Shvedenko_Nachala_matematicheskogo_analiza_2011
.pdf
31
dOKAZATELXSTWO. oBA ^ISLA a I ;(;a) QWLQ@TSQ PROTIWOPOLOV- NYMI ^ISLU ;a, a PO\TOMU SoWPADA@T W SILU AKSIOMY A5.
t4. (a 1) 1 =a DLQ L@BOGO NENULEWOGO a2R.
dOKAZATELXSTWO. oBA ^ISLA a I (a 1) 1 QWLQ@TSQ OBRATNYMI PO
OTNO[ENI@ K ^ISLU a 1, a POTOMU SOWPADA@T W SILU AKSIOMY A6.
|
t5. |
;0=0 1 1 =1. |
A4 |
|
A4 |
|
|||
|
dOKAZATELXSTWO. |
0+0 = 0 1 1 = 1 OSTAETSQ PRIMENITX AKSIOMY |
|||||||
|
|
|
|||||||
A5 I A6. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t6. |
; |
a=( 1)a DLQ L@BOGO a |
2 |
R. |
|
|||
|
|
; |
|
T2 |
A6 |
A3,A4,A1 |
|||
|
dOKAZATELXSTWO. |
0 = a 0 = a;1+(;1) |
= a+(;1)a, T.E. (;1)a |
||||||
|
|
|
|||||||
ESTX ^ISLO, PROTIWOPOLOVNOE a. |
|
|
|
||||||
t7. b;a =b+(;a).
dOKAZATELXSTWO. w SILU AKSIOM A1, A2, A4 ^ISLO b+(;a) UDOWLE- TWORQET URAWNENI@ a+x = b, IME@]EMU (SOGLASNO AKSIOME A5) EDIN- STWENNOE RE[ENIE, OBOZNA^AEMOE b;a.
t8. ab =a 1b.
dOKAZATELXSTWO. w SILU AKSIOM A1, A2, A4 ^ISLO a 1b UDOWLE-
TWORQET URAWNENI@ ax =b, IME@]EMU (SOGLASNO AKSIOME A6) EDINST-
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
WENNOE RE[ENIE, OBOZNA^AEMOE |
a . |
|
|
|||||||
|
t9. (ab) 1 =a 1b 1. |
|
|
|
|
|||||
|
dOKAZATELXSTWO. |
|
w SILU AKSIOM A1, A2, A6 (ab)a 1b 1 = 1, T.E. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
a 1b 1 QWLQETSQ ^ISLOM, OBRATNYM K ab. |
|
|
||||||||
|
t10. (;c)(;c)=cc DLQ L@BOGO c2R. |
A1,A2,A3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T6 |
||
|
dOKAZATELXSTWO. (;c)(;c);(cc) = (;1)c(;1)c+(;1)(cc) = |
|
||||||||
A1,A2,A3 |
|
|
|
|
A5 |
|
T2 |
|
|
|
= ((cc)(;1))(;1+1) = ((cc)(;1))0 = 0. |
|
|
||||||||
|
t11. 1>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO. |
|
tAK KAK 1 I 0 | DWA RAZNYH \LEMENTA, 1 |
6= 0, |
||||||
|
|
|
|
|||||||
DOPU]ENIE VE, ^TO |
; |
1 > 0, PRIWODIT K PROTIWORE^I@ S AKSIOMOJ |
A7: |
|||||||
T10 |
A8 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 = (;1)(;1) > 0. pO\TOMU (WWIDU \TOJ VE AKSIOMY) 1>0. |
|
|||||||||
|
t12. |
wSE NATURALXNYE ^ISLA (1 1+1, 1+1+1 |
: : : ) RAZLI^NY. |
|||||||
|
dOKAZATELXSTWO. BWIDU TEOREMY T11 I AKSIOMY A8 RAZNOSTX |
|||||||||
MEVDU RAZLI^NYMI SUMMAMI EDINIC OTLI^NA OT NULQ. |
|
|||||||||
|
t13. |
eSLI a<b, |
a b<c, TO a<c. |
|
|
|||||
32
|
dOKAZATELXSTWO. |
|
|
|
|
|
|
T7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A4,A5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T7 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
c |
; |
a = c+( |
|
|
a) |
|
|
= c+( |
b)+b+( |
; |
a) = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= (c;b)+(b;a) > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
t14. |
|
eSLI b>a>0, TO a 1 >b 1 >0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dOKAZATELXSTWO. pRI a>0 SOOTNO[ENIQ a 1 = 0 I a 1< 0 NEWOZMOV- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NY W SILU TEOREM T2 I T11 |
|
|
ESLI b>a>0, TO a |
1 |
|
|
|
b 1 |
A4,A6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
; |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A4,A6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
A1{A4,A6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A7,A8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (b;a) > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= (ab) 1ab;a 1 ;b |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(ab) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
t15. |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(a+b) |
|
=a |
|
+2ab +b |
|
|
|
|
|
(a+b)(a;b)=a ; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a+b)3 =a3 +3a2b +3ab2+b3.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1,A3 |
|
|
|||||
|
