Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Shvedenko_Nachala_matematicheskogo_analiza_2011

.pdf

Скачиваний:

708

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

5.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3325 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

241

4. pOSKOLXKU DLQ FUNKCII y = ln(1 + x) WYPOLNQ@TSQ

SOOTNO[ENIQ

y0(x) =

y0(0) = 1

1+x

y00 x

(;1) 1

(0) = (;1) 1

( ) =

(1+x)2

y000 x

(;1)2 1 2

y000

( ) =

(1+x)3

(0) = (

1 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .;. . .

. . . . . . . .

y(n) x

(

1)n;1 1

2 (n;1)

y(n)

(0) = ( 1)

n;1

( ) = ;

(

;

(1+x)

;

y(n+1) x

(;1)n 1

2 (n;1) n

( ) =

(1+x)n+1

FORMULA mAKLORENA DLQ \TOJ FUNKCII IMEET WID

n;1

ln(1 + x) = x;

; 4

+ + (;1)

+ rn(x),

(;1)n xn+1

OSTATOK W ZAPISI lAGRANVA

(n+1)(1+c)n+1

(

)

GDE rn(x) = 8(

1)n(1

)n xn+1

;

n+1

(OSTATOK W ZAPISI kO[I):

> ;

(1+

~TOBY IZ \TOJ FORMULY WYWESTI RAZLOVENIE mAKLORENA

LOGARIFMA

ln(1+ x) = x ; x22 + x33 ; + (;1)n;1 xnn + ;1 < x 61 ,

SLEDUET DOKAZATX, ^TO L@BOGO FIKSIROWANNOGO ZNA^ENIQ x

IZ PROMEVUTKA (;1 1] OSTATKI r1(x) r2(x) : : : rn(x) : : :

OBRAZU@T BESKONE^NO MALU@ POSLEDOWATELXNOSTX. oKAZYWA- ETSQ, ^TO SDELATX \TO, OPIRAQSX LI[X NA ODNU IZ DWUH PRI- WEDENNYH ZAPISEJ \TIH OSTATKOW | lAGRANVA ILI kO[I | NEWOZMOVNO: ZAPISX lAGRANVA \FFEKTIWNA PRI 0 <x 61, NO NE PRI ;1 < x < 0, TOGDA KAK ZAPISX kO[I \FFEKTIWNA PRI 0 < jxj< 1, NO NE PRI x = 1.

iMENNO, ESLI 0 < x 6 1, TO PRIMENENIE DLQ OSTATKA ZAPISI lAGRANVA DAET:

242

j	rn(x)	=	(;1)	n	x	n+1	6	1	;!	0
						n+1

	j		(n+1)(1+c)					n+1
									n!+1

STOIT OTMETITX, ^TO PRI ;1 < x < 0 ZNA^ENIE c (A ONO PRI

FIKSIROWANNOM x ZAWISIT OT n) OKAZYWAETSQ OTRICATELX- NYM, I O POWEDENII WELI^INY (1 + c)n PRI n ! +1 NELXZQ IZWLE^X NIKAKOJ INFORMACII.

eSLI VE 0 <

< 1, TO PRIMENENIE DLQ OSTATKA ZAPISI

kO[I1

)n xn+1

( 1)n(1

rn(x)

;

n+1

;

n <

(1+

(1+ x)

1+ x j

jxj

x n

j j j

n!+1

tEM SAMYM DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ x IZ PROMEVUTKA (;1 1]

WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE

n;1

ln(1+ x) =

lim

; 2

3 ;

+ (

n!+1;

;

T. E. DLQ x 2 (;1 1] IMEET MESTO RAZLOVENIE mAKLORENA

n;1

ln(1+ x) = x ; 2

; + (;1)

(W ^ASTNOSTI, ln 2 = 1; 12 + 13 ; 14 + + (;1)n;1 n1 + ).

