Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_po_Diskretnoy_Matematike / Глава 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

362.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 3

3) Конъюнкция.

	И		Л

1)	1	2
2)		2
3)
	2

И			Л

	1)	1	2
	2) 1			2) 2

		4)		Импликация.

			1)			И					Л										И			3)		Л	2
			1)																	1				3)		1	2
					1	2																				2
																			2)					1)

							3) 2	2) 1
		5)		Эквиваленция.

					И			Л										И									Л

	1)	1				2																	1)			1	2
	3)	1							5)	1						1				2					2				1
	2)	2							4)	2				2)					5)				3)					4)
	2)								4)					2)					5)				3)					4)

		6)		Квантор всеобщности.

							И					Л						И								Л

1)		( ) для всех ранее введённых																			1)	( ) для новой
2)		( ) для всех ранее введённых																			2)	( ) для новой
		7)		Квантор существования.

						И		Л					И									Л

	1)	( ) для новой													1)		( ) для всех ранее введённых
	2)	( ) для новой													2)		( ) для всех ранее введённых

Отрицание:

Законы исчисления предикатов.

Глава 3

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Пав л

Дизъюнкция и

( ) = ( ),

( ) = ( ).

( ) & ( )

= [ ( ) & ( )],

конъюнкция:

Другие 2

( ) ( ) = [ ( ) ( )],

аналогичные операции раскрываются по-другому, т.к. в этом случае

происходит «конфликт» переменных. Чтобы этого не было, нужно сделать

заменим переменную на . После этого кванторы

( )

замену – локальные переменные можно заменять новыми переменными. В

одной из локальных областей видимости, например, в

(или

( ) ( ) = ( ) ( ) = [ ( ) ( )],

можно вынести:

( ) & ( ) = ( ) & ( ) = [ ( ) & ( )].

Постоянные (здесь

– это любые предикатные формулы,

не зависящие

( ) = [ ( ) ],

( ) = [ ( )],

от переменной ):

( ) = [ ( ) ],

( ) = [ ( )].

[ ( )

( )] = [ ( ) ( )],

Эквивалентность:

Импликация:

[ ( ) ( )] = [ ( ) ( )].

[ ( )] = [ ( )],

[ ( ) ] = [ ( ) ],

[ ( )] = [ ( )],

[ ( ) ] = [ ( ) ],

[ ( ) ( )] = [ ( ) ( )].

КононовПредварённыеВасилий, Сагитова Адиляформыи Главатскихи предварённыеПавел нормальные формыГлава. 3

Определение. Предварённая форма (ПФ) – это формула исчисления предикатов, в которой все кванторы стоят в её начале, т.е. являются последними применяемыми операциями.

Определение. Предварённая нормальная форма (ПНФ) – это предварённая форма, в которой из операций используются только 3 основные булевские операции: отрицание, дизъюнкция и конъюнкция, причём отрицание относится лишь к предикатным буквам.

Преобразование произвольной формулы исчисления предикатов к ПФ или ПНФ может быть сделано за конечное число шагов. При этом количество имён связанных переменных в ПФ или ПНФ будет не меньше, чем в исходной, а количество кванторов может уменьшиться в результате преобразований. Количество свободных переменныхФункцииостаётсяСколемапрежним. .

После приведения формулы к ПФ или ПНФ её можно преобразовать к виду формулы, использующей функцию Сколема и затем проверить на общезначимость.

Определение. Функция Сколема для данного квантора существования – это функция, которая показывает предмет, подразумеваемый этим квантором в зависимости от переменных, связанных впереди идущими кванторами

( )

всеобщности.

Пример 1. Привести формулу , к виду с функцией Сколема.

Для этого мы должны исключить квантор существования. Этот процесс

называется сколемизацией – приведение формул к виду, когда спереди остаются

(

)

– функция Сколема. Получаем:

( )

(

) .

