Metod_MR_sam_rab_Teoret._mekhan._14.03.01_00.00.00

Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт – филиал НИЯУ МИФИ

СТАТИКА, КИНЕМАТИКА

Индивидуальные контрольные задания по теоретической механике

Учебно-методическое пособие

Волгодонск 2014

УДК 531(076.5)

С78

Рецензент – Синельщиков В.В. к.т.н., доцент

Составители – Пинчук Э.В., Литвинова Т.А.

Статика, кинематика [Текст] : индивидуальные контрольные задания по теоретической механике : учебно-методическое пособие / ВИТИ НИЯУ МИФИ ; сост. Э. В. Пинчук, Т. А. Литвинова. – Волгодонск : ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2014. – 76 с.

Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения машиностроительных, строительных, энергетических и других специальностей, в учебные планы которых входит дисциплина «Теоретическая механика». Они содержат контрольные задания, краткие теоретические сведения, планы решения типовых задач, примеры решения.

© ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2014

2

Введение

Теоретическая механика занимает одно из ведущих мест среди общепрофессиональных дисциплин, изучаемых в высших технических учебных заведениях. Она является теоретической базой для таких дисциплин, как «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин», «Строительная механика» и др.

Для успешного изучения курса теоретической механики, кроме глубокой проработки теории предмета, необходимо также приобрести твердые навыки в решении задач. С этой целью в учебных планах по дисциплине «Теоретическая механика» предусмотрено выполнение индивидуальных домашних заданий.

Целью настоящих указаний является оказание методической помощи студентам при решении задач, входящих в индивидуальные домашние задания по теоретической механике

1 Содержание дисциплины

Статика

1. Основные понятия и аксиомы статики.

Предмет статики. Основные понятия статики. Аксиомы статики. Связи и реакции связей. Принцип освобождаемости от связей. Основные виды связей.

2. Система сходящихся сил.

Геометрический способ определения равнодействующей пространственной системы сходящихся сил. Условие равновесия систем сходящихся сил в геометрической форме. Аналитический метод определения равнодействующей пространственной и плоской системы сходящихся сил. Условия равновесия пространственной и плоской системы сходящихся сил в аналитической форме. Теорема о равновесии трех непараллельных сил.

3. Момент силы относительно точки и оси.

Алгебраическая величина момента силы относительно точки. Момент силы относительно точки как вектор. Момент силы относительно оси. Связь момента силы относительно оси с вектором момента силы относительно точки на оси.

4. Теория пар сил.

Пара сил. Алгебраический момент пары сил. Момент пары как вектор (векторный момент пары). Теорема о сумме моментов сил пары относительно произвольной точки. Теоремы об эквивалентности пар сил на плоскости и о переносе пары сил в параллельную плоскость. Теорема о сложении пар сил, расположенных в пересекающихся плоскостях. Условия равновесия пар сил.

5. Приведение произвольной системы сил к данному центру. Аналитические условия равновесия пространственной системы

сил. Частные случаи. Лемма о параллельном переносе силы. Присоединенная пара сил. Главный вектор и главный момент системы сил. Аналитическое определение главного вектора и главного момента произвольной системы сил. Основная теорема статики. Аналитические условия равновесия системы сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

6. Система сил, произвольно расположенных на плоскости. Аналитическое определение главного вектора и главного

момента плоской системы сил. Случай приведения плоской системы

5

сил к одной паре и к равнодействующей. Случай равновесия сил. Аналитические условия равновесия. Различные формы уравнений равновесия плоской произвольной системы сил. Реакция жесткой заделки. Равновесие системы параллельных сил.

7. Трение.

Законы трения скольжения. Угол и конус трения. Область равновесия. Понятие о трении качения.

8. Центр параллельных сил и центр тяжести.

Радиус – вектор и координаты центра параллельных сил. Центр тяжести твердого тела: формулы для определения его координат. Координаты центров тяжести однородных тел (центры тяжести объема, площади и линии). Способы определения положения центра тяжести тел. Центры тяжести площади треугольника, дуги окружности, кругового сектора.

