Lektsii_po_Diskretnoy_Matematike / Глава 4

Глава 4. Теорияотношений.

Глава 4

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

1 × 2

× … ×

местное)

Определение. Отношение (Введениеn-

. – это множество упорядоченных

n-ок

1,

× 2 × … ×

1 = 2

= =

задано на

такое,

что

. При этом говорят, что

множестве

. Если

,

то отношение называют

односортным если иначе – многосортным.

//

1

× 2 × … ×

.

что

является подмножеством

//Запись

означает,

декартова произведения

=

{(1,1),

(2,2), … }, где 1 = и 2

= .

Односортные – отношения равенства

Пример. Многосортные1

×отношения2 × … ×– это

отношения в реляционной алгебре.

Определение. Бинарное отношение – это отношение

, где

–

бинарного отношения.

бинарного отношения,

2

–

область

изменения

область

определения

1

× 2

1

Формы записи бинарных отношений:

1)

На множествах –

.

Инфиксная форма –

.

.( , )

3)

1.

, если

2)

В виде предиката(отношения, )

:

2.

( , ) =

1, если

( , ) .

1)

Пусть( дано, ) =

0некоторое( , отношение)

на

множестве

= { , , }

.

Тогда

Прямое перечисление –

{( , ), ( , ),

( , )}.

существуют следующие способы задания

отношений:

2)

Граф (здесь ( , ) и ( , ) – это дуги).

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 4

0

1

0

0

0

1

0

0

1

4)

«На фактор-множествах» – задание через окрестности вершин в графе:

=

.

{ }

{ }

{ }

||В верхней части располагаются элементы из множества

(вершины графа), а в

||нижней –

окрестности

– подмножества элементов

множества

,

которые

||непосредственно достижимы из соответствующей вершины.

Форма записи операций.

Пусть есть операция + . Тогда существуют различные её формы записи:

1)

+ ,

– префиксная форма.

2)

– инфиксная форма.

3)

+

– постфиксная форма.

||Польская, +нотация – это префиксная форма записи. Обратная польская нотация –

||это постфиксная форма записи.

свойств отношения достаточно знать только его структуру

Для исследования

Изоморфизм отношений.

(например,

задаваемую

дугами

в графе),

при этом

обозначения

вершин

(конкретный состав множеств) нам не важен.

Для × и ×

существует : → такое, что

, → ( ), ,

→

– это обратное

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 4

||”

:

−1

во множество

. При этом,

– это

” – это отображение множества

||прямое отображение,

отображение.

Эти формулы означают

, что всегда можно провести взаимно-однозначное

соответствие вершин отношений

и

, если они имеют одинаковую структуру.

Операции над отношениями.

Далее можно отвлечься от имён

работать

олько со структурой.

Как и

в реляционной

алгебре,

над

отношениями

существует

2 типа

2) Специальные операции:

{( , )|( , ) }, где −1 × .

1.

−1

=

Обратное отношение – для бинарного отношения × – это:

||Обратное

отношение

−1

состоит

из

пар

( , )

таких, что пары

( , )

||принадлежат отношению

.

2.

Дополнение:

где

.

3.

× – это: = {( , )| }, где 2.

Тождественное

=отношение{( , )|( , –) для},односортного× бинарного отношения

4.

=

{( , )| и }, где = × .

Универсальное отношение – для отношения

× – это:

5.

Композиция отношений 1

× и 2

× – это отношение

Пример= 1 . Пусть2 = {( есть, )| 2 отношения, и – 2

1 }

где × и.

2 = {( , ), ( , ), ( , )}, тогда их

1 = {( , ), ( , ),

( , ), ( , )}

=

=

композиция – это отношение

||Чтобы

составить

, , , ,

, , , .

||месте во 2-м1

отношении:

,

2

все) (

пары)}

элементов в

композицию1

{(, рассмотрим) ( ) (

||отношении

. 1-я пара –

2-й элемент – . Значит, ищем его на 1-м

, здесь1 2

. Т.е. надо найти пары, у которых

это пара

соответственно. Следовательно, 1-я пара в

||совпадают последний и 1-й элементы ,

||композиции такая:

( , ). И так далее.

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 4

6.

Степень отношения: = × × … × (

раз).

7.

Ядро отношения: ker = −1.

.

1) Рефлексивные – для

Классы отношений,

( , )

где

×

.

7) Интранзитивные – ( , ) , ( , ) ( , ) .

Глава 4

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

−1

1

2

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 4

Пусть есть произвольное бинарное

отношение

, которое задано на

множестве :

:×

; при этом мощность

| | =

. Изобразим это отношение в

виде матрицы

×

Сколько всего различных n-арных отношений? Матрица размера

, т.е.

матрица состоит из

2 клеток, каждая из которых может принимать 2

различных

отношений.

