида:
С учётом этой функции H (**) примет следующий вид
Где H — гамильтониан исходной задачи, который определяется следующим образом:
(***)
Рассмотрим, какому условию удовлетворяет вектор (t). Для этого продифференцируем условие его по времени:
Таким образом, получили условие (б) для исходной задачи.
Получим условие (а). Из соотношения (***) следует, что
Таким образом, условие (a) также получено.
1. Рассмотрим, какой вид принимает условие максимума по отношению к гамильтониану исходной системы.
Есть условие
для приведённой системы. А так как гамильтонианы исходной и приведённой системы связаны между собой соотношением
причём управление в не входит, то условие максимума сохраняется и для гамильтониана исходной системы
2. Выведем условие трансверсальности для исходной системы. Есть условие трансверсальности для приведённой системы
Из него необходимо вывести условие трансверсальности для исходной системы.
Воспользовавшись :
Если рассматривается двухточечная задача, то есть область цели — точка, то условие трансверсальности определяется только терминальной составляющей
Так как обычно полагают равным -1, условие трансверсальности принимает следующую форму:
3. Поведение гамильтониана вдоль оптимальной траектории.
У нас есть выражение для гамильтониана системы вдоль оптимальной траектории. Учитывая, что гамильтониан исходной и приведённой системы связан между собой следующим образом:
можем получить выражение для гамильтониана исходной системы.
Когда не задано,
Когда задано,
Замечание:
Если рассматривается задача Майера, в которой функционал состоит из одной терминальной составляющей, то гамильтониан и функция Гамильтона совпадают.
Поэтому все выражения для гамильтониана будут справедливы и для функции Гамильтона. Других различий между задачей Майера и только что рассмотренной задачей нет.
Сформулируем общий принцип максимума.
Пусть дана динамическая система, которая описывается дифференциальным уравнением вида
Задана область начальных и конечных состояний и и допустимы х управлений U.
Если — оптимальный процесс, в смысле минимума функционала
(+)
то найдётся и постоянная, относительно которых оптимальная траектория определяется решением следующей системы дифференциальных уравнений
гдеH— гамильтониан системы, имеющий вид
Также выполняются следующие условия:
1. Условие максимума
2. Условия трансверсальности
3. Поведение гамильтониана вдоль оптимальной траектории определяется соотношением
если не задано, формула А
если задано формула В
Замечание.Если ставится задача о максимуме функционала (+), то формула принципа максимума остаётся, но постоянная полагается неотрицательной (обычно её кладут равной единице).