Кинематика

1. Предмет кинематики.

Пространство и время в классической механике и в теории относительности. Система отсчета. Относительность движения и покоя. Задачи кинематики.

2. Кинематика точки.

Векторный способ задания движения точки. Координатный способ задания движения точки (в прямоугольных декартовых координатах). Естественный способ задания движения точки. Естественный трехгранник. Алгебраическая величина скорости точки. Определение ускорения точки по её проекциям на оси естественного трехгранника; касательное и нормальное ускорения точки. Равномерное и равнопеременное криволинейные движения точки; законы этих движений.

3. Простейшие движения твердого тела.

Степени свободы твердого тела. Теорема о проекциях скоростей точек твердого тела.

4. Поступательное движение твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Равномерное и равнопеременное вращения твердого

6

тела. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Скорость и ускорение точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторные выражения скорости, вращательного и центростремительного ускорений точки.

5. Плоское движение твердого тела.

Определение плоского движения твердого тела. Уравнения движения. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное движения. Векторная зависимость между скоростями двух точек тела при плоском движении. Мгновенный центр скоростей. Векторная зависимость между ускорениями двух точек тела при плоском движении. Мгновенный центр ускорений.

6. Сферическое движение твердого тела.

Эйлеровы углы. Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Мгновенная ось вращения тела. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Понятие об аксоидах.

7. Общий случай движения твердого тела.

Разложение движения свободного твердого тела на поступательное и сферическое движения. Уравнения движения свободного твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек свободного твердого тела.

8. Сложное движение точки.

Абсолютное, относительное и переносное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений. Ускорение Кориолиса.

9. Сложное движение твердого тела.

Сложение поступательных движений. Сложение мгновенных вращений твердого тела вокруг пересекающихся и параллельных осей. Пара мгновенных вращений. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение.

7

2 Контрольные задания и методические указания к их выполнению

2.1 Содержание заданий

Студенты, обучающиеся по учебным планам по направлению 150700 «Машиностроение», 270800 «Строительство», 271101 «Строительство уникальных зданий и сооружений», 141100 «Энергетическое машиностроение» выполняют одно индивидуальное задание №1.

ИДЗ №1 включает задачи по разделам статика, кинематика: C1,

C2, K1, K2, К3, К4.

Студенты, изучающие теоретическую механику в одном семестре выполняют одно ИДЗ. В разделах статика, кинематика оно включает задачи С1, К2.

К каждой задаче даётся 10 рисунков и таблица, содержащая 10 вариантов данных.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по последней цифре, а номер варианта данных в таблице – по

предпоследней цифре номера зачетной книжки.

Каждая задача выполняется на листах формата А4 с одной стороны. Сверху указывается номер задачи и тема, далее записываются данные из таблицы, и делается чертёж. Чертёж выполняется линейкой и циркулем, основные линии должны быть в два раза толще вспомогательных. На чертеже все углы должны соответствовать условию, размеры выполняются пропорционально данным. Слева оставляются поля – 20 мм. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями.

2.2 Задачи контрольных работ по статике С1, С2

Задача С.1 Определение реакций опор твердого тела: плоская система сил.

Жёсткая рама, расположенная в вертикальной плоскости, закреплена в точке А неподвижным шарниром, а в точке B подвижным шарниром (рис 1, 2). На участке АС действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности q. К раме приложена пара сил с моментом M и сила F. Значения F, M, q, a, α приведены в таблице 1. Определить реакции связей в точках A и B.

8

Таблица 1 – Данные к задаче С1

Рисунок 1 – К задаче С1

9

Рисунок 2 – К задаче С1

10

Задача С.2 Определение реакций опор твердого тела: пространственная система сил.