dOKAZATELXSTWO. (a+b)2 =(a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1,A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1,A3,A4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= aa+ab+ba+bb |
|
|
|
= |
|
|
a |
+ (1+1)ab+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(a+b)(a;b) |
A1,A3,T6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A5,T6 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
aa+ba+ (;1)ab+(;1)bb = a |
|
; b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1{A4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(a+b)3 =(a+b)2(a+b) = (a2 +2ab +b2)(a+b) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1{A4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
b = a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
. |
||||||
= |
a |
|
a+2aba+b |
a+a |
b+2abb +b |
|
|
+(2+1)a |
|
b+2+1)ab +b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t16. w OBOZNA^ENII1 an = a |
|
|
|
|
a |
PRI n = 2 3 : : : |
|
(S SOGLA[ENIEM |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z }| { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S^ITATX a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= a) DLQ L@BYH NATURALXNYH ^ISEL m n WYPOLNQ@TSQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
RAWENSTWA: |
|
1) am+n = aman |
|
|
|
|
2) amn = (am)n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m+n |
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dOKAZATELXSTWO. |
|
1) |
am+n = a |
|
|
|
a= a |
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
a = aman |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z }| { z }| { |
|
z }| { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2) a |
m1 |
|
A4 |
|
m |
|
|
|
a |
m2 |
= a |
m(1+1) A3 A4 |
|
|
m+m |
1) |
m |
|
m |
|
|
m 2 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
|
|
|
|
= a |
|
|
a |
|
|
= (a ) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
a |
m3 |
|
= a |
m(2+1) A3 A4 |
m2 |
a |
m |
|
|
|
|
|
m 2 |
|
m 1) |
|
m 3 |
: : : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
|
|
|
|
|
= (a ) a |
|
|
= (a ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
kAK WIDNO IZ \TIH PRIMEROW, PREDWARQTX TITULOM \TEOREMA" KAV- DOE WYWODIMOE UTWERVDENIE BYLO BY NEPRAKTI^NO, DA I WRQD LI WOZ- MOVNO. kAK PRAWILO, \TOT TITUL PRIMENQ@T W BOLEE UZKOM SMYSLE, NAZYWAQ \TEOREMAMI" NE WSE WYWODIMYE UTWERVDENIQ, A LI[X NAIBO- LEE ZNA^IMYE IZ NIH, OBY^NO IMENNYE ILI IME@]IE TRADICIONNYE NAZWANIQ. pRIMEROM TAKOGO UTWERVDENIQ MOVET SLUVITX SLEDU@]EE.
1 zAPISX a2 NARAWNE S aa, a3 WMESTO aaa I T. D. WWEL dEKART W SWOEJ
\gEOMETRII" [38] (1637 G.).
w \nOWOJ aLGEBRE" wIETA FORMULA KUBA SUMMY ZAPISYWALASX W WIDE a + b cubo qualia a cubus + b in a quadr. 3 + a in b quadr. 3 + b cubo.
33
tEOREMA SU]ESTWOWANIQ ARIFMETI^ESKOGO KORNQ. kAKOWY BY NI BYLI POLOVITELXNOE ^ISLO s I NATURALXNOE
^ISLO k, SU]ESTWUET EDINSTWENNOE POLOVITELXNOE ^ISLO r, DLQ KOTOROGO rk = s \TO ^ISLO r NAZYWA@T ARIFMETI^ESKIM KORNEM STEPENI k IZ ^ISLA s I OBOZNA^A@T pk s.1
dOKAZATELXSTWO.2 sPRAWEDLIWA FORMULA RAZNOSTI STEPENEJ3
uk ;vk =(u;v)(uk 1 +uk 2v+ + uvk 2 +vk 1) 4,
NAPRQMU@ PROWERQEMAQ RASKRYTIEM SKOBOK. iZ NEE SRAZU SLEDUET, ^TO POLOVITELXNOE ^ISLO r, DLQ KOTOROGO rk = s (W SLU^AE EGO SU]ESTWO- WANIQ) QWLQETSQ EDINSTWENNYM.5
dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO ^ISLA s > 0 SU]ESTWUET POLOVITELX- NOE ^ISLO r, DLQ KOTOROGO rk = s, MOVNO, PREDPOLOVIW PROTIWNOE I RAZDELIW (W SOOTWETSTWII S \TIM PREDPOLOVENIEM) WSE DEJSTWITELX- NYE ^ISLA NA MNOVESTWA A I B, OTNESQ K PERWOMU WSE OTRICATELXNYE ^ISLA, NULX I TE POLOVITELXNYE ^ISLA, k{Q STEPENX KOTORYH MENX- [E ^ISLA s, A KO WTOROMU | WSE POLOVITELXNYE ^ISLA, k{Q STEPENX KOTORYH BOLX[E ^ISLA s.