5. dLQ FUNKCII y = (1 + x) ( PREDPOLAGAETSQ NECELYM POLOVITELXNYM ^ISLOM)

y0(0) =

y0(0) = ( ;1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y(n)(0) = ( ;1) ( ;n+1),

y(n+1)( x) = ( ;1) ( ;n)(1+ x) ;n;1 ,

1 s U^ETOM TOGO, ^TO IZ NERAWENSTW 0< <1 I ;1<x<1 WYTEKA@T: A) NERAWENSTWO x > ;jxj, A SLEDOWATELXNO I NERAWENSTWO 1+ x >1;jxj B) NERAWENSTWO ; < x, A SLEDOWATELXNO I NERAWENSTWO 1; <1+ x.

243

PO\TOMU FORMULA mAKLORENA DLQ \TOJ FUNKCII S OSTATKOM W ZAPISI kO[I PRINIMAET WID

(1+x) = 1+

(

;1) x2+

( ;1) ( ;

+1) xn+rn(x),

GDE

1 2

1 2 n

rn(x) = ( ;1) ( ;n+1)( ;n)

(1+ x) ;n;1 (1

;

)nxn+1.

2 n

zAPISAW jrn(x)j W WIDE

rn(x)

= j1; j j2; j jn; j

(1; ) n

(1+ x)

n+1,

1 2 n

(1+x)

1+ x

SLEDUET ZAMETITX:

POSKOLXKU

jn; j < 1

PRI

n > , POSLEDOWATELXNOSTX

POLOVITELXNYH ^ISEL

j1; j ,

j1; jj2; j

: : :

j1; jj2

; j jn; j , : : :

1 2

1 2 n

QWLQETSQ (NA^INAQ S NEKOTOROGO \NOMERA" n) UBYWA@]EJ, A

SLEDOWATELXNO, OGRANI^ENNOJ

B) TAK KAK 0 < < 1, PRI WYPOLNENII NERAWENSTWA

;1 < x

WYPOLNQ@TSQ TAKVE NERAWENSTWA 0 <

;

1 + x,

W SILU

KOTORYH POSLEDOWATELXNOSTX

(1;

) n

QWLQETSQ OGRANI^EN-

NOJ

(1+

(1+x)

(1+jxj) , A POSLEDOWATELX-

ESLI

1 < x <

1, TO

;

1+x

1;jxj

NOSTX

jxjn

QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ.

( 1 1)

s U^ETOM \TIH ZAME^ANIJ DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ x

lim

2 ;

WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE

rn(x) = 0, A SLEDOWATELXNO,

I SOOTNO[ENIE

n!+1

(1+x) = lim ;1+

(

;1) x2

( ;1) (

;

+1) xn ,

n!+1

^TO (PO OPREDELENI@) OZNA^AET SPRAWEDLIWOSTX RAZLOVENIQ

mAKLORENA STEPENI

(1+ x) = 1+

( ;1) x2 +

(

;1)( ;2) x3 +

1 2

1 2 3

244

nE SLEDUET DUMATX, ^TO ESLI FUNKCIQ y = f(x) IMEET PRI x = 0 PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW, TO DLQ NEE NEPREMENNO IMEET MESTO RAZLOVENIE mAKLORENA

f(x) = f(0)+	f 0(0)	x+	f00(0)	2	+ +	f(n)(0)	n	+	( )
	1!		2!	x		n! x

(ESLI NE DLQ WSEH, TO HOTQ BY DLQ NEKOTORYH ZNA^ENIJ x)1. tO, ^TO \TO NE WSEGDA TAK, POKAZYWAET PREDLOVENNYJ kO[I

(

ESLI x

def

exp

([35], S. 394) PRIMER FUNKCII f(x) =

;;x

ESLI x = 0

DLQ KOTOROJ (SM. S. 218)

exp;;

ESLI x 6= 0

(x) = 8lim f(x);f(0)

= lim

exp

= 0

ESLI x = 0:

x!0 x ;;x

<x!0

pOSKOLXKU PROIZWODNAQ L@BOGO PORQDKA \TOJ FUNKCII PRI x 6= 0PREDSTAWLQET SOBOJ SUMMU (WZQTYH S ^ISLOWYMI KO\FFICIENTAMI) PROIZWEDENIJ OTRICATELXNYH STEPENEJ x