Однородная прямоугольная плита ABCD весом P (рисунки 3, 4) закреплена в точке А сферическим шарниром, в точке В цилиндрическим шарниром, в точке С или D нитью или невесомым стержнем. На плиту действует пара сил, лежащая в плоскости плиты; момент пары m. В точке К приложена сила F, лежащая в плоскости xy, точка К – середина стороны. Значения P, F, m, α, a, b приведены в таблице 2. Определить реакции связей в точках А, B, C или D.

Таблица 2 – Данные к задаче С2

11

B

α

Рисунок 3 – К задаче С2

12

Рисунок 4 – К задаче С2

13

2.3Методические указания к решению задач по статике

2.3.1 Плоская система сил

При решении задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием плоской произвольной системы сил, применяются уравнения равновесия в одной из следующих форм [1]:

–суммы проекций на декартовы оси координат и сумма алгебраических моментов всех сил системы относительно произвольной точки плоскости действия сил равны нулю:

∑FKX = 0; ∑FKY = 0; ∑M A (FK ) =0;

–сумма проекций на некоторую ось и сумма алгебраических моментов всех сил системы относительно двух точек плоскости, не принадлежащих прямой, перпендикулярной к оси проекций, равны нулю:

∑FK X = 0; ∑M А (FK ) = 0; ∑M В (FK ) = 0;

–суммы алгебраических моментов всех сил системы относительно трех точек плоскости действия сил, не принадлежащих одной прямой, равны нулю:

∑M А (FK ) = 0; ∑M В (FK ) = 0; ∑M С (FK ) = 0.

Проекция силы на ось (рис. 5) записывается по формуле:

FX = F cosα .

Проекция будет положительна, если направлена в положительном направлении оси.

Рисунок 5 – Проекция силы

14

Алгебраическим моментом силы относительно данной точки называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на ее плечо относительно этой точки (рис. 6), т.е., где h – плечо силы относительно точки А.

d

F2

F1

Момент считается положительным, если сила стремится вращать тело вокруг данной точки против часовой стрелки; если по часовой стрелке, то момент считается отрицательным.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил, приложенных к твердому телу (рис. 7). Алгебраический момент пары сил определяется по формуле

М(F1 , F2 ) = ±F1d = ±F2 d ,

где d – плечо пары сил (рис. 7).

Правило знаков для алгебраических моментов силы и пары сил одинаково.

С целью получения более простых уравнений суммы моментов сил рекомендуется составлять относительно точек, через которые проходят линии действия неизвестных сил.

В тех случаях, когда запись момента усложняется из-за трудностей при нахождении плеча силы, удобно разложить ее на составляющие, для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона:

МА(F ) = M A (F ′) + M A (F ′′) ,

где F ′ , F ′′ – составляющие силы F , т.е. F = F ′ + F ′′ .

15

План решения задач

1)Выделить на рисунке твердое тело, равновесие которого следует рассмотреть.

2)Изобразить векторы сил и моменты пар сил задаваемой нагрузки, приложенной к выделенному телу.

3)Выбрать систему координат.

4)Освободить тело от связей (опор) и заменить их соответствующими реакциями связей. Основные виды связей и их реакции приведены в любом учебнике по теоретической механике (раздел «Статика»), например в [1].

5)Для системы сил, приложенных к телу, составить уравнения равновесия.

6)Решив полученную систему уравнений, определить неизвестные реакции связей.

Пример 1. Балка АВ (рис. 8) находится в равновесии. Сила G=10 кН, момент пары сил М=8 кНм, интенсивность распределенной нагрузки q=0,5 кН/м, Р=5 кН, ; размеры указаны в м.

Определить реакции неподвижного цилиндрического шарнира А и невесомого жесткого стержня СD.

Решение: Рассмотрим равновесие балки АВ (рис. 8).

Изобразим задаваемые силы, действующие на балку: сила G ,

равнодействующая Q равномерно-распределенной нагрузки, по величине равная Q = 2 q = 2 0,5 =1 кН и приложенная в середине

участка действия этой нагрузки; пара сил с моментом М; сила S

натяжения троса, модуль которой равен P и которая направлена вдоль троса от балки.

