Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
18
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
362.51 Кб
Скачать

 

 

 

Глава 3. Предикаты.

 

 

 

Глава 3

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Гл

тских

ав л

 

 

 

 

 

 

Определение.

Исчисление

предикатов.

 

 

 

 

 

 

 

Предикат алгебраической точки зрения) – это n-местная

функция, принимающая значения

 

или

 

 

(истина или ложь), аргументы которой

определены на универсальном

множестве ( ) или его подмножествах. В

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

последнем случае предикатные функции

записывают как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, , …

 

,

, … ,

 

 

 

 

 

где

– множества, на которых определены предметные переменные (или

 

аргументы)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Говоря, об, … одноместных предикатах вида

,

часто бывает

удобным

переходить к множествам истинности этих

предикатов.

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

Определение.

Множество

истинности

 

для

предиката

 

– это

множество всех значений , на которых предикат принимает

значение.

истинное ( )

 

 

Для многоместных предикатов

аналогичный переход может быть сделан при

помощи выделения подмножества декартова произведения множеств, на которых

 

Единичные, частные и общие высказывания. Кванторы.

определены предметные переменные.

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

 

, а не

вида

, где

переменная, является

 

Выражения

 

 

 

 

высказывательной формой

 

высказыванием; т.е. выражение

 

 

принимает

определённое значение истинности только после

означивания

 

 

 

 

( )(присвоения

значения) предметной переменной .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

Так, например, выражение вида

 

 

,

где

– некоторая константа, будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

единичным высказыванием, т.е.

утверждением об одном предмете. Выражение

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

принимает значение истины или лжи в зависимости от значения

 

и того, как

определён предикат

.

 

 

 

 

 

(3)

= 0

 

 

 

 

 

следующие высказывания: (2) = 1 ( ( )

: «

 

Тогда можно записать

 

Пример. Пусть дан( ) предикат

 

 

– чётное».

 

 

 

 

истина) и

 

 

(ложь).

 

 

 

В случае, когда возникает необходимость построить высказывания о некоторых или обо всех объектах, входящих во множество определения предметной переменной, используют квантор всеобщности и квантор существования :

1)

( ) – «для некоторых значений

выражение( )

 

истинно».

 

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

 

 

 

 

Глава 3

 

– «для всех значений выражение

истинно».

 

2)

Определение( )

. Выражения с квантором

 

 

 

 

называются общими

всеобщности( )

 

высказываниями, а с квантором существования –

частными высказываниями

 

 

 

 

.

Прямая подстановка конкретных значений в переменные, стоящие под квантором, невозможна. Такие переменные называются связанными, и их значения определяются самим квантором.

Можно говорить, что квантор задаёт некоторую процедуру подстановки

значений в предметные переменные.

 

 

 

 

 

 

Так, если переменная

 

определена на конечном множестве, то процедура

может быть построена как

переход от общих или частных высказываний к

единичным при помощи булевских операций. Справедливы преобразования:

Пример( ) =. Дано( 1)&выражение( 2)& … & ( ) и ( ) =.

Здесь( 1) :

переменная( 2) … ( связана).

квантором всеобщности,

 

 

( , , , )

 

 

 

 

 

переменная.

 

квантором существования,

,

– свободная

 

 

 

 

 

 

Это выражение является высказывательной формой (а не высказыванием), потому что имеется одна свободная( ) = переменная( , , ,. )Оно может быть представлено как некоторый предикат , у которого в качестве аргумента

стоит свободная переменная в исходном выражении:

Области видимости переменных. Рассмотрим пример:

внешние

 

( )

 

 

 

 

 

 

Глава 3

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

 

 

 

 

 

В выражении

 

квантор связывает переменную

 

.

Во всём выражении

 

кванторы существования связывают переменные

 

и

 

предиката

( , )

.

На предикат всегда действует ближайший к нему квантор.

 

 

 

||ЛокальныеТождествофункции,находятсяединственностьв скобках, асуществованияглобальные – за скобкамиидескрипция. .