mNOVESTWA A I B UDOWLETWORQ@T WSEM USLOWIQM AKSIOMY A10 (SM. S. 30): OBA \TI MNOVESTWA NEPUSTY6, I a < b DLQ L@BYH \LEMEN-
1p | STILIZOWANNAQ NA^ALXNAQ BUKWA LAT. SLOWA radix KORENX. 2 oSNOWANNOE ISKL@^ITELXNO NA AKSIOMAH SISTEMY DEJSTWITELXNYH
^ISEL. rAS[IRENIE ZAPASA ISTINNYH UTWERVDENIJ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA POZWOLIT DATX BOLEE KOROTKOE DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY
(SM. DALEE S. 158{159, A TAKVE S. 80).
3 oBOB]ENIE \[KOLXNYH" FORMUL RAZNOSTEJ KWADRATOW I KUBOW.
4 oSOBENNO ^ASTO ISPOLXZUETSQ EE ^ASTNYJ SLU^AJ
|
|
5 pREDPOLOVENIE |
(1;qn) = (1 |
;q)(1+q + + qn1 ) |
. |
|
|||||||||
|
|
, |
^TO rk = s I rk = s |
PRI POLOVITELXNYH r |
=r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
6 e |
(DLQ OPREDELENNOSTI r < r), SRAZU PRIWODIT K PROTIWORE^I@: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
+rk |
2r+ |
+ rrk 2 +rk |
A6 |
|
|
|
|
|
0 = rk;rk =(r;r)(rk 1 |
1) > 0. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
e |
e |
e |
|
e |
s + 1, POSKOLXKU |
|||
|
|
6 mNOVESTWU |
B PRINADLEVIT, |
NAPRIMER, ^ISLO |
|||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
}| |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(s+1) (s+1)= 1+ ks + > s. |
|
|
|
|
|
||||||||||
34
TOW a 2 A I b 2 B.1 w SILU AKSIOMY A10 LIBO W MNOVESTWE A ESTX NAIBOLX[IJ \LEMENT, LIBO W MNOVESTWE B ESTX NAIMENX[IM, A PO\TO- MU (^TOBY POLU^ITX PROTIWORE^IE) OSTAETSQ UBEDITXSQ, ^TO NA SAMOM DELE W MNOVESTWE A NET NAIBOLX[EGO \LEMENTA, A W MNOVESTWE B NET
NAIMENX[EGO.
eSLI BY MNOVESTWO A SODERVALO NAIBOLX[IJ \LEMENT c, TO WYPOL-
NQLISX BY SOOTNO[ENIQ c > 0 (POSKOLXKU 0 |
2 |
A) I ck < s. wZQW TOGDA NA- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k(c+1)k 1 |
|
TURALXNOE ^ISLO n, PREWOSHODQ]EE POLOVITELXNOE ^ISLO |
s;ck |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(AKSIOMA A9), I PRIMENQQ FORMULU RAZNOSTI STEPENEJ, MOVNO BYLO |
|||||||||
BY ZAKL@^ITX, ^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;c + n1 k = ;c+ n1 k ; ck + ck = |
|
|
|
|
|
|
|
||
= 1 ;c+ 1 k |
1 + ;c+ 1 k 2c + |
|
+ |
;c+ 1 ck 2 + ck 1 + ck < |
|||||
n |
n |
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
< 1 k(c+1)k |
1 +ck < (s |
; |
ck) + ck |
= s, |
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T.E. ^ISLO c+ n , BOLX[EE, ^EM NAIBOLX[IJ \LEMENT MNOVESTWA A, TAK- VE OKAZYWAETSQ \LEMENTOM \TOGO MNOVESTWA | PROTIWORE^IE.