16

Отбрасываем связи: шарнирно-неподвижную опору А и невесомый жесткий стержень CD. Действие связей заменяем их реакциями (рис. 9). Реакцию опоры А представляем двумя

составляющими XA иYA . Силу реакции стержня SCD направляем

вдоль стержня от балки (можно ввести ее и в обратном направлении). Для плоской произвольной системы сил, приложенных к балке,

составляем три уравнения равновесия:

∑M A (FK ) = 0; − Q 1− G 3 + SCD 4 sin300 − M + S 6 = 0;

∑FKX = 0; X A − SCD cos300 = 0;

∑FKY = 0; YA − Q − G + SCD cos600 + S = 0.

Решив систему уравнений, получим:

Следовательно, принятые направления этих сил совпадают с их действительными направлениями.

Пример 2. Жесткая рама АВ (рис. 10) находится в равновесии. Интенсивность распределенной нагрузки q=1 кН/м, момент пары сил М=10 кНм, Р=5 кН, α =600; размеры – в м. Определить реакции жесткой заделки А.

17

Рисунок 10 – К примеру 2 Рисунок 11 – К примеру 2

Решение: Рассмотрим равновесие жесткой рамы АВ (рис. 10). Укажем задаваемые силы, действующие на раму. Такими силами будут являться равнодействующие равномерно распределенных нагрузок на горизонтальном и вертикальном участках рамы – силы

участков; пара сил с моментом М; сила S натяжения троса, по модулю равная P и направленная вдоль троса от рамы. Отбрасываем связь – жесткую заделку в точке А. Действие жесткой заделки заменяем ее

реакциями: двумя составляющими XA и YA силы и парой с моментом

МA . Для удобства составления уравнения моментов силу S

раскладываем на составляющие S′ и S ′′ (рис. 11), по величине равные:

S ′ = S cos 30 0 = 5 0,866 = 4,33 кН,

S ′′ = S cos 60 0 = 5 0,5 = 2,5 кН.

Три уравнения равновесия будут иметь вид:

∑FKX = 0; X A − Q2 − S cos300 = 0;

∑FKY = 0; YA − Q1 − S cos600 = 0;

∑M A (FK ) = 0; M A + Q1 1− M + Q2 1,5 + S′ 3 + S′′ 3 = 0.

18

Из уравнений получаем:

2.3.2 Пространственная система сил

Для равновесия пространственной произвольной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций на пространственные декартовы оси координат и суммы моментов всех сил системы относительно этих осей равнялись нулю:

Если сила и данная ось не находятся в одной плоскости, то проецировать силу на эту ось следует согласно схеме, изображенной на рис. 12, а именно:

Z

Рисунок 12 – Проекции силы на оси

19

Моментом силы относительно данной оси называется алгебраический момент проекции силы на плоскость перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси и этой плоскости (рис. 13), т.е.:

M Z (F ) = M 0 (F ′) = ±F ′ h.

Рисунок 13 – Момент силы относительно оси

Момент считается положительным, если при наблюдении с

положительного направления оси проекция силы F ′ стремится вращать тело вокруг оси против часовой стрелки. В противном случае момент силы относительно данной оси считается отрицательным.

Для упрощения записи момента силы F относительно оси бывает удобно разложить ее на составляющие FX , FY , FZ по

координатным осям, тогда в соответствии с теоремой Вариньона моменты силы относительно этих осей будут равны:

M X (F ) = M X (FY ) + M X (FZ ) ,

MY (F ) = MY (FX ) + MY (FZ ) ,

M Z (F ) = M Z (FX ) + M Z (FY ) .

Моменты силы относительно координатных осей можно также записывать по аналитическим формулам:

M X (F ) = y FZ − z FY , MY (F ) = z FX − x FZ ,

M Z (F ) = x FY − y FX ,

где x, y, z – координаты точки приложения силы; FX , FY , FZ – проекции силы на оси координат.

20