- •1.Структура систем управления.
- •2.Управляемость динамических систем.
- •3.Наблюдаемость динамических систем. Соотношение двойственности.
- •4.Оценка вектора состояния линейной динамической системы. Наблюдатель Люенбергера.
- •5.Теорема Куна-Таккера, следствие из нее.
- •6.Теорема о числе переключений.
- •7.Условия трансверсальности.
- •8.Принцип максимума для задач управления стационарными системами с интегральным критерием качества.
- •9.Вывод условий принципа максимума для нестационарных задач управления с интегральным критерием качества.
- •10.Терминальные задачи управления.
5.Теорема Куна-Таккера, следствие из нее.
Теорема Куна-Таккера. Пусть и дифференцируемы по в области U и - точка максимума для, при ограничении 0. Тогда существуют такие неотрицательные числа0, что выполняется следующее равенство:
Причем=0 для всехiдля которых.( то есть для неэффективных ограничений.) Причем>0 для всехiдля которых.( то есть для эффективных ограничений.)
Доказательство:
Пусть точки максимума для.
Надо рассмотреть два случая:
1. Случай внутренней точки. Пусть — внутренняя точка. Тогда положим все= 0, т.к. ограничения будут неэфективны.производная ф-ии в точке экстремума
2. и* — граничная точка. Проведем через точку опорную гиперплоскость Г, и направим все нормали по градиенту функции. Можно записать следующее соотношение:
= 0, так как ограничение неэффективно (то есть данная точка этому ограничению не принадлежит).
Следствие 1. Если дифференцируема по в области U, а — точка, где достигает своего максимума, то для всех направлений, допустимых в этой точке выполняется следующее неравенство .
1. Если - внутренняя точка, то
2. Если — граничная точка, то выполняется условие теоремы Куна-Таккера.
Следствие 2. Если функции H вогнута относительно управления, то необходимое условие оптимальности оказывается и достаточным. Найденное в этом случае управление оказывается оптимальным в глобальном смысле, т.к. экстремум такой функции — максимум, причём единственный.
6.Теорема о числе переключений.
Если
1. Задана система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
2. Матрице А имеет все вещественные собственные значения
3. На управление наложены следующие ограничения вида ,j=1,..,m
то число переключений функции оптимального по быстродействию управления не превышает n-1, где n – порядок исходной системы.
Доказательство: Запишем закон движения объекта в следующем виде
Оптимальное управление Куна-Таккера определяется следующим образом:
В этом выражении функция ψ(t) может быть определена из следующего диф.уравнения
H –функция Гамильтона
Т.е. нам нужно найти производную по х:
Решение имеет вид — начальное значение в момент времениt0 = 0. Один из способов задания — нормаль к опорной гиперплоскости в точке х(t0)
Перепишем выражение для оптимального управления с учётом ψ(t):
Представим eAt в виде спектрального разложения eAt = ρeλtρ−1, где р, ρ−1 — матрицы правых и левых собственных векторов.
Если воспользуемся матричным свойством C = AB => С −1 = B−1A−1, получим
Значит, оптимальное управление будет определятся как
— некоторые коэффициенты, которые опредляются матрицами ρ и ρ−1 и векторами bj и ψ0 и не зависят от времени. Тогда моменты переключения управления — это моменты, когда выражения под знакомsign’ма равно 0. Число переключений определяется корнями этого выражения:=0.
Рассмотрим случай, когда n = 2. При суммировании экспонент будет либо одно пересечение c осью времени, либо не будет ни одного. По индукции можно доказать, что сумма n экспонент будет иметь не более (n − 1) пересечений с осью времени.
Замечание. Данная теорема верна только в случае действительных корней матрицы A. При комплексных корнях появится функция sin, и следовательно, пересечений будет бесконечно много.
Таким образом, мы нашли оптимальное управление как функцию ψ(t)
Чтобы ее определить, нужно решить систему дифференциальных уравнений:
при граничных условиях x(t0) и x(tf) = 0. Найдя из нее ψ(t) и подставив в выражение оптим-го управления, мы получаем u*j как ф-цию времени.
Т.о., задача определения оптимального управления сводится к решению нелинейной системы уравнений. Для высоких порядков она решается численно. Если n = 2, то решение может быть получено с помощью метода фазовой плоскости.