Shvedenko_Nachala_matematicheskogo_analiza_2011
.pdf
91
II.6. w ^EM SOSTOIT KRITERIJ kO[I
pOSLEDOWATELXNOSTX fxng NAZYWA@T FUNDAMENTALXNOJ, ESLI ISTINNO UTWERVDENIE: KAKOWO BY NI BYLO POLOVITELX-
NOE ^ISLO ", SU]ESTWUET TAKOE CELOE NEOTRICATELXNOE ^IS-
LO n0, ^TO L@BYE DWA \LEMENTA POSLEDOWATELXNOSTI fxng S \NOMERAMI", BOLX[IMI, ^EM n0, RAZLI^A@TSQ MEVDU SOBOJ
MENX[E, ^EM NA ": 8">09n08n8k(n > n0 ) jxn ;xn+kj < ") 1.
kRITERIJ kO[I2. dLQ TOGO ^TOBY POSLEDOWATELXNOSTX3 fxng BYLA SHODQ]EJSQ, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA BYLA FUNDAMENTALXNOJ.
dOKAZATELXSTWO. 1. nEOBHODIMOSTX. pUSTX POSLEDOWATELX-
NOSTX3 fxng SHODITSQ (K NEKOTOROMU ^ISLU x). wZQW L@- BOE POLOVITELXNOE ^ISLO ", MOVNO UTWERVDATX (POSKOLXKU lim xn = x), ^TO W 2" -OKRESTNOSTX ^ISLA x POPADA@T WSE \LE- MENTY xn S \NOMERAMI", BOLX[IMI NEKOTOROGO n0 . sLEDOWA- TELXNO, DLQ L@BOGO n > n0 I L@BOGO NATURALXNOGO k BUDUT WYPOLNQTXSQ SOOTNO[ENIQ
jxn ;xn+kj = jxn ;x + x ;xn+kj 6 jxn ;xj+ jx ;xn+kj < 2" + 2" ,
^TO I DOKAZYWAET ISTINNOSTX DLQ POSLEDOWATELXNOSTI fxng
UTWERVDENIQ 8">09n08n8k(n >n0 ) jxn ;xn+kj< ").
1 iNOGDA BOLEE UDOBNA \KWIWALENTNAQ ZAPISX (S ISPOLXZOWANIEM OBO- ZNA^ENIQ n+k = m):
8">09n08n8m(n >n0 ^m >n0 ) jxn ;xmj< ") .
2 bOLEE PRAWILXNOE EGO NAZWANIE | KRITERIJ bOLXCANO{kO[I: bOLXCANO PRIWEL EGO S DOKAZATELXSTWOM W SWOEJ ZNAMENITOJ RABOTE 1817 G. (UKAZANNOJ NA S. 42), TOGDA KAK U kO[I ON WPERWYE WSTRE^AETSQ (PRI^EM BEZ DOKAZATELXSTWA) W WY[ED[EM ^ETYRXMQ GODAMI POZDNEE \kURSE ANALIZA" [34].
3 dEJSTWITELXNYH ILI MNIMYH ^ISEL.
92
2. dOSTATO^NOSTX. pUSTX fxng | POSLEDOWATELXNOSTX DEJ- STWITELXNYH ^ISEL, I DLQ NEE ISTINNO UTWERVDENIE, WYRA-
8" > 09n08n8k(n > n0 ) jxn ; xn+kj < "). wZQW KAKOE-LIBO ZNA^ENIE " = "0 >0 I S^ITAQ, ^TO n0 ESTX TO
CELOE NEOTRICATELXNOE ^ISLO, KOTOROE (SOGLASNO FORMULE) SU]ESTWUET DLQ ZNA^ENIQ " = "0 , MOVNO UTWERVDATX:
jxn ; xn0+1j < "0 DLQ WSEH n > n0 ,
A SLEDOWATELXNO, DLQ WSEH TAKIH ZNA^ENIJ n
jxnj = jxn ;xn0+1 +xn0+1j 6 jxn ;xn0+1j+jxn0+1j < jxn0+1j+"0 .
oBOZNA^AQ c NAIBOLX[EE IZ ^ISEL
jx1j : : : jxn0 j jxn0+1j+"0 ,
MOVNO UTWERVDATX TEPERX, ^TO jxnj 6c PRI WSEH n = 1 2 : : : , T. E. POSLEDOWATELXNOSTX fxng OKAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ.
