Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
21
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
415.2 Кб
Скачать

Глава 5. Логические исчисления.

Глава 5

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Основные понятия.

 

Определение. Исчисление – формальный аппарат, который позволяет оперировать по определённым заданным правилам с последовательностями знаков определённого вида. В результате применения правил на основе ранее известных фактов, выраженных последовательностями знаков, могут быть получены (доказаны) новые, ранее неизвестные факты.

Основное отличие исчисления от алгебры заключается именно в наличии механизма проведения доказательств, вывода новых неизвестных ранее фактов на основании известных, в то время как в алгебрах существует только механизм вычисления.

1)Язык для записи утверждений в этом языке. Утверждения называются

формулами.

2)Набор базовых утверждений или аксиом , записанных на языке . Этот набор полагается заведомо верным.

3)Набор правил , по которым из аксиом строятся новые производныеОпределение. Любое исчисление содержит следующие компоненты:

утверждения – теоремы.

синтаксическое.

 

Таким образом, можно говорить о формальной системе

понятие.

Важно то, что формальная система – это чисто

= , ,

Смысл символов языка

безразличен – главное, чтобы слова языка (теоремы)

были получены из аксиом

по правилам.

 

 

Определение. Формальное доказательство – это цепочка строк (слов), в

либо аксиома в формальной системе ;

либо теорема, полученная из предыдущих строк применением правил.которой каждая строка

Определение. Модель формальной системы – это интерпретация её элементов, сопоставляющая каждому символу, аксиоме или теореме некоторый реальный объект.

Замечание. Что есть в исчислении, чего нет в алгебре:

1) Формализация доказательств.

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 5

2)Определение границ формальных систем – что мы можем доказать, а что – нет (критерий полноты).

3)Поиск противоречий в формальной системе – случай, когда мы можем доказать или всеСистема, ли ничегоГильберта(крит ий-непротиворечивостиАккермана. ).

Определение. Система Гильберта-Аккермана (СГА) – это формальная система, моделью которой является булева алгебра. Иными словами в системе Гильберта-Аккермана могут быть получены все утверждения, соответствующие истинным высказываниям.

||Исходно система Гильберта-Аккермана была разработана ими для иллюстрации ||того, что законы булевой алгебры могут быть доказаны на основании некоторой ||базовой системы аксиом.

Как и любая формальная система, система Гильберта-Аккермана состоит из следующих элементов:

1)Алфавит.

2)Правила образования формул.

3)Правила преобразования формул (или правила вывода).

Рассмотрим эти элементы подробнее:

1)Алфавит (список первичных понятий).

 

а)

1, 2, 5

, …

 

;

 

Большие

 

латинские буквы (возможно, с индексами):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Они обозначают простые высказывания. Важно:

букве не

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, , , …

 

 

сопоставляется никакое значение истины или лжи – это просто

 

 

абстрактный символ.

 

 

б)

Знаки

 

,

 

 

– это операции над высказываниями. Знакам операций не

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сопоставлена никакая конкретная операция над высказываниями, это

 

 

также абстрактные понятия.

 

 

 

 

||Знаки

 

,

 

(для простоты) мы будем называть «дизъюнкция» и «отрицание», но

||на

самом деле эти знаки ничего не обозначают – некоторая условность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)Правила образования формул.

Для удобства будем обозначать формулы «угловатыми» буквами:

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 5

//Здесь и далее в тексте вместо «угловатых» букв будут использоваться //«прописные в 2 прохода»: , , , т.к. смысл «угловатых» букв только в том, //чтобы они отличались от букв, обозначающих простые высказывания.

«Угловатые» буквы не входят в алфавит системы Гильберта-Аккермана.

||Т.е. «угловатые» буквы – это просто обозначение. Именно поэтому они и ||должны отличаться от остальных букв.

а) Все простые высказывания( – это)формулы.

б) Если и – формулы, то – формула.

в) Если – формула, то – формула.

Пример. Дана формула: ( ) . Обозначаем: = ( ), затем = . Получим: – более простая по форме запись исходной формулы.

Сокращённая запись формул (это так же не часть системы Гильберта-

Аккермана, а некоторое упрощение для краткости записи):

& , ,= ( )&( ) .

3) Правила преобразования формул.