eSLI BY MNOVESTWO B SODERVALO NAIMENX[IJ \LEMENT c, TO WZQW NATURALXNOE ^ISLO n, PREWOSHODQ]EE NAIBOLX[EE IZ POLOVITELXNYH
|
kck 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
^ISEL ck;s |
I c (AKSIOMA A9), I PRIMENQQ FORMULU RAZNOSTI STEPE- |
|||||||
NEJ, MOVNO BYLO BY ZAKL@^ITX, ^TO |
|
|
|
|||||
;c; n1 k = ck ; ck ; ;c; n1 |
k = |
|
|
|
||||
|
= ck; n1 ck 1 + ck 2;c; n1 + + c;c; n1 k 2 + ;c; n1 k 1 > |
|
||||||
|
> ck; n1 kck 1 > ck |
;(ck ;s) = s, |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
- |
T.E. ^ISLO c; n (POLOVITELXNOE, TAK KAK |
c ), MENX[EE, ^EM NAIMENX |
|
||||||
[IJ \LEMENT c MNOVESTWA B , TAKVE OKAZYWAETSQ \LEMENTOM \TOGO MNO-
VESTWA | PROTIWORE^IE.
w SOOTWETSTWII S PRINCIPOM KOSWENNOGO DOKAZATELXSTWA (SM. pRI- LOVENIE I) PREDPOLOVENIE, ^TO POLOVITELXNOGO ^ISLA r, DLQ KOTOROGO
rk =s, NE SU]ESTWUET, QWLQETSQ LOVNYM. |
Q.E.D.2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|TO ZAWEDOMO TAK, ESLI a< 0 ILI a=0, ESLI VE a>0, TO (POSKOLXKU |
||||||||||
ak <s, A bk >s) b |
; |
a = |
k 1 |
|
k 2 bk;ak k |
2 |
|
k 1 |
> 0. |
|
|
2 |
|
|
b |
+b a+ +ba |
|
+a |
|
|
| |
||
|
oT LAT. quod erat demonstrandum (^TO TREBOWALOSX DOKAZATX) |
|
|||||||||
KLASSI^ESKOE UKAZANIE OKON^ANIQ DOKAZATELXSTWA.
35 zAME^ANIE 1. tAK KAK DLQ L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a I b OBA ^ISLA pab I |
papb UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xk = ab, IZ DOKAZANNOJ TEOREMY1 SLEDUET, ^TO pab = papb, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pa |
|
|
|
k |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
k |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
k |
|
|
|
|
|
|||||
I PO TAKOJ VE PRI^INE k |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
zAME^ANIE 2. tAK KAKpPRI NE^ETNOM k RAWENSTWA xk = a |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
; |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
||
I ( x)k = |
|
|
a RAWNOSILXNY, MOVNO OPREDELITX KORENX NE^ET- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|||
NOJ STEPENI IZ OTRICATELXNOGO ^ISLA, POLAGAQ p;a = ;pa. |
||||||||||||||||||||
|
kROME |
NATURALXNYH |
^ISEL 1 2 = 1+1 3 = 1 +1 +1 |
: : : |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
W SISTEME R DEJSTWITELXNYH ^ISEL WYDELQ@T:
CELYE ^ISLA, OTNOSQ K NIM WSE NATURALXNYE ^ISLA, IM PROTIWOPOLOVNYE, A TAKVE NULX
RACIONALXNYE ^ISLA | TE, KOTORYE PREDSTAWIMY W WIDE
OTNO[ENIJ CELYH ^ISEL
IRRACIONALXNYE ^ISLA | TE, KOTORYE NE PREDSTAWIMY W WIDE TAKIH OTNO[ENIJ.
dEKART I nX@TON NAZYWALI IRRACIONALXNYE ^ISLA \GLUHIMI" (FR. sourd, LAT. surdus). nA S. 2 IZDANNOJ W 1707 G. \wSEOB]EJ ARIFMETIKI" nX@TONA [48] MOVNO PRO^ITATX: \sU]ESTWUET TRI WIDA [^ISEL]: CE- LOE, DROBNOE I GLUHOE. cELOE TO, ^TO IZMERQETSQ EDINICEJ, DROBNOE KRATNOJ DOLEJ EDINICY, GLUHOE VE NESOIZMERIMO S EDINICEJ". (w LA-
TINSKOM ORIGINALE: \Estque triplex integer, fractus & surdus: Integer, quem unitas metitur, fractus quem unitatis par submultiplex metitur, & surdus cui unitas est incommenurabilis".).
iRRACIONALXNOSTX ^ISLA p2 (OTNO[ENIQ DLINY DIAGONALI KWAD- RATA K DLINE EGO STORONY) BYLA OTKRYTA PIFAGOREJCAMI (SM. S. 5), HRANIW[IMI \TO OTKRYTIE W TAJNE (PO LEGENDE WYDAW[IJ EE POGIB W KORABLEKRU[ENII). nYNE DOKAZATELXSTWO IRRACIONALXNOSTI ^ISLA p2 (SM. S. 280{281) WHODIT W [KOLXNU@ PROGRAMMU. o TOM, ^TO IRRACIO- NALXNYH ^ISEL \BOLX[E", ^EM RACIONALXNYH, SM. DALEE S. 46{47.
sLOWA \RACIONALXNYE" I \IRRACIONALXNYE" WOZNIKLI W REZULXTATE PREOBRAZOWANIQ (^EREZ LATYNX) GRE^ESKIH TERMINOW o | WYRAZI- MYE I o | NEWYRAZIMYE, KOTORYMI OPERIROWALI PIFAGOREJCY.