pO TEOREME bOLXCANO{wEJER[TRASSA (SM. S. 85) POSLEDO-
WATELXNOSTX fxn g, QWLQQSX OGRANI^ENNOJ, IMEET PREDELXNU@ TO^KU | ^ISLO x, L@BAQ OKRESTNOSTX KOTOROGO (NA ^I- SLOWOJ OSI) SODERVIT \LEMENTY POSLEDOWATELXNOSTI fxng SO SKOLX UGODNO BOLX[IMI \NOMERAMI". oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO ^ISLO x NA SAMOM DELE ESTX PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI fxng, T. E. ISTINNO UTWERVDENIE 8">09n08n(n > n0 ) jxn;xj< ").
pUSTX " | L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO. tAK KAK POSLE- DOWATELXNOSTX fxng FUNDAMENTALXNA, DLQ ^ISLA 2" SU]EST- WUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO (KOTOROE MOVNO OBOZNA^ITX n1), ^TO L@BYE DWA \LEMENTA POSLEDOWATELXNOSTI fxng S \NO- MERAMI", PREWOSHODQ]IMI n1, OTSTOQT DRUG OT DRUGA MENX- [E, ^EM NA 2" . wZQW W 2" -OKRESTNOSTI ^ISLA x \LEMENT POSLE- DOWATELXNOSTI fxng S \NOMEROM" n0 > n1 (A TAKOJ SU]EST- WUET, POSKOLXKU x | PREDELXNAQ TO^KA POSLEDOWATELXNOSTI
fxng), MOVNO UTWERVDATX: ESLI n > n0, TO |
" |
" |
|
|
jxn ;xj = jxn ;xn0+ xn0;xj 6 jxn ;xn0j+ jxn0;xj< |
|
+ |
|
= ", |
2 |
2 |
|||
A SLEDOWATELXNO, x = lim xn. |
|
|
|
|
93
pUSTX TEPERX fzng = fxn + iyng | FUNDAMENTALXNAQ PO-
SLEDOWATELXNOSTX KOMPLEKSNYH ^ISEL, T. E. ISTINNO UTWERV-
DENIE 8">09n08n8k(n >n0 ) jzn ;zn+kj< "). tAK KAK
|
|
|
|
|
|
jxn;xn+kj , |
||
zn |
zn+k |
|
= (xn xn+k)2 + (yn yn+k)2 > |
|||||
j ; |
|
j |
p |
; |
; |
|
(jyn; yn+kj |
|
ISTINNYMI OKAZYWA@TSQ I UTWERVDENIQ |
|
|||||||
|
|
8">0 |
9n08n8k(n >n0 ) jxn ;xn+kj< "), |
|||||
|
|
8">0 |
9n08n8k(n >n0 ) jyn ;yn+kj< "), |
|||||
T. E. FUNDAMENTALXNYMI |
OKAZYWA@TSQ POSLEDOWATELXNOSTI |
|||||||
fxng I fyng DEJSTWITELXNYH ^ISEL. pO UVE DOKAZANNOMU \TI POSLEDOWATELXNOSTI SHODQTSQ K NEKOTORYM ^ISLAM x I y, A
SLEDOWATELXNO, SHODITSQ | K ^ISLU z = x + iy | I POSLEDO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WATELXNOSTX fzng = fxn+iyng.1 Q.E.D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
pRIMERY |
. 1. |
pOSLEDOWATELXNOSTX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
1+ 22 |
+ + n2 |
= 1 1+ 22 |
, 1+ 22 |
+ 32 , 1+ |
22 |
+ 32 |
+ 42 , : : : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SHODITSQ. dLQ DOKAZATELXSTWA SLEDUET, OBOZNA^IW \LEMENTY |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
POSLEDOWATELXNOSTI xn , WOSPOLXZOWATXSQ SOOTNO[ENIQMI |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
jxn ;xn+kj = (n+1)2 + (n+2)2 + + (n+k)2 < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
< n(n+1) |
+ (n+1)(n+2) |
+ + (n+k;1)(n+k) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
=; |
1 |
; |
1 |
+; |
1 |
; |
1 |
+ +; |
1 |
; |
1 |
= |
1 |
; |
1 |
< |
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
n+1 |
n+1 |
n+2 |
n+k;1 |
n+k |
n |
n+k |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 pUSTX " | L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO. pOSKOLXKU lim xn = x, A |
|||||||||||||||||||||||
lim yn = y, DLQ ^ISLA |
" |
|
(KAK I DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA) |
||||||||||||||||||||
p |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||
SU]ESTWU@T TAKIE NATURALXNYE ^ISLA n1 I n2 |
, ^TO |
jxn;xj < |
" |
PRI |
|||||||||||||||||||
p |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
n > n1, A |
yn |
y < |
" |
|
PRI n > n2. nO TOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j |
znj |
|
z;=j (xn+iyn) |
; |
(x+iy) = p |
(xn |
; |
x)2 |
+(yn |
; |
y)2 < " |
||||||||||||
; |
j |
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
PRI L@BOM n > n0, GDE n0 | NAIBOLX[EE IZ ^ISEL n1 n2. sLEDOWATELXNO, |
|||||||||||||||||||||||
ISTINNO UTWERVDENIE 8">09n08n(n>n0 ) jzn;zj< "), T. E. lim zn = z.
