Lektsii_po_Diskretnoy_Matematike / Глава 5
.pdfГлава 5. Логические исчисления. |
Глава 5 |
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
|
Основные понятия. |
|
Определение. Исчисление – формальный аппарат, который позволяет оперировать по определённым заданным правилам с последовательностями знаков определённого вида. В результате применения правил на основе ранее известных фактов, выраженных последовательностями знаков, могут быть получены (доказаны) новые, ранее неизвестные факты.
Основное отличие исчисления от алгебры заключается именно в наличии механизма проведения доказательств, вывода новых неизвестных ранее фактов на основании известных, в то время как в алгебрах существует только механизм вычисления.
1)Язык для записи утверждений в этом языке. Утверждения называются
формулами.
2)Набор базовых утверждений или аксиом , записанных на языке . Этот набор полагается заведомо верным.
3)Набор правил , по которым из аксиом строятся новые производныеОпределение. Любое исчисление содержит следующие компоненты:
утверждения – теоремы. |
синтаксическое. |
|
|
Таким образом, можно говорить о формальной системе |
понятие. |
||
Важно то, что формальная система – это чисто |
= , , |
||
Смысл символов языка |
безразличен – главное, чтобы слова языка (теоремы) |
||
были получены из аксиом |
по правилам. |
|
|
Определение. Формальное доказательство – это цепочка строк (слов), в
•либо аксиома в формальной системе ;
•либо теорема, полученная из предыдущих строк применением правил.которой каждая строка
Определение. Модель формальной системы – это интерпретация её элементов, сопоставляющая каждому символу, аксиоме или теореме некоторый реальный объект.
Замечание. Что есть в исчислении, чего нет в алгебре:
1) Формализация доказательств.
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
Глава 5 |
2)Определение границ формальных систем – что мы можем доказать, а что – нет (критерий полноты).
3)Поиск противоречий в формальной системе – случай, когда мы можем доказать или всеСистема, ли ничегоГильберта(крит ий-непротиворечивостиАккермана. ).
Определение. Система Гильберта-Аккермана (СГА) – это формальная система, моделью которой является булева алгебра. Иными словами в системе Гильберта-Аккермана могут быть получены все утверждения, соответствующие истинным высказываниям.
||Исходно система Гильберта-Аккермана была разработана ими для иллюстрации ||того, что законы булевой алгебры могут быть доказаны на основании некоторой ||базовой системы аксиом.
Как и любая формальная система, система Гильберта-Аккермана состоит из следующих элементов:
1)Алфавит.
2)Правила образования формул.
3)Правила преобразования формул (или правила вывода).
Рассмотрим эти элементы подробнее:
1)Алфавит (список первичных понятий).
|
а) |
1, 2, 5 |
, … |
|
; |
||||||
|
Большие |
|
латинские буквы (возможно, с индексами): |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Они обозначают простые высказывания. Важно: |
букве не |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, , , … |
|
|
|
сопоставляется никакое значение истины или лжи – это просто |
|||||||||
|
|
абстрактный символ. |
|
||||||||
|
б) |
Знаки |
|
, |
|
|
– это операции над высказываниями. Знакам операций не |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
сопоставлена никакая конкретная операция над высказываниями, это |
|||||||||
|
|
также абстрактные понятия. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
||Знаки |
|
, |
|
(для простоты) мы будем называть «дизъюнкция» и «отрицание», но |
|||||||
||на |
самом деле эти знаки ничего не обозначают – некоторая условность. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Правила образования формул.
Для удобства будем обозначать формулы «угловатыми» буквами:
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
Глава 5 |
//Здесь и далее в тексте вместо «угловатых» букв будут использоваться //«прописные в 2 прохода»: , , , т.к. смысл «угловатых» букв только в том, //чтобы они отличались от букв, обозначающих простые высказывания.
«Угловатые» буквы не входят в алфавит системы Гильберта-Аккермана.
||Т.е. «угловатые» буквы – это просто обозначение. Именно поэтому они и ||должны отличаться от остальных букв.
а) Все простые высказывания( – это)формулы.
б) Если и – формулы, то – формула.
в) Если – формула, то – формула.
Пример. Дана формула: ( ) . Обозначаем: = ( ), затем = . Получим: – более простая по форме запись исходной формулы.
Сокращённая запись формул (это так же не часть системы Гильберта-
Аккермана, а некоторое упрощение для краткости записи):
& , ,= ( )&( ) .
3) Правила преобразования формул.