= ( )

только кванторы всеобщности. А все кванторы существования и переменные,

Почему мы так можем сделать? Функция,

Сколема= ,на

области

определения

стоящие под ними заменяются на функции Сколема. Полагаем, что

, где

{ }

(на мире речи) однозначна, т.е. каждому значению

соответствует одно

значение . Т.к. в формуле есть квантор существования (

– «существует хотя бы

один

истинности формулы при

»), то можно взять только один объект. Значение

= ( )

этом не изменится. Поэтому из всего множества мы выбираем значение

строим функцию

Смысл функции Сколема в том, чтобы уменьшить количество объектов, с которыми работает формула, не изменяя при этом её значение истинности.

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 3

Пример 2. Если кванторов всеобщности в формуле больше 1, то

(

)

(

)

В этом случае при замене переменной, , = на функцию, , ,

Сколема.

, функция будет

двухместной –

Пример

3.( ,Если)

кванторов всеобщности в формуле нет, то происходит

замена квантора существования на константу Сколема:

Т.е. мы выбираем 1 объект ( ), на

( ) = ( ).

– истина.

Пример 4. Если кванторов

котором

существования( )больше 1, то необходимо ввести

несколько функций Сколема:

)

(

)

( )

(

Т.е. каждый квантор существования, , , заменяется= своей, ,

функцией, , , Сколема.

Пример 5. Пусть кванторы всеобщности и существования стоят вперемешку:

(

)

(

)

(

)

Функция Сколема по определению, , ,

=строится для,

впереди, , , стоящих.

кванторов

Пример.

Проверка на общезначимость.

всеобщности.

( ) & ( ) [ ( ) & ( )].

1) Получить

Проверить на общезначимость формулу

предварённую нормальную форму (ПНФ):

( ) & ( )

[ ( ) & ( )] = ( )

& ( ) [ ( ) & ( )] =

||= ( ) ( ) [ ( ) & ( )]

= ( ) ( )

[ ( ) & ( )] =

Возможно 2 варианта дальнейших действий.

1.1 вариант, сгруппируем и рассмотрим кванторы существования:

=( ) ( ) [ ( ) & ( )] =

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел	Глава 3
\|\|по закону ( ) ( ) = [ ( ) ( )]:
\|\|Здесь 3 части формулы, в каждой из которых в локальной области видимости

||своя переменная . Т.е. они разные. Выражение в скобках можно преобразовать

= ( ) ( ) ( )& ( ) =

||Сделаем переименование переменных:

= ( ) ( ) ( )& ( ) .

2. 2 вариант, заменим переменные:

= ( ) ( ) ( )& ( ) =

||Все переменные являются независимыми друг от друга и можно применить

||законы постоянных: ( ) ( ) ( )& ( ) .

Обе полученные формулы эквивалентны.

2) Построение формул с использованием функций Сколема:

||Для примера выберем 2-й вариант ПНФ (в ней больше кванторов).

( ) ( ) ( ) & ( ) .

3)Подбор функции Сколема.

Необходимо подобрать такое значение функции Сколема, чтобы можно было перейти от формул исчисления предикатов к формулам( ) = надмножествами( ) = или отдельными (объектами) = . (Например) = , функции и

. Здесь выберем и – конкретные значения

функций Сколема. В результате:

( ) ( ) ( )& ( ) .

4) Переход от предикатных формул к формулам логики.

Поскольку в полученной формуле стоит квантор всеобщности (для всех ),

выбираем только один какой-то пример:

& .

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел Глава 3

Получили формулу, позволяющую использовать законы алгебры логики. Если построить диаграмму полученных множеств, то получим, что эта формула истинна, т.е. & = 1.

Получена 1 (т.е. формула оказалась истинной). Это означает, что исходная формула является общезначима.

Соответственно, если в результате получилось ложная формула (т.е. 0), то в этом случае исходная формула не является общезначимой.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке Lektsii_po_Diskretnoy_Matematike

#
27.03.2016238.71 Кб16Глава 1.pdf
#
27.03.2016285.06 Кб12Глава 2.pdf
#
27.03.2016362.51 Кб19Глава 3.pdf
#
27.03.2016514.59 Кб11Глава 4.pdf
#
27.03.2016415.2 Кб22Глава 5.pdf
#
27.03.2016103.61 Кб12Широкие деревья вывода.pdf