		1		exp(;	1	)
					x2
NA exp	2		, A lim	n			= 0 PRI L@BOM n > 1 (SM. S. 218),
	;;x		x!0	x

ZNA^ENIE NULX PRI x = 0 IMEET NE TOLXKO SAMA FUNKCIQ I EE

PROIZWODNAQ, NO TAKVE EE WTORAQ I WSE POSLEDU@]IE PROIZ-

WODNYE: f(0) = 0 f 0(0) = 0 f 00(0) = 0 f 000(0) = 0 : : : kAK SLEDSTWIE DLQ DANNOJ FUNKCII:

A) MNOGO^LEN mAKLORENA (L@BOGO PORQDKA) ESTX NULX

B) ASIMPTOTI^ESKAQ FORMULA mAKLORENA IMEET (DLQ PRO-

IZWOLXNO WZQTOGO n = 1 2 : : : ) WID exp;;x12 = o;xn x ! 0, TAK ^TO U FUNKCII NET GLAWNOJ ^ASTI WIDA c x PRI x ! 0

W) OT FORMULY mAKLORENA S OSTATKOM (W L@BOJ ZAPISI)

NET NIKAKOGO PROKU (OSTATOK SOWPADAET S SAMOJ FUNKCIEJ) G) RAWENSTWO ( ) IMEET MESTO LI[X PRI x = 0.

1 pOMIMO NE PREDSTAWLQ@]EGO INTERESA ZNA^ENIQ x = 0.

245

V.3. kAKOWY DOSTATO^NYE USLOWIQ LOKALXNOGO \KSTREMUMA FUNKCII1

1. eSLI FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA W TO^KE x0 , A W LEWOJ I PRAWOJ OKRESTNOSTQH \TOJ TO^KI IMEET PROIZWODNU@ f 0(x), SOHRANQ@]U@ ZNAK, NO MENQ@]U@ EGO PRI PEREHODE IZ LEWOJ OKRESTNOSTI W PRAWU@, TO x0 QWLQETSQ DLQ FUNK-

CII TO^KOJ STROGOGO LOKALXNOGO \KSTREMUMA: MAKSIMU- MA, ESLI ZNAK PROIZWODNOJ MENQETSQ S PL@SA NA MINUS, I MINIMUMA, ESLI ON MENQETSQ S MINUSA NA PL@S.

dOKAZATELXSTWO. wZQW PROIZWOLXNO TO^KU x W L@BOJ IZ UKAZANNYH OKRESTNOSTEJ I PRIMENQQ K FUNKCII y = f(x) NA OTREZKE I S KONCEWYMI TO^KAMI x0 I x TEOREMU lAGRANVA (SM. S. 209), RAZNOSTX f(x);f(x0) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE f(x) ; f(x0) = f 0(c)(x ;x0), GDE c | TO^KA, PROMEVUTO^NAQ

MEVDU x0. oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO (POSKOLXKU TO^KA c LEVIT W TOJ VE OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ^TO I TO^KA x) ESLI PROIZ- WODNAQ FUNKCII PRI PEREHODE IZ LEWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 W PRAWU@ MENQET ZNAK, NAPRIMER, S MINUSA NA PL@S, TO (S U^ETOM TOGO, ^TO S MINUSA NA PL@S MENQET ZNAK I RAZNOSTX x;x0) RAZNOSTX f(x);f(x0) OSTAETSQ POLOVITELXNOJ, A PO- TOMU x0 OKAZYWAETSQ TO^KOJ STROGOGO LOKALXNOGO MINIMUMA

FUNKCII y = f(x). Q.E.D.

2. eSLI W TO^KE x0 FUNKCIQ y = f(x) IMEET PROIZWODNU@,

RAWNU@ NUL@, I WTORU@ PROIZWODNU@, KOTORAQ OTLI^NA OT NULQ, TO W TO^KE x0 U FUNKCII ESTX STROGIJ LOKALXNYJ

\KSTREMUM: MAKSIMUM, ESLI f 00(x0) < 0, I MINIMUM, ESLI f 00(x0) > 0.

|TO UTWERVDENIE ESTX U lAGRANVA ([44], S. 210{211).