94 |
|
|
|
|
IZ KOTORYH SLEDUET, ^TO ESLI DLQ L@BOGO ^ISLA " > 0 WZQTX |
||||
W KA^ESTWE n0 NATURALXNOE ^ISLO, PREWOSHODQ]EE |
|
1 |
, TO DLQ |
|
" |
||||
|
|
|||
L@BYH NATURALXNYH ^ISEL n > n0 I k = 1 2 3 : : : |
BUDET WY- |
|||
POLNQTXSQ NERAWENSTWO jxn;xn+kj < ", T. E. ISTINNYM OKAZY- WAETSQ UTWERVDENIE 8">09n08n8k(n >n0 ) jxn;xn+kj< "), I OSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ KRITERIEM kO[I.
2. pOSLEDOWATELXNOSTX
1+ 12 + + n1 = 1 1+ 12 , 1+ 12 + 13 , 1+ 12 + 13 + 14 , : : :
RASHODITSQ. dLQ TOGO ^TOBY \TO DOKAZATX, ISPOLXZUQ KRITE-
RIJ kO[I, SLEDUET PREDWARITELXNO SOSTAWITX FORMULXNU@ ZAPISX UTWERVDENIQ \POSLEDOWATELXNOSTX fxng NE QWLQET-
SQ FUNDAMENTALXNOJ" | POSTROIW (PO OBY^NYM PRAWILAM1)
OTRICANIE FORMULY 8">09n08n8k(n >n0 ) jxn;xn+kj< "),
PRIHODQ K SLEDU@]EJ:
9">08n09n9k(n >n0 ^ jxn ;xn+kj>") .
dOKAZATX, ^TO DLQ POSLEDOWATELXNOSTI fxng= 1+ 12 + + n1 ZNA^ENIE POSLEDNEJ FORMULY ESTX ISTINA, MOVNO WYBOROM DLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO NATURALXNOGO ^ISLA n0 ZNA^ENIJ n = n0 I k = n0. pRI TAKOM WYBORE \TIH ZNA^ENIJ
|
jxn ;xn+kj = |
1 |
+ |
1 |
+ |
+ |
1 |
= |
|
|
|
||||||||||||||
|
n+1 |
n+2 |
n+k |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= n0+1 + n0 +2 + + n0+n0 |
> n0 n0+n0 |
|||||||||||||||||
(^ISLO SKLADYWAEMYH DROBEJ RAWNO n0, A NAIMENX[EJ IZ |
|||||||||||||||||||||||||
NIH QWLQETSQ POSLEDNQQ), TAK ^TO ISTINNOSTX UTWERVDENIQ |
|||||||||||||||||||||||||
9 |
|
8 |
|
9 |
|
9 |
|
|
|
|
^ j 2 |
; |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
">0 |
|
n0 |
|
n |
|
k(n > n0 |
|
xn |
|
|
xn+k |
|
> ") DLQ DANNOJ POSLEDO- |
|||||||||||
WATELXNOSTI USTANOWLENA .
1 sM. pRILOVENIE I.
2 dOSTATO^NO WZQTX, KAK TOLXKO ^TO POKAZANO, " = 12 I (KAKOWO BY NI BYLO n0) n = k = n0.