0

×

1

2

2

различных

варианта: либо

,

либо . Следовательно, всего существует

В этом случае главная диагональ фиксированная, т.е. могут меняться значения в

любых клетках, кроме главной диагонали. Здесь различных отношений будет

2

−

.

Пусть отношение симметричное:

2

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 4

Если отношение антисимметричное, то различных отношений –

2 3 22+ .

Определение.

Понятиезамыкания.

2

обладает некоторым свойством

1

2

называется

Рассмотрим 2

отношения:

1

и

, которые определены на

2

и

( 2)

1

одном и том же множестве, т.е.

2

22. При этом отношение

тогда, когда:

–

обозначим это как

. Отношение

1

замыканием отношения

относительно свойства

тогда и только

1)

обладает свойством , т.е. ( 1).

2)

1

является надмножеством 2:

1

2.

|

= min 1( )

1( )

3)

( )

.

|1 1

и

1

минимальное по

мощности, т.е.

для

:

и

Примеры1 2 замыканий:

1)

Рефлексивное замыкание

, где – единичное множество. Здесь на

каждой вершине есть

рефлексивная петля.

=

( , )

( , )

2)

( , ) . Для каждой дуги

=

−1,

т.е.

и

Симметричное замыкание

Классы отношений (продолжение).

Глава 4

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

3) Отношение порядка (нестрого порядка)

– антисимметрично и транзитивно.

Отношение строгого порядка – иррефлексивное отношение порядка.

и

Определение. Пусть – отношение эквивалентности на множестве

элементов множества ,

. Подмножество

элементу , называется классом эквивалентности для

и обозначается

множества

{ }

Определение.

Разбиение

представление

этого

[ ]

= { | = –}. это

множества в виде попарно непересекающихся

подмножеств

:

= и ∩ = (при ≠ ).

=1

Теорема Кантора о разбиении.

Всякое отношение

эквивалентности

на

множестве

задаёт разбиение

множества , причём, среди элементов разбиения нет

пустых

подмножеств.

Обратно, всякое

разбиение множества ,

не содержащее пустых подмножеств,

на множестве .

определяет отношение эквивалентности

||Таким образом, нет такого класса эквивалентности, в котором нет вообще ни

||одного элемента (т.е. нет пустого подмножества).

Связь между разбиением множества на классы эквивалентности

и отношением эквивалентности, определённом на этом множестве

Всякое разбиение

непустого множества

определяет на

Прямая теорема(.теорема Кантора о разбиении).

этом множестве отношения эквивалентности

такое, что:

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 4

 любые 2 элемента одного класса находятся в отношении

;

 любые 2 элемента различных классов не находятся в отношении

.

непустого множества

Доказательство. Пусть имеется некоторое разбиение

. Определим бинарное отношение

следующим образом:

Т.е. 2 элемента

и

из

(

& ).

случае,

если в

множества

связаны отношением

в том и только в том

разбиении

найдётся такой класс

,

которому одновременно

принадлежат элементы

и

.

Определённое таким образом отношение

и

рефлексивно и симметрично.

различные

1

2

, 1

, 2

Покажем транзитивность отношения

. Пусть

. Тогда по определению в

разбиении

существуют классы

и

такие,

что

и

.

Т.к.

1

= 2

, 1

классы в разбиении по определению не имеют общих элементов, то

, т.е.

,

поэтому

,

следовательно,

–

транзитивно. Таким

образом,

– отношение эквивалентности.

Обратная

теорема. Всякое отношение

эквивалентности

в непустом

множестве

порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности

такое, что

 любые 2 элемента одного класса находятся в отношении

;

 любые 2 элемента различных классов не находятся в отношении

.

Пусть

отношение

эквивалентности

на

[ ]

Доказательство.

–

некоторое

элементу

из

множестве

. Каждому

: «подмножество

– это все такие элементы ,

//Запись

[ ]

= {

|

означает}

,

множества

, состоящее из всех элементов

находящихся в отношении

с

//что

[ ] = { |

}

.

[ ]

элементом

:

выполняется

.

Система подмножеств

[ ] образует разбиение множества . Действительно:

1)

Каждое.

подмножество

[ ]

≠ ,

т.к. в силу рефлексивности отношения

2)

2

различных[ ]

подмножества

и

не имеют общих элементов. Рассуждая

и

[ ]

в силу

существование элемента

[ ]

от противного,

допустим

[ ]

[ ]

. Тогда

и

. Поэтому для любого элемента

из [, ]

симметричности и транзитивности отношения вытекает

,

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 4

[ ] [ ]

[

] = [ ]

.

Аналогично в другую

сторону,

Следовательно,

[ ] [, ]

т.е. .[ ]Следовательно.

,

а это

противоречит исходному

предположению об их неравенстве.

3) Объединение всех подмножеств

совпадает с множеством

,

поскольку

для любого элемента

выполняется условие

.

[

]

образует разбиение[ ]

множества

,

Таким образом, система подмножеств

[ ]

удовлетворяющее условиям теоремы.