Определение. ( )это прямо[ ( е)совпадение( )] некоторых объектов

Тождество

= ,

где приведённая формула – это формула расширенного исчисления предикатов, допускающего связывание кванторами не только предметных переменных, но и предикатных переменных.

 

Запись “

” означает, что

 

эквивалентно

 

 

.

 

! ( )

 

тождества( )

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

существования

||

Понятие( )

позволяет ввести( ) квантор единственного( )

 

 

– «существует единственный

 

такой,

что

 

 

». Формально квантор

единственного существования можно задать следующим образом:

 

 

 

 

 

(

)

( )

 

(

)

(

 

)

он. будет совпадать с .

Т.е. существует

такой!, что

 

= . И какой бы мы

не взяли=

,

 

||Тождественное равенство 2()объектов означает, что они

 

абсолютно одинаковы,

||но при этом, они оба существуют. Обычное равенство предполагает полное

||совпадение объектов, и они рассматриваются как единое целое.

 

 

единственный , для

которого ( )».

( )

 

 

Дескрипция

это

операция

, которая определяется как «тот

операции дескрипции

(дескриптор) – некоторая «клюшка» .

 

 

//ЗнакПримеры:

 

 

 

 

 

1) (2 3 = 0) = 3.

 

 

 

2)

( 2 1 = 0)

2

 

 

 

 

 

бессмысленно, потому что таких значений

есть 2.

 

 

 

 

( ) { } ( )

У операции дескрипции может быть альтернативная форма записи:

2 3 = 0 = | 2 3 = 0 = 2 3 = 0 .

Но эти варианты не приветствуются!

Интерпретация формул и проблема разрешимости.

Глава 3

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

В исчислении предикатов строение высказываний и предикатов изображается формулами с предметными и предикатными переменными.

Определение. Интерпретация формулы исчисления предикатов в данном мире речи – это результат замены в этой формуле всех предикатных переменных на постоянные предикаты в данном мире речи, всех свободных переменных на постоянные предметы из этого мира речи, всех цельных высказываний (0-местных

предикатов) – на их значения истинности.

 

 

 

 

 

Пример. Дана формула:

 

 

– 0-местный

предикат

 

 

можем комбинировать предикаты, имеющие

(высказывание). В формулах мы ( ) & ( , )

 

 

 

 

аргументы,

и вы казывания, которые

аргументов не имеют.

Пусть

 

мир речи

,

 

, значение свободной

переменной

 

.

Зададим

конкретные

значения для предикатов

и

. Сделаем

это с

помощью

= { , }

= истина

 

 

 

 

=

 

 

( ) ( )

таблицы, в которой перечислим все возможные значения предметных переменных и . В этом случае интерпретация будет выглядеть следующим образом:

Теперь мы можем проверить, истинна или ложна исходная формула в данной

интерпретации. Для этого в исходную формулу мы постепенно подставляем те

значения, которые мы использовали при построении интерпретации.

||Зафиксировали свободную переменную как = :

 

||Далее раскрываем и

 

, =

 

|| = { , }, то ( ) = ( )& ( ). Тогда:

(всеобщности)]

. Если мир речи конечный

 

 

означиваем[ квантор( )

||Подставляем

= [ ( ) ( , )] & [ ( ) ( , )] =

 

 

= [1 0] & [0 1] = 0 & 1 = 0.

 

значения из таблицы:

 

 

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел 0 Глава 3

Таким образом, формула при данной интерпретации равна . Это означает, что эта интерпретация является ложной интерпретацией данной формулы.

Формулы исчисления предикатов делят на 3 класса:

1)Общезначимые.

2)Выполнимые.

3)Невыполнимые.

Определение. Формула общезначима в данном мире речи, если все её интерпретации в данном мире речи истинны.

Определение. Формула общезначима (вообще), если она общезначима во всех мирах речи.

Определение. Формула выполнима в данном мире речи, если существует хотя бы одна её истинная интерпретация в данном мире речи.

