3.Наблюдаемость динамических систем. Соотношение двойственности.

При синтезе оптимальных систем управление является функцией состояния системы, а не ее выхода.

Выход - координаты системы, которые поддаются измерению, следовательно, размерность вектора будет меньше, чем размерность вектора.

При реализации оптимальных законов управления встает задача, как по вектору оценить. Это задача наблюдения. Условие существования ее решения – наблюдаемость системы.

Состояние наблюдаемо в момент времени, если для заданного управления, такое, что знание управления на интервалеи выходадостаточно для определения.

Если каждое состояние наблюдаемо при, то говорят, что система наблюдаема в.

Если каждое состояние наблюдаемо в любой момент времени, то говорят, что система (полностью) наблюдаема.

Понятия управляемости и наблюдаемости являются внутренними свойствами системы, то есть они сохраняются при всех эквивалентных преобразованиях системы.

(1)

u(t),y(t) – функции входа и наблюдаемого выхода системы. А,В,С – известные матрицы.

Наряду с исходной системой рассмотрим сопряженную к ней систему:

(2)

Определим производную от векторов состояния исходной и сопряженной системы.

Проинтегрируем это выражение

Принимаем и учитывая (1), получим:

(3)

Если известно , то данное выражение можно считать операцией оценки, которое позволяет оценить, если известныy(t),u(t) (векторы).

Вектор выбирается в зависимости от того, какая из переменных состояния оценивается.

Если нужно оценить , тоi-я компонентапринимается = 1, остальные = 0.

не плюс i, а на i-ом месте

Если сопряженная система управляема, то должна существовать функция входа под действием которой данная система переходит из исходного состоянияв 0 за время.

Пусть - функция входа, которая решает данную задачу, тогда состояниеопределяется из соотношения (3).

(4)

Следовательно, анализ наблюдаемости динамических систем свелся к задаче управляемости сопряженной системы.

Данная взаимосвязь между управляемостью и наблюдаемостью линейных динамических систем называется соотношением двойственности.

Соотношение двойственности указывает на то, что исходная система (1) наблюдаема, если сопряженная к ней система (2) управляема.

Управляемость сопряженной системы имеет место, если выполняется следующее условие:

4.Оценка вектора состояния линейной динамической системы. Наблюдатель Люенбергера.

Решение задачи ОУ приводит к закону управления, который является функцией переменных состояния, следовательно, при решении этих задач полагается, что вектор состояния полностью известен, однако в реальных системах это условие как правило не выполняется.

Чаще всего приходится сталкиваться с ситуацией, когда измерению поддаются сигналы, образующие вектор измерения y(t), составляющие которого являются известными функциями состояния системы.

Устройство, восстанавливающее вектор состояния по измеряемым координатам называется наблюдателем.

Система n-го порядка:(1)- вектор оценки

Состояния системы является наблюдателем полного порядка для системы вида (2) (2)

При имеем(совпадение вектора оценки и состояния) для всех;Будем рассматривать наблюдатель, у которогоF,GиHопределяются следующим образом:

(3)- матрица коэффициентов усиления наблюдателя (nxm).

Подставим (3) в (1): (4)(5)

оценка вектора наблюд.

Структурная схема наблюдателя:

+

K_H(t)

(–)

B(t)

C(t)

+

A(t)

Наблюдатель- это устройство, позволяющее по управлению и измеряемым координатам оценить вектор состояния системы.

Докажем, что система вида (5) есть система для оценки вектора состояния.

Пусть S(t)- решения сопряженного уравнения, удовлетворяющего краевым условиям, при которых соотношениеявляется операцией оценки. ()

Из теории решения 2-х точеных задач известно, что v(t) является функцией состояния сопряженной системы.

или(6)

Система (6) является сопряженной для системы (4)

проинтегрируем

то есть вектор оценки совпадает с вектором состояния в момент

Следовательно, система вида (4, 5) есть система для оценки состояния.

Введем в рассмотрение вектор оценки (вектор ошибки оценки)

Ошибка оценки удовлетворяет следующему диф.уравнению:

(7)

Решение этого уравнения имеет вид: (8)

Если вектор оценки совпадает с вектором состояния в момент , то вектор ошибкидля.

В реальных системах из-за действия возмущений и шумов , поэтому матрицувыбирают таким образом, чтобы ошибка наблюденияпри.т.е. система вида (7) должна быть асимптотически устойчивой.

Для системы с постоянными параметрами асимптотическая устойчивость наблюдателя определяется собственными значениями матрицы . Назовем их полюсами наблюдателя. Для устойчивости наблюдателя необходимо и достаточно, чтобы полюса наблюдателя находились в левой полуплоскости.

Наблюдатель рассматриваемого вида для системы с постоянными параметрами называется наблюдателем Люенбергера.

Для быстрой сходимости ошибки к 0 необходимо выбрать таким образом, чтобы полюса наблюдателя были удалены как можно больше влево от мнимой оси корневой плоскости.

Решение уравнений (7) помимо вида (8) может быть представлено следующим образом: - матрицы правого и левого собственных векторов.

- отрицательные полюса наблюдателя.

Чем больше по модулю будут полюса наблюдателя, тем ближе к нулевой будет матрица и меньше. Однако значительное удаление от мнимой оси влево в большинстве случаев может быть достигнуто путем выбора больших значений коэффициентов матрицы усиления, что, в свою очередь, делает наблюдатель весьма чувствительным к шумам измерения. Задача определения матрицы коэффициентов усиления, обеспечивающей наилучшие характеристики процесса восстановления в условиях действия шумов называется задачей оптимальной фильтрации.