а) Первичные понятия (первичные тезисы) или аксиомы:

А1:

 

.

 

 

 

 

 

 

ещё

 

 

, то он есть точно, а возможно, есть

А2:

 

 

– если есть объект

 

 

 

какой-то объект , который заранее не задан.

 

А3: – перестановочный закон.

 

 

( ) ( )

( )

 

А4:

 

 

 

 

 

 

 

– если добавить к посылке и

 

следствию новый объект

 

, то это ничего не изменит.

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 5

Определение. Тезис – это общезначимая формула. В системе ГильбертаАккермана тезисы – это либо аксиомы, либо теоремы, полученные из аксиом по правилам вывода.

б) Первичные или основные правила вывода:

 

 

 

 

 

 

Правило

: правило подстановки, альфа-редукция. В тезисе можно

заменить простое высказывание всюду, где оно встречается, на

любую формулу системы Гильберта-Аккермана.

 

 

 

получим новый

 

 

– тезис. Применим правило

:

,

Например,

пусть

 

 

 

 

 

 

тезис:

.

 

 

 

 

 

 

//Редукция (лат. reductio –

сведение,

возведение

, приведение обратно)

//логический приём преобразования данных к более удобному виду; сведение

//сложного к более простому.

 

 

 

 

 

ponens): «

 

 

 

заключения (modus

Правило

правило отрыва или правило

Если

 

– тезис и

 

– тезис, то – тезис».

.

Для обозначения

 

процесса

вывода

используют

знак «штопор»

Сиспользованием( ) штопора( ) правила выглядят следующим образом:

1): Ф Ф , где Ф – формула, – простое высказывание, – формула.

2): , (из и выводится ).

||Знак «штопор» читается как «выводимо», «выводится», «доказывается».

1)“ ” – означает « выводимо». В такой форме записи непонятно, откуда выводимо , поэтому такая форма может быть только в контексте с той или иной формальной системой.

2)“ ” – означает « истинно» (двойной «штопор»). Здесь так же важно – в какой модели формальной системы является истинным высказыванием.Формы записи:

В большинстве случаев между выражениями с одинарным штопором и двойным штопором можно построить соответствие.

Правила и моделируют процесс рассуждения, знак «штопора» указывает на некоторый акт совершения умозаключения. Таким образом, в формальных системах творческий процесс доказательства моделируются некоторой механистической процедурой.

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

Глава 5

Из первичных правил вывода, применённых к тезисам, можно получить производные правила вывода.

Построим производные правила вывода для аксиом А1 – А4.

Нужно показать, что производное правило вывода RA1 от аксиомы А1 выглядит следующим образом: (читается как «если – тезис, то – тезис»).

Есть

некоторое

утверждение RА1.

Используя

известные

понятия,

 

 

провести

 

 

 

 

 

 

 

 

необходимо

рассуждения и доказать это утверждение. Аксиома А1:

 

. Применим к этой аксиоме правило

 

(заменим

 

):

 

 

(1).

 

 

 

 

– это тезис. Тогда, используя формулу (1) и

Далее, по предположению,

правило , получим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, при условии

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

предположения

 

из аксиомы А1 доказано .

 

Древовидный способ записи доказательств: вместо штопора используется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

горизонтальная черта; формулы, которые были слева от , записываются сверху, а

формулы справа от – снизу.

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае правилаФ( ) выглядят следующим( ) образом:Ф( ) или : ( ) ( ) , .

Правило дерево никак не разветвляет. В результате его применения мы двигаемся сверху вниз и, в конце концов, приходим к корню дерева. Правило разветвляет дерево. Цель этих правил – добраться до формулы, стоящей в корне дерева.

Приведём предыдущее доказательство в древовидной форме (будут видны

 

 

 

 

(А1)

 

 

 

 

 

 

 

различия между доказательствами правил вывода и доказательствами тезисов):

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Получаем формулу

Что мы делаем. К аксиоме А1 применяем

правило :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и полученной формуле

 

. Далее, к исходному предположению

 

применяем правило

 

: получаем .