1 w ^ASTI EDINSTWENNOSTI ARIFMETI^ESKOGO KORNQ.
36
dLQ RACIONALXNYH ^ISEL WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE PRAWILA RAWEN-
STWA I ^ETYREH OSNOWNYH DEJSTWIJ S NIMI:
m |
= |
k |
|
ml = nk, |
m |
|
k |
= |
lm nk |
, |
|
n |
l |
() |
n l |
||||||||
|
|
|
nl |
|
|||||||
m |
|
k |
|
mk |
|
|
m |
|
|
ml |
||
|
|
|
|
n |
|
|||||||
n l |
= nl |
, |
|
|
k |
|
= nk |
|||||
|
|
|
l |
|||||||||
rACIONALXNAQ STEPENX POLOVITELXNOGO ^ISLA
rASPROSTRANENIE SIMWOLA ak, KOTORYM (WSLED ZA dEKAR-
k
TOM) STALI OBOZNA^ATX PROIZWEDENIE za }| a{ , k = 2 3 : : : , S SOGLA[ENIEM, ^TO a1 = a, A a0 = 1 (ESLI a 6=),0 NA OTRICA- TELXNYE I DROBNYE ZNA^ENIQ \POKAZATELQ" DALI ANGLIJSKIE MATEMATIKI wALLIS1 I (W OKON^ATELXNOJ FORME) nX@TON2 wSLED ZA NIMI POLAGA@T
|
|
|
k |
k |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a; |
|
|
= (a |
); |
= |
a |
k , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A ZA RACIONALXNU@ STEPENX a n |
POLOVITELXNOGO ^ISLA |
a I |
|||||||||||||||||
RACIONALXNOGO ^ISLA |
m |
|
(GDE m I n | CELYE ^ISLA, PRI^EM |
||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n > 0) PRINIMA@T ^ISLO pam | EDINSTWENNYJ POLOVI- |
|||||||||||||||||||
TELXNYJ KORENX URAWNENIQ xn = am (SM. S. 33). |
|
|
|||||||||||||||||
s RACIONALXNOJ STEPENX@ OTRICATELXNOGO ^ISLA WOZNIKA@T SLOV- |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
NOSTI: ZNA^ENIE ( 1) |
2 NE OPREDELENO, |
A ( |
1) |
3 |
= (1) |
6 , HOTQ |
I |
| |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
6 ; |
3 |
|
6 |
|
|||
ODNO I TO VE ^ISLO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oPREDELENIE I WYWOD SWOJSTW STEPENI POLOVITELXNOGO ^ISLA S L@BYM DEJSTWITELXNYM POKAZATELEM DANY NIVE (SM.
NA OSNOWE PONQTIJ \KSPONENTY I LOGARIFMA.