95
nAIBOLEE \FFEKTIWNYM (I OB \TOM SWIDETELXSTWU@T RAZOBRANNYE PRIMERY) QWLQETSQ PRIMENENIE KRITERIQ kO[I K WAVNEJ[EJ RAZNO- WIDNOSTI POSLEDOWATELXNOSTEJ | RQDAM.
+1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||
oBOZNA^AEMYJ Pan ILI a1+ a2 |
+ |
|
+ an+ |
|
RQD |
, SOSTAWLENNYJ |
|
|
|
IZ \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fang (SLUVA]IH SLAGAEMYMI \TOGO
RQDA) | \TO POSLEDOWATELXNOSTX
fa1+ + ang = a1 a1+a2 a1+a2 +a3 : : : a1+a2 + +an : : : ,
\LEMENTY KOTOROJ NAZYWA@T ^ASTI^NYMI SUMMAMI DANNOGO RQDA 1.
+1
rQD Pan NAZYWA@T SHODQ]IMSQ ILI RASHODQ]IMSQ W ZAWISIMOS-
n=1
TI OT TOGO, SHODITSQ ILI RASHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX ^ASTI^NYH SUMM \TOGO RQDA, PRI^EM PREDEL \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI (W SLU^AE EE SHODIMOSTI) PRINIMA@T ZA SUMMU DANNOGO RQDA (S OBOZNA^ENIEM EE
+1 |
def |
lim (a1 |
+ |
|
+an).3 |
|
TEM VE SIMWOLOM, ^TO I SAM RQD)2: Pan = |
|
|
||||
n=1 |
|
n!+1 |
|
|
||
wOT PRIMERY RQDOW, IZU^AEMYH W SREDNEJ [KOLE:
1) SUMMA \BESKONE^NO UBYWA@]EJ" GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII:
ESLI jqj< 1, TO |
|
+a0qn;1 |
+ |
|
def |
|
|
lim a0(1+q + |
|
|
|
+qn;1) = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
a0 +a0q + |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
a0 (1;qn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
= |
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1;q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!+1 |
1;q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX n0 n1n2 : : : nk : : : |
|
(SM. S. 37{38): |
||||||||||||||||||||||||||||||
PREDSTAWLQEMOE E@ DEJSTWITELXNOE ^ISLO ESTX SUMMA RQDA |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n0 + |
n1 |
+ |
n2 |
+ |
|
n3 |
+ |
|
|
+1 |
nk |
|
lim ;n0 + |
n1 |
+ |
n2 |
+ |
|
+ |
nk |
|
|||||||||||
10 |
10 |
2 |
10 |
3 |
|
= P |
|
|
|
k = |
10 |
10 |
2 |
|
10 |
k . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 10 |
|
|
k!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 nEREDKO \NUMERACI@" SLAGAEMYH RQDA NA^INA@T S CELOGO NEOTRI-
+1
CATELXNOGO ^ISLA m 6= 1,ZAPISYWAQ RQD KAK P an, A EGO ^ASTI^NYE
n=m
SUMMY KAK am am + am+1 am + am+1 + am+2 : : : wMESTO TERMINA \RQD"ROSSIJSKIE MATEMATIKI XIX W. ISPOLXZOWALI TERMIN \STROKA".
2 pODOBNO TOMU KAK ODNIM SIMWOLOM f(x) OBOZNA^A@T FUNKCI@ PE- REMENNOJ x I EE ZNA^ENIQ PRI KONKRETNYH ZNA^ENIQH x.
3 tEM SAMYM PONQTIE SUMMY, IZNA^ALXNO OPREDELENNOE LI[X DLQ KONE^NOGO ^ISLA SLAGAEMYH, RASPROSTRANQETSQ NA SLU^AJ, KOGDA SLA-
GAEMYE OBRAZU@T POSLEDOWATELXNOSTX.
96
II.7. kAK OPREDELQ@T \KSPONENTU ^ISLA
dLQ KOMPLEKSNOGO ^ISLA z I n = 0 1 2 : : : PUSTX sn(z) = 1+ 1!z + + znn! .