 

 

 

 

 

 

 

Разница между доказательством правил вывода и доказательством формул состоит в следующем. При доказательстве формул все пути в дереве (все его ветви)

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел Глава 5

должны быть тезисами. Здесь мы доказываем ту часть, которая в построенном

 

 

 

дереве расположена слева над чертой. Можно переписать так:

 

если мы делаем предположение

 

, то существует некоторое дерево

 

 

мы можем прийти к утверждению .

 

доказательства , при помощи которого

 

 

||Все правила вывода

говорят о том,

что если мы знаем это правило вывода

и

||некоторый набор исходных формул, то применяя это правило, мы можем ||получить производные формулы. Правила вывода – это умозаключения, которые ||мы делаем. Умозаключение – это получение новых фактов, которых мы раньше ||не знали, на основании фактов, которых мы уже знаем.

Построим производное правило вывода RА2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тезис, по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет выглядеть так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Аналогично,

 

 

Аксиома А2:

 

 

 

 

 

 

 

 

ней правило

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, применяем к .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

предположению. Правило

 

:

,

 

 

 

 

 

 

 

 

. В виде дерева это

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При условии, что нам известен

некоторый

факт

 

 

и

мы

умеем

проводить

 

 

 

 

можем доказать факт

 

.

 

 

 

рассуждения в системе Гильберта-Аккермана, мы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим производное правило вывода RА3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аксиома

А3:

.

 

,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Дерево:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к ней

правило

 

 

(

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

применяем

 

 

 

 

 

 

 

):

( , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, по правилу

 

:

 

 

 

 

Далее,

 

 

– тезис, по предположению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5

Построим производное правило вывода RА4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аксиома

А4:

(,

)

 

 

 

,

.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

замену

 

 

, ( ):

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

( )

 

 

 

 

 

(делая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

применяем к

ней

правило

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тезис, по

предположению. Далее, по правилу

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дерево

 

 

, ( ) ( ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доказательства будет выглядеть следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1.

( )

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) [( )

( )]

( )

( ) ( . По)

Применяем к аксиоме А4 правило

 

 

(

):

 

 

определению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

( .)

.

Доказательство.

 

Применяем

аксиому

 

А4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

( )

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

(

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этой теоремы следует производное

правило вывода.

RТ1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) [( ) ( )] (Т1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема доказательства в

древовидной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) ( )

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала применяем правило

 

 

к

теореме 1,

делая замену

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) и по очереди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тезисы (стоящие слева от штопора

 

Далее используем известные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

применяем к ним правило . Сначала удобно использовать тезис

 

 

 

 

. К нему

применяем правило .

Далее ещё раз применяем правило

 

 

 

к тезису

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В конечном итоге, в корне дерева доказательства мы пришли к факту, который стоит справа от штопора. Для того чтобы к нему прийти, мы сначала использовали систему Гильберта-Акекрмана, а затем – 2 дополнительных факта, которые стоят слева от штопора.

Правило вывода RТ1 – это так называемое цепное правило.

Теорема 3. .

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

 

 

 

Глава 5

Теорема 2.

.

 

 

 

 

→ : . Аксиома А1: .

) правило

, заменяя

Доказательство. Применим к аксиоме А2 (

 

 

Применим цепное правило RТ1:

, .

Доказательство. По теореме 2: . По определению импликации .

//Эта теорема описывает закон исключённого третьего (лат. tertium non datur, т.е. //«третьего не дано») – закон классической логики, состоящий в том, что из двух //высказываний – «A» или «не A» – одно обязательно является истинным. Таким

//образом, 2 суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут

//быть одновременно ложными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4. .

 

 

 

3: . Применим к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

. По теореме

 

ней правило

RА3:

Теорема 5. .

 

 

 

 

 

 

 

 

(

):

 

.

Доказательство. По теореме 4:

 

. Применим правило

По определению импликации:

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 6. .

 

 

 

, применим правило ( → ): .

Доказательство. По теореме 5:

Применим правило RА4:

( ). Применяя правило

к

( ) и теореме 4

 

 

.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )., получим:

По правилу RА3:

 

По определению импликации:

Теорема 7. ( ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

)

 

 

По правилу RА4:

 

 

 

 

.

 

 

 

 

(

 

 

 

к

 

 

. Применяя( )

к 2-м

 

 

 

 

 

.