а) Первичные понятия (первичные тезисы) или аксиомы:
А1: |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ещё |
|
|
, то он есть точно, а возможно, есть |
|||||
|
А2: |
|
|
– если есть объект |
|
||||
|
|
какой-то объект , который заранее не задан. |
|||||||
|
А3: – перестановочный закон. |
||||||||
|
|
( ) ( ) |
( ) |
|
|||||
А4: |
|
|
|
|
|
|
|
– если добавить к посылке и |
|
|
следствию новый объект |
|
, то это ничего не изменит. |
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
Глава 5 |
Определение. Тезис – это общезначимая формула. В системе ГильбертаАккермана тезисы – это либо аксиомы, либо теоремы, полученные из аксиом по правилам вывода.
б) Первичные или основные правила вывода: |
|
|
|
|
|
|
||||
Правило |
: правило подстановки, альфа-редукция. В тезисе можно |
|||||||||
заменить простое высказывание всюду, где оно встречается, на |
||||||||||
любую формулу системы Гильберта-Аккермана. |
|
|
→ |
|
||||||
получим новый |
|
|
– тезис. Применим правило |
: |
, |
|||||
Например, |
пусть |
|
|
|
|
|||||
|
|
тезис: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
//Редукция (лат. reductio – |
сведение, |
возведение |
, приведение обратно) |
– |
//логический приём преобразования данных к более удобному виду; сведение
//сложного к более простому. |
|
|
|
|
|
||
ponens): « |
|
|
|
заключения (modus |
|||
Правило |
– |
правило отрыва или правило |
|||||
Если |
|
– тезис и |
|
– тезис, то – тезис». |
. |
||
Для обозначения |
|
процесса |
вывода |
используют |
знак «штопор» |
Сиспользованием( ) штопора( ) правила выглядят следующим образом:
1): Ф Ф , где Ф – формула, – простое высказывание, – формула.
2): , (из и выводится ).
||Знак «штопор» читается как «выводимо», «выводится», «доказывается».
1)“ ” – означает « выводимо». В такой форме записи непонятно, откуда выводимо , поэтому такая форма может быть только в контексте с той или иной формальной системой.
2)“ ” – означает « истинно» (двойной «штопор»). Здесь так же важно – в какой модели формальной системы является истинным высказыванием.Формы записи:
В большинстве случаев между выражениями с одинарным штопором и двойным штопором можно построить соответствие.
Правила и моделируют процесс рассуждения, знак «штопора» указывает на некоторый акт совершения умозаключения. Таким образом, в формальных системах творческий процесс доказательства моделируются некоторой механистической процедурой.
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
Глава 5 |
Из первичных правил вывода, применённых к тезисам, можно получить производные правила вывода.
Построим производные правила вывода для аксиом А1 – А4.
Нужно показать, что производное правило вывода RA1 от аксиомы А1 выглядит следующим образом: (читается как «если – тезис, то – тезис»).
Есть |
некоторое |
утверждение RА1. |
Используя |
известные |
понятия, |
|||||||
|
|
провести |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
необходимо |
рассуждения и доказать это утверждение. Аксиома А1: |
|||||||||||
|
. Применим к этой аксиоме правило |
|
(заменим |
|
): |
|
|
(1). |
||||
|
|
|
|
– это тезис. Тогда, используя формулу (1) и |
||||||||
Далее, по предположению, |
||||||||||||
правило , получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, при условии |
, . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
предположения |
|
из аксиомы А1 доказано . |
|
|||||
Древовидный способ записи доказательств: вместо штопора используется |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
горизонтальная черта; формулы, которые были слева от , записываются сверху, а |
||||||||||||
формулы справа от – снизу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае правилаФ( ) выглядят следующим( ) образом:Ф( ) или : ( → ) ( ) , .
Правило дерево никак не разветвляет. В результате его применения мы двигаемся сверху вниз и, в конце концов, приходим к корню дерева. Правило разветвляет дерево. Цель этих правил – добраться до формулы, стоящей в корне дерева.
Приведём предыдущее доказательство в древовидной форме (будут видны
|
|
|
|
(А1) |
|
|
|
|
|
|
|
различия между доказательствами правил вывода и доказательствами тезисов): |
|||||||||||
|
|
|
|
|
: → |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. Получаем формулу |
||||
Что мы делаем. К аксиоме А1 применяем |
правило : |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и полученной формуле |
|
|
. Далее, к исходному предположению |
→ |
|
||||||||
применяем правило |
|
: получаем . |
|
|
|
|
|
|
|
Разница между доказательством правил вывода и доказательством формул состоит в следующем. При доказательстве формул все пути в дереве (все его ветви)
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел Глава 5
должны быть тезисами. Здесь мы доказываем ту часть, которая в построенном
|
|
− |
|
|
дереве расположена слева над чертой. Можно переписать так: |
|
|||
если мы делаем предположение |
|
, то существует некоторое дерево |
||
|
|
мы можем прийти к утверждению . |
|
|
доказательства , при помощи которого |
|
|
||
||Все правила вывода |
говорят о том, |
что если мы знаем это правило вывода |
и |
||некоторый набор исходных формул, то применяя это правило, мы можем ||получить производные формулы. Правила вывода – это умозаключения, которые ||мы делаем. Умозаключение – это получение новых фактов, которых мы раньше ||не знали, на основании фактов, которых мы уже знаем.