oPREDELENIE \KSPONENTY. kAKOWO BY NI BYLO KOMP-
LEKSNOE ^ISLO z (DEJSTWITELXNOE ILI MNIMOE), POSLEDOWA-
TELXNOSTX fsn(z)g = 1 |
1+ |
z |
, 1+ |
|
z |
+ |
z2 |
, 1+ |
|
z |
+ |
z2 |
+ |
z3 |
: : : |
||||||
1! |
1! |
2! |
1! |
2! |
3! |
||||||||||||||||
SHODITSQ K NEKOTOROMU (KOMPLEKSNOMU) ^ISLU, KOTOROE NA- |
|||||||||||||||||||||
ZYWA@T |
\KSPONENTOJ |
^ISLA z I OBOZNA^A@T exp z : |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
def |
|
|
|
z |
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
exp z =n lim+ ;1+ |
+ + |
z |
|
.1 |
|||||||||||||||
|
|
1! |
n! |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
w ^ASTNOSTI, exp 0 = 1 |
exp 1 = e (SM. S. 81), A ZNA^ENIE exp i |
||||||||||||||||||||
GRAFI^ESKI PREDSTAWLENO NA RIS. 5.
1+ i |
+ i 2 |
|
1! |
2! |
1+ i |
|
|
|
|
ei |
1! |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
rIS. 5 |
|
|
|
|
|
|
def |
+1 n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z |
|
|
1 a S PRIWLE^ENIEM PONQTIQ SUMMY RQDA (SM. S. 95) exp z = |
P |
n! |
. |
||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
97
dOKAZATELXSTWO. wWIDU KRITERIQ kO[I (SM. S. 91) DOSTA-
TO^NO DOKAZATX, ^TO DLQ PROIZWOLXNO WZQTOGO (NO FIKSIRO- WANNOGO) KOMPLEKSNOGO ^ISLA z POSLEDOWATELXNOSTX KOMP-
LEKSNYH ^ISEL fsn(z)g QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ, T. E. DLQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NEE ISTINNO UTWERVDENIE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
8">09n0 |
8n8k(n > n0 ) jsn(z) |
;sn+k(z)j < "). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
pUSTX " | |
|
L@BOE POLOVITELXNOE |
|
^ISLO. |
tAK KAK OBE |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
POSLEDOWATELXNOSTI |
jzj |
|
|
I jzjn |
|
|
QWLQ@TSQ BESKONE^NO |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
MALYMI1, SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n0, ^TO PRI |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n > n0 |
WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA jzjn |
< " I |
|
jzj |
|
< |
1 |
, IZ KOTO- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
2 |
|
|
|
||||
RYH SLEDUET, ^TO DLQ L@BOGO NATURALXNOGO k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
sn(z) |
; |
sn+k(z) = ;1+ |
z |
+ |
|
+ |
zn |
;1+ |
z |
+ |
|
+ |
|
zn+k |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
|
j |
|
1! |
|
|
|
n! |
; |
|
|
|
1! |
|
|
|
|
(n+k)! |
|
||||||||||||||||||||
= |
|
zn+1 |
+ |
|
+ |
zn+k |
|
6 jzjn ; |
jzj |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
jzjk |
6 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(n+1)! |
|
|
|
(n+k)! |
|
|
n! |
|
n+1 |
|
|
|
|
(n+1) (n+k) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
n |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
k |
|
|
z |
n |
|
|
jzj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6 jnj! ; |
nj+1j |
+ + |
(nj+1)j k |
6 jnj! |
1 |
|
|
jzj |
|
< ".2 Q.E.D. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
oSNOWNOE TOVDESTWO DLQ \KSPONENTY. dLQ L@BYH
KOMPLEKSNYH ^ISEL z (DEJSTWITELXNYH ILI MNIMYH) exp(z + ) = exp z exp .
|
dOKAZATELXSTWO |
. w OBOZNA^ENII sn(z) =;1+ |
z |
+ + |
zn |
|
|||||||||||||
|
1! |
n! |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
s1(z)s1( ) =;1+ |
z |
;1+ |
|
= 1+ |
z |
+ |
|
+ |
z |
|
|
= 1+ z1!+ + 22!z = |
|||||||
1! |
1! |
1! |
1! |
1! |
1! |
||||||||||||||
|
|
|
|
= s1(z+ ) + |
NEPOLNOE WYRAVENIE DLQ (z+ )2 |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 sM. RAZBOR PRIMEROW NA S. 65, 79.
2 bYLA ISPOLXZOWANA FORMULA SUMMY GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII SO ZNAMENATELEM nj+1zj < 12 .