1 tO^NEE, uOLLIS |
(Wallis John, |
1616{1703) W EGO \Arithmetica |
||||
In nitorum", WY[ED[EJ W SWET W 1656 |
G.: \ 1 |
cujus index est 1", |
\px |
|||
|
1 |
|
|
x |
; |
|
cujus index est |
" ([52], p. 35). |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 wOT FRAGMENT RUSSKOGO PEREWODA EGO ZNAMENITOGO PISXMA |
(UVE |
|||||
UPOMINAW[EGOSQ NA S. 26) 1676 G.: \tAK VE, |
KAK ALGEBRAISTY OBY^NO |
|||||
WMESTO aa aaa aaaa I T. D. |
PI[UT a2 a3 a4 I T. D., TAK I Q WMESTO |
|||||||||||
pa p |
|
pa5 I T.D. PI[U a2 |
a2 |
a3 |
I T. D., A WMESTO |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
, . . . |
|
a3 |
||||||||||||
3 |
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
PI[U a 1 a 2 a 3, . . ." ([19], S. 218). |
|
a |
|
aa |
|
aaa |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
37
p-I^NYE DROBI I POZICIONNAQ ZAPISX DEJSTWITELXNYH ^ISEL
aKSIOMA A9 SLUVIT OSNOWOJ PREDSTAWLENIQ DEJSTWITELXNYH ^I-
SEL W WIDE (KONE^NYH ILI BESKONE^NYH) p-I^NYH DROBEJ, GDE p | L@BOE
NATURALXNOE ^ISLO, BOLX[EE EDINICY1, WZQTOE W KA^ESTWE OSNOWANIQ. pUSTX a>0 I PUSTX n0+1 | PERWOE IZ NATURALXNYH ^ISEL, BOLX[EE
^ISLA a (SU]ESTWOWANIE TAKOGO NATURALXNOGO ^ISLA OBESPE^IWAET AK- SIOMA aRHIMEDA). tOGDA LIBO a = n0 (T. E. a ESTX CELOE NEOTRICA- TELXNOE ^ISLO), LIBO n0 < a < n0+1. w POSLEDNEM SLU^AE PUSTX n1 +1
ESTX PERWOE SREDI ^ISEL |
1 : : : p, |
|
|
|
|
|
(a;n0)p, |
T |
E |
. |
LIBO |
|||||||||||||||||||||
|
BOLX[EE ^ISLA |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n1 |
|
|
|
n1 |
|
|
n1+1 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
a =n0 + |
, |
LIBO n0 + |
|
<a<n0 + |
. w POSLEDNEM SLU^AE NAHODQT |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|||||||||
NATURALXNOE ^ISLO n2+16p SO SWOJSTWOM: LIBO a =n0 + |
+ |
, LIBO |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
p p |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|
n1 |
|
|
n2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|||||||||
n0 + p |
+ p p <a<n0 + p |
+ |
p p |
I T. D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
w REZULXTATE DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA a WOZNIKAET LIBO |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
PREDSTAWLENIE a = n0 + p + p2 + + pk |
\p- |
I^NOJ DROBX@ |
" (W KOTO- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ROJ n0 n1 : : : nk | CELYE NEOTRICATELXNYE ^ISLA, PRI^EM n1 : : : nk
MENX[E p), LIBO BESKONE^NYJ NABOR POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ \TOGO ^ISLA (S NEDOSTATKOM I S IZBYTKOM) \p-I^NYMI DROBQMI":
|
n1 |
|
n2 |
|
|
nk |
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|
nk+1 |
|
|
||||
n0 + p |
+ p2 |
+ + pk < a < n0 |
+ p + p2 + + |
pk |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|
nk |
|
|
|||
S KRATKIM OBOZNA^ENIEM \TOGO a = n0 + p |
+ p2 + |
+ pk + | W |
||||||||||||||||||||
WIDE \BESKONE^NOJ p-I^NOJ DROBI". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dLQ POLU^ENIE |
POZICIONNOJ p-I^NOJ ZAPISI |
^ISLA a > |
0 SLEDUET |
|||||||||||||||||||
E]E PREDSTAWITX CELU@ ^ASTX n0 ^ISLA a (A EE OBY^NO OBOZNA^A@T
[a]) W WIDE n0 = mj pj + +m1p+m0, GDE m0 : : : mj | CELYE NEOTRI-
CATELXNYE ^ISLA, MENX[IE p. pRI n0 < p \TO PREDSTAWLENIE SWODITSQ K RAWENSTWU n0 = n0 (T. E. j = 0, A m0 = n0) ESLI VE n0 > p, TO:
j | \TO PERWOE IZ ^ISEL 0 1 2 : : : , DLQ KOTOROGO n0 < pj+1 (ONO |
||
SU]ESTWUET PO AKSIOME aRHIMEDA, TAK KAK p >1 p2 > 2 p3 > 3 : : : ) |
||
n0 |
|
6 p;1) |
mj | \TO CELAQ ^ASTX ^ISLA pj |
(PRI \TOM 1 6mj |
|
1 pOMIMO NAIBOLEE RASPROSTRANENNOGO WYBORA p, |
RAWNOGO ^ISLU |
|
PALXCEW NA RUKAH, W DREWNEM wAWILONE POLXZOWALISX DROBQMI S OSNOWA- NIEM 60 (O ^EM NAPOMINAET NYNE[NEE RAZDELENIE ^ASA I GEOGRAFI^ES- KOGO GRADUSA NA MINUTY I SEKUNDY). u DREWNIH EGIPTQN W HODU BYLI
DWOI^NYE DROBI.