Определение. Формула выполнима (вообще), если она выполнима хотя бы в одном мире речи.

Определение. Формула невыполнима в данном мире речи, если не существует ни одной её истинной интерпретации в данном мире речи.

Определение. Формула невыполнима (вообще), если она невыполнима во всех мирах речи.

Общезначимые и невыполнимые формулы истинны и ложны в силу своей структуры и не зависят от мира речи и интерпретации. Поэтому такие формулы выражают законы логики и исчисления предикатов. Остальные формулы нейтральны (т.е. их значения зависят от интерпретации и мира речи).

Проблема разрешимости исчисления предикатов состоит в нахождении общего метода проверки формул на общезначимость.

Проверка на выполнимость и невыполнимость сводится к проверке на

1)«Формула выполнима» «Формула не общезначима».

2)«Формула невыполнима» «Формула общезначима».общезначимость:

Как доказали Тьюринг и Чёрч, проблема разрешимости даже узкого исчисления предикатов (где кванторы связывают только предметные переменные) алгоритмически неразрешима.

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 3

В конечных мирах речи эта проблема разрешима при помощи полного перебора объектов мира речи и перехода от предикатных формул к формулам алгебры высказываний, где проблема разрешимости имеет алгоритмические методы решения (нормальные формы, таблицы истинности).

Проблема также разрешима для достаточно широкого класса формул, например, для одномесМетодныхсемантическихпредикатов. таблиц Бета.

Голландский математик Эверт Биллем Бет предложил один из первых формальных методов проверки формул исчисления высказываний и исчисления предикатов на общезначимость.

Суть метода сводится к доказательству от противного тождественной истинности формулы на всех мирах речи, т.е. строится на предположении, что исходная формула не общезначима. Исходная формула последовательно разбивается на элементарные подформулы, которые затем относятся к тождественно истинным или тождественно ложным.

Разбиение на подформулы начинается с внешней операции и продолжается до тех пор, пока формула не будет разбита на единичные высказывания или предикаты. После этого можно переходить к означиванию связанных кванторами предметных переменных (подбор объектов мира речи). Сама проверка на общезначимость в этом случае сводится к нахождению противоречий – единичных высказываний, которые будут отнесены как к истинным, так и к ложным одновременно. Если противоречие будет получено для всех единичных высказываний, то формула общезначима. Если получен хотя бы один случай, для которого нет противоречий – исходная посылка верна и формула не общезначима.

Таблица Бета состоит из 2-х колонок: в левой записываются истинные высказывания, а в правой – ложные.

Пусть дана исходная формула 1 2, где 1 и 2 – подформулы исчисления предикатов. Предполагаем, что она ложна. Таблица Бета имеет вид:

 

И

 

Л

 

 

 

 

1)

1

2)

2

свойстве

 

1

 

2

 

 

 

Глава 3

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

 

 

Отнесение

 

и

 

к ложным или истинным высказываниям основано на том

 

операции импликации, что выражение

 

ложно тогда и только

тогда, когда истинна посылка импликации и

ложно заключение (из истины не

 

1 2

 

может следовать ложь).

Дальнейшее разбиение выражений также происходит на основе анализа значений истинности операндов логической операции в зависимости от значения истинности всего выражения.

Возможны ситуации, когда таблица Бета разбивается на отдельные случаи. Так, например, если к истинным выражениям отнесена подформула 1 2, товозможны 2 случая, когда эта формула истинна – либо когда истинна подформула 1, либо когда истинна подформула 2. Тогда таблица разбивается на 2 случая, каждый из которых обозначается римской цифрой:

 

 

И

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

1)

1

2

 

 

 

2) 1

 

 

3) 2

 

 

||Нумерация таблицы производится для удобства восстановления в последующем ||хода рассуждений. При этом в таблице Бета при разбиении столбцов всегда ||слева записывается истина, а справа – ложь.

При анализе предикативных формул методом таблиц Бета связанные переменные должны быть означены какими-либо константами.