98
IZ ^EGO SLEDUET, ^TO |
|
|
|
|
)2 |
|
NEPOLNOE WYRAVENIE DLQ ( z |
+ |
|
||
js1(z)s1( ) ; s1(z + )j 6 |
2! |
j j |
j |
j |
6 |
= s2(jzj+j j) ;s1(jzj+j j).
pODOBNO \TOMU W SLU^AE L@BOGO n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sn(z)sn( ) =;1+ |
+ |
+ + |
|
;1+ |
|
+ 2! + + nn! = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1! |
2! |
n! |
1! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1+ ; |
z |
|
|
+ |
+; |
zn |
|
|
|
|
zn;1 |
|
|
|
|
|
z n;1 |
|
|
|
|
|
n |
+ |
||||||||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ + |
|
|
+ n! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1! |
1! |
n! |
(n;1)!1! |
1!(n;1)! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
zn |
|
|
zn;1 2 |
|
|
|
|
|
|
z2 n;1 |
|
|
z n |
|
|
|
|
|
|
|
zn n |
|||||||||||||||||||||||
+; |
|
+ |
|
|
|
+ + |
|
+ |
|
+ |
+ n!n! = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1! |
(n;1)!2! |
2!(n;1)! |
1!n! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1+ z+ |
+ |
|
|
+ |
zn+ Cn1 zn;1 + + Cnn;1z n;1 + n |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
C1+1zn +C |
2+1 zn;1 2+ +Cn+1z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn |
zn n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n+1)! |
|
|
|
|
|
|
|
+ + |
|
|
|
(2n)! |
= |
|||||||||||||||||||
|
z+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z+ )n |
|
NEPOLNOE WYRAVENIE DLQ (z+ )n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1+ |
1! |
|
+ |
+ |
|
|
|
n! |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n+1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NEPOLNOE WYRAVENIE DLQ (z+ )2n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||
A PO\TOMU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NEPOLNOE WYRAVENIE DLQ ( z |
|
+ |
|
)n+1 |
|
|||||||||||||||||||||
jsn(z)sn( ) ; sn(z + )j |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n+1)! |
j j |
|
|
j j |
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
j j |
|
j j |
)2n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NEPOLNOE WYRAVENIE DLQ ( z |
|
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 (jzj+j j)n+1 |
|
+ |
|
|
|
|
+ (jzj+j j)2n = s2n( z + ) |
sn( z |
j |
+ |
). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(n+1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
j j j |
j ; |
|
|
|
|
|
j |
|
|
j |
j |
|||||||||||||||||||||||
nO PO OPREDELENI@ \KSPONENTY (SM. S. 96) POSLEDOWATELX- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NOSTI fsn(z)g |
|
fsn( )g |
I |
fsn(z+ )g SHODQTSQ SOOTWETSTWENNO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K ^ISLAM exp z exp |
|
I exp(z+ ), A (OBE) POSLEDOWATELXNOS- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TI fsn(jzj+j j)g I fs2n(jzj+j j)g | K ^ISLU exp (jzj+j j). kAK
SLEDSTWIE, POSLEDOWATELXNOSTX fsn(jzj+j j) ; s2n(jzj+j j)g, A
99
WMESTE S NEJ1 I POSLEDOWATELXNOSTX fsn(z)sn( ) ; sn(z + )jg
QWLQ@TSQ BESKONE^NO MALYMI, PO\TOMU
expz exp ; exp(z+ ) = lim ;sn(z)sn( );sn(z+ ) = 0. Q.E.D. n!+1
1. exp z exp (;z) = 1 (W ^ASTNOSTI, exp z 6= )0 DLQ L@BOGO
KOMPLEKSNOGO ^ISLA z (DEJSTWITELXNOGO ILI MNIMOGO).
2. exp(z; ) = expexp z DLQ L@BYH KOMPLEKSNYH z .
dOKAZATELXSTWO. 1. w SILU OSNOWNOGO TOVDESTWA DLQ \KS-
PONENTY exp z exp(;z) = exp(z +(;z)) = exp 0 = 1.