Доказательство. Применим правило

 

 

(

 

 

) к теореме 5 (

 

 

 

):

 

 

 

 

 

( )

 

 

Применим правило

 

 

 

 

 

 

( )

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аксиоме А3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полученным тезисам

 

 

 

и

 

 

 

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цепное правило RТ1, получим: . По определению импликации:

контрапозиции):

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RТ7 (закон

 

 

На

основе .этой

теоремы

 

существует

 

правило

 

вывода

( )

 

. По п

 

 

 

( )

 

 

 

 

→ →

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Правило

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Теорема 7:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– тезис. По правилу :

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

редположению,

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 8. & & .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

) к аксиоме A3:

 

 

 

Доказательство.

Применим альфа-редукцию (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&

 

 

 

& &

 

 

 

 

 

 

Используя

 

 

определение

 

 

 

 

 

 

 

.

 

По

правилу

 

RT7:

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

конъюнкции

 

, получим:

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 9. &

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( → )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

Применим

альфа-редукцию

 

 

к

теореме

 

6

( ):

. По определению конъюнкции

&: & .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 10.

& .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( → & )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

Применим

альфа-редукцию

 

 

 

к

теореме

 

6

( ):

& & . По определению дизъюнкции : & .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 11. & .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) к теореме 5

 

 

 

Доказательство. Аналогично применяем правило ( →

( ):

. По определению конъюнкции

&: & .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 12. & .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. По правилу RТ7 (

 

 

 

 

 

 

.

По

 

 

. Применяя

 

цепное правило RТ1, получим:

 

 

 

 

 

Доказательство.

Применим

 

правило

 

(

 

 

 

и

 

 

 

)

 

 

к

аксиоме

А2

определению

 

 

& &

закону контрапозиции):

 

 

.

По

(

 

 

 

 

):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теореме

6:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

конъюнкции

:

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из теоремы следует производное правило вывода RТ12: & .

 

 

 

 

 

 

 

Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5

 

Теорема 13.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство& абсолютно

аналогично доказательству теоремы 12.

 

 

 

 

 

Из этой теоремы также следует аналогичное правило вывода RТ13:

 

Доказательство.

( Из )аксиом( А2 )(

 

 

 

 

 

 

)

 

и А3

(

 

 

 

 

 

 

)

& Теорема.

14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

применением правил RТ1 и

 

(

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

применив

 

правило

 

RА4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Применим

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

А3: ( ) ( )

 

 

 

и по

 

получим:

 

 

 

 

. Затем дважды

 

 

 

 

 

 

( )

 

потом –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим сначала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, а

 

( )

( )

 

правило

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

) к аксиоме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

)

 

 

(

 

 

 

цепному правилу RТ1 получим:

 

 

Из аксиом А2 и А3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по

цепному правилу RТ1 получим.:

 

 

 

. Применим

 

 

.

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

А2

выведем

тезис

правило

 

 

 

(

 

 

 

 

 

):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Из

аксиомы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По цепному правилу RТ1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Теперь

воспользуемся

импликации

( ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правилом RА4, взяв в качестве приписываемой слева формулы заключение этой

 

 

 

 

 

 

( ) ( ) ( ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Ко 2-й части импликации применим аксиому А1 (

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

)

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

) (

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формул

 

 

и

по цепному правилу RТ1:

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

Теорема 15.( )

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

( ) ( ).

 

):

 

. По правилу RА4:

 

 

 

 

 

( )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

(

 

 

 

Доказательство.

(Применим) (к аксиоме)

 

А3 (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) правило

 

 

 

По цепному

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ) ( )

и

 

 

 

 

) к аксиоме А3: ( )

( )

 

 

. По цепному

 

 

Применив

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

правило

 

 

 

 

и

 

 

 

 

.

) к теореме 14, получим тезис

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( )

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

( )

 

правилу RТ1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Применим правило

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

правилу RТ1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для упрощения дальнейшей работы нам потребуется ещё одно правило вывода. При выполнении преобразований формул в алгебре логики можно заменить любое подвыражение на эквивалентное ему. Полученное таким образом выражение будет эквивалентно исходному. В формальной системе такое правило вывода не сформулировано явно, однако, его можно вывести.

Соседние файлы в папке Lektsii_po_Diskretnoy_Matematike