При этом если выражение с кванторами находится в истинной части

таблицы, то:

 

 

 

 

 

 

 

1)

если переменная связана

квантором всеобщности

 

,

то в

таблицу

 

записываются предикаты,

означенные

всеми

введёнными ранее

 

 

 

 

 

 

 

константами («для всех ранее введённых

предикат истинен»);

 

2)

переменные, связанные квантором существования

, заменяются новыми

 

истинен»).

 

 

новое

,

что

предикат

1) Т.к. операции

 

равнозначны( ) & ,

то( формулу) & ( можно)

начать разбивать с

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 3

Пример. Дана формула

.

 

любой. Конъюнкция 1)

истинна в том и только в том случае, когда обе подформулы

 

&

 

 

 

истинны: 2) и 3). Аналогично конъюнкция 2) разбивается на 4) и 5). Мы получили элементарные формулы (в которых есть только кванторы и одноместные

предикаты). Теперь необходимо

означить переменные. Сначала

вместо

 

 

 

( )

, вводим новые переменные

 

переменной, связанной квантором существования

 

и 6) и 7 ). Затем, вместо высказывания

 

запишем предикаты с

новыми

 

 

 

переменными: 8) и 9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

 

 

 

 

 

9)

||Вводя новые константы и , мы расширяем исходный мир речи.

Если выражения с кванторами находятся в ложной части таблицы, то преобразования происходят аналогично. Но при означивании

3) переменные, связанные квантором всеобщности , заменяются новыми константами;

4) переменные, связанные квантором существования , заменяются всеми введёнными ранее константами.

Эта разница является прямым следствием эквивалентных преобразований:

( ) = ( ) и ( ) = ( ).

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 3

Рассмотрение формул и их декомпозиция продолжается до тех пор, пока не будут означены все элементарные формулы. После чего можно переходить к анализу возникших противоречий.

Анализ общезначимости ведётся методом от противного, т.е. формула будет общезначимой, если все полученные элементарные формулы будут противоречивы.

Если одна и та же элементарная формула с одинаковой константой стоит в истинной и ложной части таблицы, то случай (обозначается римскими цифрами), к которому относятся данные подформулы, – противоречивый.

Если противоречия получены во всех случаях – формула общезначима. Если же есть непротиворечивые случаи – формула не общезначима.

Для удобства рекомендуется при декомпозиции формулы раскрывать подформулы, приводящие к ветвлению таблицы, как можно позже. При означивании сначала раскрывать кванторы, приводящие к появлению новых констант.

[ ( ) ( )] ( ) ( )

Пример 1. Показать, что формула общезначима:

& & .

Предполагаем, что формула ложна. Т.к. внешняя операция – импликация, это возможно в одном случае: когда посылка истинна, а следствие ложно.

 

 

И

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

 

& ( )

11) ( )& ( )

5)

( )

6)

( )

10) ( )

 

12)

( )

3)

( )

4)

( )

7)

( )

8)

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь( )полагаем, что формула( ) ( ) & ( ) ложна. Это возможно когда либо ложна, либо ложна. Мы разбили формулы на элементарные,

которые ещё и означены. Ищем противоречия. Противоречия получены во всех случаях, следовательно, формула общезначима.

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 3

( ) ( ) [ ( ) ( )]

Пример 2. Проверить формулу на общезначимость:

& .

И

Л

 

 

1)

2)

 

 

3)

5)

 

 

4)

7)

 

 

6)

 

 

 

8)

 

 

 

9)

 

 

 

10)

 

 

 

Противоречий нигде не возникло. Значит, формула не общезначима.

Примечание. Если противоречия получены только в некоторых случаях, формула также будет не общезначимой.

Элементарные таблицы Бета.

1) Отрицание.

 

 

 

 

 

 

И

Л

 

 

И

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

2)

 

 

 

1)

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Дизъюнкция.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

Л

 

 

 

 

 

И

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

1

2

 

2) 1

 

3) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке Lektsii_po_Diskretnoy_Matematike