38
m |
1 |
| \TO CELAQ ^ASTX ^ISLA |
n0;mjpj (0 |
6m |
j |
1 |
6 p |
; |
1) |
|
|
j |
|
pj 1 |
|
|
|
|
|
||||
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
|||||||||
m1 |
| \TO CELAQ ^ASTX ^ISLA n0;mjpj ; ;m2p2 |
(0 6m1 6 p |
; |
1) |
|||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
m0 = n0 ;mjpj ; ;m1p (0 6 m0 6 p;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pOSKOLXKU ^ISLA mj : : : m1 m0 (KAK I n1 : : : nk ) | CELYE NE-
OTRICATELXNYE, MENX[IE p, OSTAETSQ WYBRATX SIMWOLY DLQ OBOZNA^E-
NIQ ^ISEL 0 1 : : : p ;1, T. E. SISTEMU CIFR1, I PRINQTX SLEDU@]U@ POZICIONNU@ ZAPISX ^ISEL (W p-I^NOJ SISTEME):
n0 = mj : : : m1m0 WMESTO n0 = mj pj + + m1p + m0 DLQ CELOGO |
|||||||||||||
NEOTRICATELXNOGO ^ISLA n0 |
, |
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
nk |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a = mj : : : m1m0 n1 : : : nk |
WMESTO a = n0 |
+ p |
+ p2 |
+ + pk |
DLQ |
||||||||
^ISLA a > 0, PREDSTAWIMOGO \KONE^NOJ" p-I^NOJ DROBX@, |
nk |
|
|
||||||||||
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||
a = mj : : : m1m0 n1 : : : nk : : : WMESTO a = n0 |
+ p |
+ p2 |
+ + pk |
+ |
|||||||||
DLQ ^ISLA a > 0, PREDSTAWIMOGO \BESKONE^NOJ" p-I^NOJ DROBX@.2 |
|
||||||||||||
dLQ OTRICATELXNOGO ^ISLA a OPISANNYE DEJSTWIQ SOWER[A@T S POLOVITELXNYM ^ISLOM ;a, PREDWARQQ POLU^ENNU@ EGO POZICIONNU@ ZAPISX ZNAKOM \MINUS". sLEDUET LI[X U^ESTX, ^TO ESLI a | NECELOE
OTRICATELXNOE ^ISLO, TO EGO CELOJ ^ASTX@ [a] S^ITA@T NE ;[;a], A |
||||
;[;a]; 1. |
wSLEDSTWIE \TOGO [a] < a < [a] + 1 DLQ L@BOGO NECELOGO I |
|||
[a] = a DLQ L@BOGO CELOGO ^ISLA a. |
|
|
||
|
|
|||
1 nAPRIMER, PRIWY^NYH \INDO-ARABSKIH" (SM. S. 29) S DOBAWLENIEM |
||||
2 |
p >10 SIMWOLOW (\CIFR") DLQ ^ISEL 10 : : : p |
; |
1. |
|
K NIM PRI |
|
|||
oTDELQTX CELU@ ^ASTX ^ISLA OT \DROBNOJ" WO \wSEOB]EJ ARIFME- TIKE" nX@TONA [48] (NA S. 2) PREDLAGAETSQ LIBO ZAPQTOJ, LIBO TO^KOJ, LIBO E]E I ^ERTO^KOJ. w rOSSII PRIVILSQ PERWYJ SPOSOB, W BOLX[IN- STWE VE PRO^IH STRAN | WTOROJ.
pOZICIONNAQ (DESQTI^NAQ) SISTEMA ZAPISI ^ISEL PRI[LA W eWRO- PU (POSTEPENNO WYTESNQQ RIMSKU@) BLAGODARQ \kNIGE ABAKA" lEONAR- DO pIZANSKOGO (1202 G.). pONA^ALU PREDSTAWLENIE ^ISEL W \TOJ SISTE- ME NAZYWALOSX ALGORITMOM | PO LATINSKOJ TRANSKRIPCII Algorithmi PROZWI]A ALX-hOREZMI (T. E. IZ hOREZMA), POD KOTORYM IZWESTEN MA- TEMATIK IX W. mOHAMMED BEN mUSA, NAPISAW[IJ POPULQRNYJ TRAKTAT PO RE[ENI@ URAWNENIJ, NAZWANIE KOTOROGO, PO-ARABSKI ZWU^A]EE KAK \kITAB ALX-DVEBR WALX MUKABALA", PORODILO SLOWO ALGEBRA.