1 nEOBHODIMOE USLOWIE \KSTREMUMA OBSUVDALOSX WY[E (SM. S. 207). oPREDELENIQ RAZNOWIDNOSTEJ \KSTREMUMOW PRIWEDENY NA S. 206.

246

dOKAZATELXSTWO. pRIMENENIE ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULY

tEJLORA (SM. S. 229) PRI n = 2 DAET PRI x

! x0

f x

f 0

x x

00 x

o x

;

0) +

(

0) x

;

( ) =

(

0)+

( 0)(

(

;

(

IZ ^EGO SLEDUET (POSKOLXKU f 0(x0) = 0),

^TO

;

f(x) ;f(x0) = (x;x0)2

f 00

PRI x ! x0

2!(

0) +o(1)

A TAK KAK

00 x

RAZNOSTX f x

f x

xlim!x0

(

(1) =

(

6= 0,

( ); (

OKAZYWAETSQ DLQ L@BOGO x IZ DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOS-

TI TO^KI x0	^ISLOM TOGO VE ZNAKA, ^TO I ^ISLO f 00(x0),
	0		=	( )
W SILU ^EGO x		OKAZYWAETSQ DLQ FUNKCII y		f x TO^KOJ

STROGOGO LOKALXNOGO MAKSIMUMA, ESLI f 00(x0) < 0, I TO^KOJ STROGOGO LOKALXNOGO MINIMUMA, ESLI f 00(x0) > 0 Q.E.D.

3. eSLI FUNKCIQ y = f(x) IMEET W TO^KE x0:

A) PROIZWODNYE f 0(x0), f 00(x0) : : : f(n;1)(x0), RAWNYE NUL@,

B) PROIZWODNU@ f(n)(x0), OTLI^NU@ OT NULQ,

TO W SLU^AE ^ETNOGO n U FUNKCII W TO^KE x0 ESTX STRO-

GIJ LOKALXNYJ \KSTREMUM: MAKSIMUM, ESLI f(n)(x0) < 0, I MINIMUM, ESLI f(n)(x0) > 0 W SLU^AE VE NE^ETNOGO n

\KSTREMUMA U FUNKCII W TO^KE x0 NET.

|TO UTWERVDENIE PRIWEDENO U lAGRANVA NA S. 211{213 EGO MONOGRA- FII [44].

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK W SDELANNYH PREDPOLOVENIQH OTNOSITELXNO FUNKCII EE MNOGO^LEN tEJLORA PORQDKA n ESTX

p	n( ;	0) =	( 0)+	f (n) x		0)	( ; 0) ,		SOOTWETSTWU@]U@ ASIMP		-
				n!
	x x		f x	(			x x	n
TOTI^ESKU@ FORMULU tEJLORA
			f(x) = pn(x		;x0) + o (x;x0)n x ! x0 ,
MOVNO ZAPISATX W WIDE								; f(n)(x )

		f(x) ;f(x0) = (x;x0)n							n! 0	+ o(1) , x ! x0 .

						247
	f(n) x	0)		f(n) x	0)
tAK KAKxlim!x0	(	0)	+o(1) =	(	0)	6= 0,TO W SLU^AE ^ET-
tAK KAKxlim!x0	n!		+o(1) =	n!		6= 0,TO W SLU^AE ^ET-
NOGO n RAZNOSTX f(x) ; f(x0) OKAZYWAETSQ DLQ L@BOGO x IZ

DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 ^ISLOM TOGO VE ZNAKA, ^TO I ^ISLO f(n)(x0), W SILU ^EGO x0 OKAZYWAETSQ DLQ FUNKCII y = f(x) TO^KOJ STROGOGO LOKALXNOGO MAKSIMUMA: MAKSIMUMA, ESLI f(n)(x0) < 0, I MINIMUMA, ESLI f(n)(x0) > 0