Построим производное правило вывода RА2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
тезис, по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
будет выглядеть так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Аналогично, |
|
|
– |
|||||||||||||||
Аксиома А2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ней правило |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
, применяем к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
предположению. Правило |
|
: |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. В виде дерева это |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При условии, что нам известен |
некоторый |
факт |
|
|
и |
мы |
умеем |
проводить |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
можем доказать факт |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
рассуждения в системе Гильберта-Аккермана, мы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Построим производное правило вывода RА3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Аксиома |
А3: |
. |
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
. Дерево: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
к ней |
правило |
|
|
( |
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
применяем |
|
|
|
|
|
|
|
): |
||||||||||||||
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, по правилу |
|
: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Далее, |
|
|
– тезис, по предположению. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 5 |
|||||||||||||||||||||
Построим производное правило вывода RА4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Аксиома |
А4: |
(, |
) |
|
|
|
, |
. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
– |
|
|
|
||||||||||||||||||||
замену |
|
|
, ( ): |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
→ |
→ |
|
→ |
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
(делая |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применяем к |
ней |
правило |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тезис, по |
||||
предположению. Далее, по правилу |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Дерево |
|
|
, ( ) ( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
доказательства будет выглядеть следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1. |
( ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( ) [( ) |
( )] |
( ) |
( ) ( . По) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Применяем к аксиоме А4 правило |
|
|
( |
→ |
): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
( .) |
. |
|||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
Применяем |
аксиому |
|
А4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
≡ ( ) |
|
|
≡ |
( ) |
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этой теоремы следует производное |
правило вывода. |
RТ1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( ) [( ) ( )] (Т1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Схема доказательства в |
древовидной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
( ) ( ) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сначала применяем правило |
|
|
к |
теореме 1, |
делая замену |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) и по очереди |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тезисы (стоящие слева от штопора |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Далее используем известные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
применяем к ним правило . Сначала удобно использовать тезис |
|
|
|
|
. К нему |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
применяем правило . |
Далее ещё раз применяем правило |
|
|
|
к тезису |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В конечном итоге, в корне дерева доказательства мы пришли к факту, который стоит справа от штопора. Для того чтобы к нему прийти, мы сначала использовали систему Гильберта-Акекрмана, а затем – 2 дополнительных факта, которые стоят слева от штопора.
Правило вывода RТ1 – это так называемое цепное правило.
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
|
|
|
Глава 5 |
|
Теорема 2. |
. |
|
|
|
|
→ : . Аксиома А1: . |
) правило |
, заменяя |
|||
Доказательство. Применим к аксиоме А2 ( |
|
|
Применим цепное правило RТ1:
, .
Доказательство. По теореме 2: . По определению импликации .