39
kL@^EWU@ ROLX PRI IZLOVENII ANALIZA IGRAET NAGLQD- NOE GEOMETRI^ESKOE PREDSTAWLENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL TO^KAMI (ILI NAPRAWLENNYMI OTREZKAMI) PRQMOJ, PREWRA-
]AEMOJ W ^ISLOWU@ OSX WYBOROM NA NEJ IZOBRAVENIJ NULQ I EDINICY I POSLEDU@]IM SOPOSTAWLENIEM AKSIOM DEJSTWI- TELXNYH ^ISEL S AKSIOMAMI GEOMETRII (^TO OSU]ESTWLQETSQ W OBSTOQTELXNYH KURSAH ANALITI^ESKOJ GEOMETRII).
mYSLENNO PREDSTAWIW \WTOROJ \KZEMPLQR" ^ISLOWOJ OSI \SKOLXZQ- ]IM" PO PERWOMU, MOVNO GEOMETRI^ESKI ISTOLKOWATX SLOVENIE I WY- ^ITANIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL ESLI VE DWA \KZEMPLQRA ^ISLOWOJ OSI PREDSTAWITX PERESEKA@]IMISQ (W TO^KE 0), TO WOZNIKAET GEOMETRI^ES- KAQ TRAKTOWKA UMNOVENIQ I DELENIQ (RIS. 1), WPERWYE DANNAQ dEKAR- TOM NA PERWYH VE STRANICAH EGO \gEOMETRII" [38]1.
|
b |
|
|
|
0 |
b |
|
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a b |
0 |
a |
a |
|
|
b |
R |
|||||||
|
+ |
|
|||||||||||||
b
0 |
1 |
b |
R |
b a
a
ab |
R |
|
rIS. 1
1 dO dEKARTA, IZOBRAVAQ ^ISLA OTREZKAMI, IH PROIZWEDENIE PRED-
STAWLQLI NE OTREZKOM, A TRAKTOWALI KAK PLO]ADX PRQMOUGOLXNIKA.
40
I.2. ~TO NAZYWA@T TO^NYMI GRANQMI MNOVESTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL
wSE MNOVESTWA, O KOTORYH IDET RE^X W \TOM PARAGRAFE, QWLQ@TSQ MNOVESTWAMI DEJSTWITELXNYH ^ISEL, A W NAGLQD- NOM PREDSTAWLENII | MNOVESTWAMI TO^EK ^ISLOWOJ OSI:
~ISLO a 2 R NAZYWA@T NIVNEJ GRANICEJ MNOVESTWA X,
ESLI L@BOJ \LEMENT DANNOGO MNOVESTWA NE MENX[E ^ISLA a:
8x(x2X ) a6x)1.
mNOVESTWO X , DLQ KOTOROGO SU]ESTWUET NIVNQQ GRANI-
CA, NAZYWA@T OGRANI^ENNYM SNIZU: 9a8x(x 2X ) a 6x) W PROTIWNOM SLU^AE2 ONO NAZYWAETSQ NE OGRANI^ENNYM SNIZU:
:9a8x(x2X ) a6x) = 8a9x(x2X ^ x<a).
pO \TOJ VE SHEME WWODQTSQ PONQTIQ WERHNEJ GRANICY I
OGRANI^ENNOGO SWERHU MNOVESTWA.
~ISLO b 2 R NAZYWA@T WERHNEJ GRANICEJ MNOVESTWA X,
ESLI L@BOJ \LEMENT \TOGO MNOVESTWA NE BOLX[E ^ISLA b:
8x(x2X ) x6b).
mNOVESTWO X , DLQ KOTOROGO SU]ESTWUET WERHNQQ GRANI- CA, NAZYWA@T OGRANI^ENNYM SWERHU: 9b8x(x 2 X ) x 6 b)
W PROTIWNOM SLU^AE EGO NAZYWA@T NE OGRANI^ENNYM SWERHU:
:9b8x(x2X ) x6b) = 8b9x(x2X ^ x>b).
pRIMER. mNOVESTWO N NATURALXNYH ^ISEL OGRANI^ENO SNIZU, NO
NE OGRANI^ENO SWERHU. dLQ DOKAZATELXSTWO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO IZ TEOREMY T11 NA S. 31 I AKSIOM A8 I A9 (SM. S. 29) SLEDUET:
A) L@BOE NATURALXNOE ^ISLO BOLX[E NULQ
B) DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA SU]ESTWUET PREWOSHODQ]EE EGO NATURALXNOE ^ISLO.
1 tO, ^TO ^ISLO a NE QWLQETSQ NIVNEJ GRANICEJ MNOVESTWA X , ZA- PISYWAETSQ POSREDSTWOM OTRICANIQ \TOJ FORMULY:
:8x(x2X ) a6x) = 9x:(x2X ) a6x) = 9x(x2X ^ a>x). kOMMENTARII K SIMWOLI^ESKOJ ZAPISI DANY W pRILOVENII I.
2 eSLI ISTINNYM QWLQETSQ OTRICANIE \TOJ FORMULY.