PRI NE^ETNOM VE n RAZNOSTX f(x) ; f(x0) MENQET (WMESTE S (x;x0)n) ZNAK PRI PEREHODE ^EREZ TO^KU x0 , TAK ^TO \KSTRE- MUMA W \TOJ TO^KE U FUNKCII y = f(x) NET. Q.E.D.

tRI WY[EPRIWEDENNYE UTWERVDENIQ DA@T DOSTATO^NYE USLOWIQ NALI^IQ \KSTREMUMA WO WNUTRENNEJ TO^KE x0 MNO- VESTWA ZADANIQ FUNKCII. sLEDU@]IE ANALOGI PERWOGO IZ UTWERVDENIJ OTNOSITSQ K SLU^A@, KOGDA FUNKCIQ y = f(x) ZADANA (ILI RASSMATRIWAETSQ) NA PROMEVUTKE, I x0 QWLQ- ETSQ EGO KONCEWOJ TO^KOJ (WKL@^AEMOJ W \TOT PROMEVUTOK).

10. eSLI x0 | LEWAQ KONCEWAQ TO^KA PROMEVUTKA, A FUNK- CIQ y = f(x) IMEET PROIZWODNU@ POSTOQNNOGO ZNAKA W PRA-

WOJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI, QWLQQSX NEPRERYWNOJ SPRAWA

W SAMOJ TO^KE x0 , TO x0 ESTX TO^KA STROGOGO LOKALXNO-

GO \KSTREMUMA DANNOJ FUNKCII NA DANNOM PROMEVUTKE:

MAKSIMUMA ILI MINIMUMA SOOTWETSTWENNO TOMU, QWLQETSQ

PROIZWODNAQ f 0(x) OTRICATELXNOJ ILI POLOVITELXNOJ W PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 .

dOKAZATELXSTWO. wZQW W PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0

L@BU@ TO^KU x I PRIMENIW K FUNKCII y = f(x) NA OTREZ-

KE [x0 x] TEOREMU lAGRANVA, RAZNOSTX f(x) ; f(x0) MOVNO ZAPISATX W WIDE f(x) ; f(x0) = f 0(c)(x ; x0), GDE c | TO^KA, PROMEVUTO^NAQ MEVDU x0 I x. iZ \TOGO SLEDUET, ^TO RAZ- NOSTX f(x) ;f(x0) DLQ L@BOGO WZQTOGO x IMEET TOT VE ZNAK,

^TO I PROIZWODNAQ W PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0. Q.E.D.

248

100. eSLI x0 | PRAWAQ KONCEWAQ TO^KA PROMEVUTKA I, A FUNKCIQ y = f(x) IMEET PROIZWODNU@ POSTOQNNOGO ZNAKA W

LEWOJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI, QWLQQSX NEPRERYWNOJ SLE-

WA W SAMOJ \TOJ TO^KE, TO x0 ESTX TO^KA STROGOGO LOKALX- NOGO \KSTREMUMA DANNOJ FUNKCII NA DANNOM PROMEVUTKE: MAKSIMUMA ILI MINIMUMA SOOTWETSTWENNO TOMU, QWLQETSQ PROIZWODNAQ POLOVITELXNOJ ILI OTRICATELXNOJ W LEWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 .

						1			2
	pRIMERY				. 1.	y = x3 (1			; x)3 . dANNAQ FUNKCIQ IMEET PRI
					. 1.	y = x3 (1			; x)3 . dANNAQ FUNKCIQ IMEET PRI
WSEH ZNA^ENIQH x, KROME x = 0 I x = 1, PROIZWODNU@
2				2		1			1		2			1
y0 =		1	x;3	(1;x)3		;	2	x3 (1;x);3 =			1	x;3 (1;x);3			(1;x) ; 2x ,
y0 =		3	x;3	(1;x)3		;	3	x3 (1;x);3 =			3	x;3 (1;x);3			(1;x) ; 2x ,
KOTORAQ OBRA]AETSQ W NULX TOLXKO PRI x =													1	,	PO\TOMU WOZ-
KOTORAQ OBRA]AETSQ W NULX TOLXKO PRI x =													3	,	PO\TOMU WOZ-
													3		;
MOVNYMI TO^KAMI \KSTREMUMA DANNOJ FUNKCII QWLQ@TSQ
LI[X TO^KI x = 0, x = 1									I x =	1	. w KAVDOJ IZ \TIH TO^EK
LI[X TO^KI x = 0, x = 1									I x =		. w KAVDOJ IZ \TIH TO^EK
FUNKCIQ NEPRERYWNA, NO:									3
FUNKCIQ NEPRERYWNA, NO:

PRI PROHOVDENII ^EREZ TO^KU x = 0 PROIZWODNAQ OSTAETSQ

POLOVITELXNOJ, TAK ^TO FUNKCIQ WOZRASTAET2 W OKREST-

NOSTI \TOJ TO^KI I POTOMU NE IMEET W NEJ \KSTREMUMA PRI PROHOVDENII ^EREZ TO^KU x = 13 (SLEWA NAPRAWO) PRO-

IZWODNAQ MENQET ZNAK S PL@SA NA MINUS, PO\TOMU x = 13 ESTX TO^KA STROGOGO LOKALXNOGO MAKSIMUMA DANNOJ FUNKCII

PRI PROHOVDENII ^EREZ TO^KU x = 1 (SLEWA NAPRAWO) PRO- IZWODNAQ MENQET ZNAK S MINUSA NA PL@S, W SILU ^EGO x = 1

ESTX TO^KA STROGOGO LOKALXNOGO MINIMUMA FUNKCII.

2. y = x ; ln(1 + x). dANNAQ FUNKCIQ OPREDELENA NA PRO- MEVUTKE ;1 < x < +1 I IMEET W L@BOJ EGO TO^KE PROIZWOD-

NU@ y0 = 1; 1 , RAWNU@ NUL@ LI[X PRI x = 0. pOSKOLXKU x+1

2 sM. S. 212, PRIZNAK WOZRASTANIQ FUNKCII NA PROMEVUTKE.

y000 = 4x(3;x2) (x2+1)3

									249
y00 =	1	> 0, ZNA^ENIE x = 0 ESTX TO^KA STROGOGO LOKALX-
y00 =	2	> 0, ZNA^ENIE x = 0 ESTX TO^KA STROGOGO LOKALX-
	(x+1)
NOGO MINIMUMA DANNOJ FUNKCII.
3.	y = x		;	ln(x2 + 1). dANNAQ IMEET W L@BOJ TO^KE DEJ-
			;		0		2x
STWITELXNOJ OSI PROIZWODNU@ y						= 1; x2+1 , RAWNU@ NUL@
LI[X PRI x = 1. wTORAQ PROIZWODNAQ y00 = 2								x2		TAK-
LI[X PRI x = 1. wTORAQ PROIZWODNAQ y00 = 2								2	;12	TAK-
								(x	+1)

VE RAWNA NUL@ PRI x = 1. pOSKOLXKU TRETXQ PROIZWODNAQ NE RAWNA NUL@ PRI x = 1, SLEDUET WYWOD: FUNK-

CIQ NE IMEET TO^EK \KSTREMUMA NA DEJSTWITELXNOJ OSI.

4. nAJTI NAIBOLX[EE I NAIMENX[EE ZNA^ENIQ FUNKCII

y =

1;x+x22

NA OTREZKE1 0 6 x 6 1. w L@BOJ TO^KE DANNOGO

1+x;x

OTREZKA FUNKCIQ IMEET PROIZWODNU@

(;1+2x)(1+x;x2);(1;2x)(1;x+x2)

2(2x;1)

(1+x;x2)2

= (1+x;x2)2 ,

RAWNU@ NUL@ PRI x =

, OTRICATELXNU@ PRI x <

I POLO-

VITELXNU@ PRI x >

. w SOOTWETSTWII S UTWERVDENIQMI 1,

1' I 1" SLEDUET WYWOD:

ZNA^ENIE x =

QWLQETSQ DLQ FUNKCII

1;x+x22

y =

NA OTREZKE 0 6 x 6 1 TO^KOJ STROGOGO LOKALX-

1+x;x

NOGO MINIMUMA, A ZNA^ENIQ x = 0 I x = 1 (KONCEWYE TO^KI

OTREZKA) | TO^KAMI STROGOGO LOKALXNOGO MAKSIMUMA. pOD-

S^ET ZNA^ENIJ FUNKCII PRI x =		1	, x = 0 I		x = 1 PRIWODIT
		2
				3
K ZAKL@^ENI@: NAIMENX[EE ZNA^ENIE y =					FUNKCIQ PRINI-

	1	5
MAET WO WNUTRENNEJ TO^KE x =		OTREZKA [0 1] NAIBOLX[EE

ZNA^ENIE y = 1 FUNKCIQ PRINIMAET W KONCEWYH TO^KAH x = 0

Ix = 1 \TOGO OTREZKA.

1 nA \TOM OTREZKE FUNKCIQ NEPRERYWNA, PO\TOMU SU]ESTWOWANIE NAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^ENIJ FUNKCII NA \TOM OTREZKE OBES- PE^IWAETSQ SWOJSTWOM DOSTIVENIQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ NA OTREZKE EE TO^NOJ WERHNEJ I TO^NOJ NIVNEJ GRANEJ (SM. S. 147, TEOREMA 2).

250

V.4. kAKU@ FUNKCI@ NAZYWA@T WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE

fUNKCI@ y = f(x) NAZYWA@T WYPUKLOJ WNIZ NA PROME- VUTKE I, ESLI PRI L@BOM WYBORE TO^EK x1 < x < x2 \TOGO PROMEVUTKA TO^KA P (x f(x)) LEVIT POD OTREZKOM, SOEDINQ-

@]IM TO^KI P1(x1 f(x1)) I P2(x2 f(x2)) (RIS. 16, A). ~ASTO \TO WYRAVA@T SLOWAMI: DUGA GRAFIKA FUNKCII MEVDU TO^- KAMI P1(x1 f(x1)) I P2(x2 f(x2)) LEVIT NIVE SOEDINQ@]EGO \TI TO^KI OTREZKA HORDY GRAFIKA.

rIS. 16

fORMULXNYM WYRAVENIEM DANNOGO TREBOWANIQ1 SLUVIT

WYPOLNENIE DLQ L@BYH ZNA^ENIJ x

< x < x

x x

2 2

NE-

RAWENSTWA

f x

( );

( 1)

( 2);

( )

, OZNA^A@]EGO, ^TO \UGLO-

x;x1

x2 ; x

WOJ KO\FFICIENT" OTREZKA P1P MENX[E \UGLOWOGO KO\FFI-

CIENTA" OTREZKA P P2

(RIS. 16, B).

1 s U^ETOM TOGO,

^TO DLQ TO^EK (x y) HORDY GRAFIKA WYPOLNQETSQ

RAWENSTWO

y ;f(x1)

f(x2); y

x;x1

x2 ;x

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3325 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202519.18 Mб0shpory_po_matanu_10_06.doc
#
26.09.2019108 Кб3Shpory_po_otechestvennoy_istorii_1-30.docx
#
24.04.2019839.17 Кб3Shpory_po_statistike_2011-12g.doc
#
01.05.20251.06 Mб0Shpory_po_TSP.doc
#
04.06.20155.56 Mб85Shpory_TAU.docx
#
27.03.20165.86 Mб708Shvedenko_Nachala_matematicheskogo_analiza_2011.pdf
#
05.06.20152.14 Mб6SKETCH_Models.pdf
#
05.06.2015895.72 Кб9SKETCH_UserGuide.pdf
#
04.06.2015511.46 Кб43Skhemy_Orlov.нов.doc
#
04.06.2015137.09 Кб60sostoyania_cheloveka_v_protsesse_truda.docx
#
01.05.202562.61 Кб0Sozdanie_LP_s_vysokoy_konversiey.docx