//Эта теорема описывает закон исключённого третьего (лат. tertium non datur, т.е. //«третьего не дано») – закон классической логики, состоящий в том, что из двух //высказываний – «A» или «не A» – одно обязательно является истинным. Таким
//образом, 2 суждения, одно из которых является отрицанием другого, не могут |
|||||||||||||||||||||||||||
//быть одновременно ложными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 4. . |
|
|
|
3: . Применим к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказательство. |
. По теореме |
|
ней правило |
RА3: |
|||||||||||||||||||||||
Теорема 5. . |
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
( |
→ |
): |
|
. |
|||||||||||||
Доказательство. По теореме 4: |
|
. Применим правило |
|||||||||||||||||||||||||
По определению импликации: |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема 6. . |
|
|
|
, применим правило ( → ): . |
|||||||||||||||||||||||
Доказательство. По теореме 5: |
|||||||||||||||||||||||||||
Применим правило RА4: |
( ). Применяя правило |
к |
( ) и теореме 4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( )., получим: |
По правилу RА3: |
|
По определению импликации: |
||||||||||||||||||||||||
Теорема 7. ( ) . |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
и |
|
) |
|
|
|||||||||||||
По правилу RА4: |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
( |
|
|
|
к |
|||||||||||||
|
|
. Применяя( ) |
к 2-м |
|
|
|
→ |
|
→ |
|
. |
||||||||||||||||
Доказательство. Применим правило |
|
|
( |
|
|
) к теореме 5 ( |
|
|
|
): |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
( ) |
|
|
Применим правило |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
аксиоме А3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полученным тезисам |
|
|
|
и |
|
|
|
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 5 |
|||||||||||||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
цепное правило RТ1, получим: . По определению импликации: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
контрапозиции): |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RТ7 (закон |
||||||||||||||||||||
|
|
На |
основе .этой |
теоремы |
|
существует |
|
правило |
|
вывода |
||||||||||||||||||||||||||||||
( ) |
|
. По п |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
→ → |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Правило |
|
|
( |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Доказательство. Теорема 7: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
): |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– тезис. По правилу : |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
редположению, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Теорема 8. & & . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
) к аксиоме A3: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Доказательство. |
Применим альфа-редукцию ( |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
& & |
|
|
|
|
|
|
Используя |
|
|
определение |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
По |
правилу |
|
RT7: |
|
|
|
|
|
|
|
.→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
конъюнкции |
|
, получим: |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Теорема 9. & |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( → ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Доказательство. |
Применим |
альфа-редукцию |
|
|
к |
теореме |
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||
( ): |
. По определению конъюнкции |
&: & . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Теорема 10. |
& . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( → & ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Доказательство. |
Применим |
альфа-редукцию |
|
|
|
к |
теореме |
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||
( ): |
& & . По определению дизъюнкции : & . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Теорема 11. & . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) к теореме 5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Доказательство. Аналогично применяем правило ( → |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ): |
. По определению конъюнкции |
&: & . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Теорема 12. & . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. По правилу RТ7 ( |
|
|
|
|
|
|
. |
По |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
. Применяя |
|
цепное правило RТ1, получим: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Доказательство. |
Применим |
|
правило |
|
( |
|
|
|
и |
|
|
|
) |
|
|
к |
аксиоме |
А2 |
|||||||||||||||||||
определению |
|
|
& & |
закону контрапозиции): |
|
|
. |
По |
||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
теореме |
6: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
конъюнкции |
: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Из теоремы следует производное правило вывода RТ12: & . |
|
|
|
|
|
|
|
Кононов Василий, Сагитова Адиля и Главатских Павел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 5 |
|||||||||||||||||||||||
|
Теорема 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Доказательство& абсолютно |
аналогично доказательству теоремы 12. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Из этой теоремы также следует аналогичное правило вывода RТ13: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Доказательство. |
( Из )аксиом( А2 )( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
и А3 |
( |
|
|
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||
& Теорема. |
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
применением правил RТ1 и |
|
( |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
применив |
|
правило |
|
RА4, |
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Применим |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
А3: ( ) ( ) |
|
|
|
и по |
|
получим: |
|
|
|
|
. Затем дважды |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→ ( ) |
|
потом – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим сначала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, а |
||||||||||||||||
|
( ) |
( ) |
|
правило |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) к аксиоме |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
( |
|
|
|
цепному правилу RТ1 получим: |
|
||||||||||||||||||
|
Из аксиом А2 и А3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
по |
цепному правилу RТ1 получим.: |
|
|
|
. Применим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
→ |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
А2 |
выведем |
тезис |
|||||||||||||||||||||
правило |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Из |
аксиомы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
По цепному правилу RТ1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Теперь |
воспользуемся |
|||||||||||||||||||||||
импликации |
( ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
правилом RА4, взяв в качестве приписываемой слева формулы заключение этой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) ( ) ( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Ко 2-й части импликации применим аксиому А1 ( |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Из формул |
|
|
и |
по цепному правилу RТ1: |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
и |
Теорема 15.( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
( ) ( ). |
|
|||||||||||||||||||||||||
→ |
): |
|
. По правилу RА4: |
|
|
|
|
|
( ) |
. |
|
|
|
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
( |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Доказательство. |
(Применим) (к аксиоме) |
|
А3 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) правило |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
По цепному → |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ( ) |
|||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
) к аксиоме А3: ( ) |
( ) |
|
|
. По цепному |
|
|
Применив |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
правило |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
. |
) к теореме 14, получим тезис |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|||||||||||||
( ) |
|
правилу RТ1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Применим правило |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правилу RТ1: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для упрощения дальнейшей работы нам потребуется ещё одно правило вывода. При выполнении преобразований формул в алгебре логики можно заменить любое подвыражение на эквивалентное ему. Полученное таким образом выражение будет эквивалентно исходному. В формальной системе такое правило вывода не сформулировано явно, однако, его можно вывести.