2. exp z = exp(z; + ) = exp(z; )exp . Q.E.D.
iZ SOPOSTAWLENIQ OPREDELENIJ \KSPONENTY I ^ISLA e
(SM. S. 81) SLEDUET, ^TO exp 1 = n!lim+1;1+ 1!1 + + n1! = e. pRIMENENIE VE TOVDESTWA exp(z+ ) = exp z exp POZWOLQET
ZAKL@^ITX:
exp 2 = exp(1+1) = exp 1 exp 1 = ee = e2, exp 3 = exp(2+1) = exp 2 exp 1 = e2e = e3
I WOOB]E DLQ L@BOGO NATURALXNOGO ^ISLA n = 1 + |
|
+ 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|||||||
exp n = exp(1+ |
+1) = exp 1 exp 1 = e e = en. |
|||||||||||||||||||||||
dALEE, 1 = exp 0 = exp (n+( n)) = exp n exp ( n), OTKUDA |
||||||||||||||||||||||||
z |
}| { |
|
|
z |
}| |
|
|
{ |
z }| { |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
; 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
exp (;n) = exp n = en = e; |
, |
|
|
n, |
|
|||||||||||||||||||
A TAK KAK em = exp m = exp ; |
m |
+ + |
m |
=;exp |
m |
|
||||||||||||||||||
n |
n |
n |
|
|||||||||||||||||||||
m |
DLQ L@BOGO RACIONALXNOGO ^ISLA mn (SM. S. 36). |
exp mn = e n |
1 wWIDU POLU^ENNOGO NERAWENSTWA
jsn(z)sn( ); sn(z + )j 6 s2n(jzj+j j);sn(jzj+j j).
100
nA OSNOWE SOWPADENIQ ZNA^ENIJ exp z I ez DLQ RACIONALX- NYH ^ISEL z POLAGA@T WOOB]E DLQ L@BOGO ^ISLA z (DEJST-
WITELXNOGO ILI MNIMOGO)
|
def |
def |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
ez = exp z =n!lim+1;1+ |
z |
+ + |
z |
|
|
. |
|
|
|||
|
1! |
n! |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tEM SAMYM POLU^A@T OPREDELENIE STEPENI ^ISLA e S L@BYM |
||||||||||||
POKAZATELEM1 I ODNOWREMENNO PRIWY^NYE PRAWILA |
|
|||||||||||
|
ez+ = ez e ez e;z = 1 ez; = |
ez |
|
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||
QWLQ@]IESQ |
LI[X DRUGOJ ZAPISX@ POLU^ENNYH |
|
RANEE SOOT- |
|||||||||
NO[ENIJ DLQ \KSPONENTY. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
K PRIMERU, e;2 |
1 |
|
||||||
sLEDUET POD^ERKNUTX: ZNA^ENIQ, |
I e2 |
(RA- |
||||||||||
CIONALXNYE STEPENI ^ISLA e) MOVNO \KWIWALENTNO PONIMATX |
|||||||||||||||||||||||||||||||
I KAK (SOOTWETSTWENNO) |
|
1 |
|
|
I p |
|
, I KAK |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
e e |
|
( 2)n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
exp ( |
|
|
|
|
def |
|
|
;1+ ;2 + |
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
2) = |
|
lim |
|
; |
! |
|
|
|||||||||||||||||||||||
I |
; |
|
|
|
|
|
n |
! |
+ |
1 |
1! |
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(1 )n |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
exp |
=nlim+ |
;1+ |
2 |
+ |
+ |
2n! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
1! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ZNA^ENIE VE ep2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(STEPENX S |
IRRACIONALXNYM POKAZATELEM) |
||||||||||||||||||||||||||||||
PONIMAETSQ TOLXKO KAK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (pn2!)n . |
|
|
||||||||||||||
|
exp p |
|
|
def=n!lim+1;1+ p1!2 |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
~TO KASAETSQ MNIMYH STEPENEJ ^ISLA e, TO POMIMO IS- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
bi |
|
|
|
(a+bi)n |
|
HODNOGO OPREDELENIQ ea+bi =nlim+ ;1+ |
+ |
+ + |
n! |
SU- |
|||||||||||||||||||||||||||
1! |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
]ESTWUET E]E ZAME^ATELXNAQ FORMULA |JLERA2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eib = cos b + i sin b |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
WYWOD KOTOROJ DAN W SLEDU@]EJ GLAWE. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 lAT. expono |
POKAZYWATX. kAK PONIMATX STEPENX (S L@BYM PO- |
|||||||||||||||||||||||||||||
KAZATELEM) POLOVITELXNOGO ^ISLA, OTLI^NOGO OT e, OBSUVDAETSQ W SLE- DU@]EJ GLAWE (SM. S. 164{165).
2 a SLEDOWATELXNO, RAWENSTWO ea+bi = ea(cos b+i sin b) .