Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Иркутский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания по мат.анализу 1 семестр.docx

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Задания для контрольных работ

1-10. Решить следующие задачи:.

1. По уравнению сторон треугольника

найти координаты его вершин. Сделать построение.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых ,и отсекающей на осях координат равные положительные отрезки. Сделать построение.

3. При каком значении С прямая будет проходить через точку пересечения прямыхи? Построить.

4. Даны уравнения сторон треугольника ,и. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно его стороне, образующей с осью абсцисс острый угол. Построить.

5. Треугольник задан уравнениями: (АВ) , (АС)и

(ВС) . Составить уравнение высоты, опущенной из вершины В. Построить.

6. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма ,. Найти уравнение двух других сторон, если известна точка пересечения его диагоналей (2;2). Построить.

7. Уравнения смежных сторон прямоугольника и. Координаты одной из вершин С(3;-3). Составить уравнение диагонали, проходящей через точку С. Построить.

8. По уравнениям сторон треугольника ,и. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины, лежащей в третьей четверти. Построить.

9. Составить уравнение перпендикуляра к прямой в точке пересечения ее с прямой. Построить.

10. По уравнениям прямых ;найти расстояние между точками их пересечения с осью ординат. Построить.

11-20. Дано общее уравнение кривой второго порядка F(x,y)=0.

1) Преобразовать уравнение к каноническому виду;

2) Построить кривую.

	F(x,y)
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

21-30. решить следующие задачи.

21. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек (1,2) и(4,-1).

22. Составить уравнение линии, если каждая ее точка отстоит от точки А(6,0) вдвое дальше, чем от прямой x=1

23. Составить уравнение линии, если расстояние каждой ее координат относится к расстоянию от точки как 2:1.

24. Найти геометрическое место точек, которые отстоят от точки А(0,1) вдвое ближе, чем от точки В(4,0).

25. Определить траекторию точки М (x,y), которая движется так, что остается вдвое дальше от точкиМ (-8,0), чем от прямой х=-2.

26. Составить уравнение геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии от точки А(9,0) и от прямой х=12

27. Составить уравнение линии, если каждая ее точка находится вдвое ближе к точке А(1,0), чем к точкеВ(-2,0).

28. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точки М(4,2) и от оси ординат.

29. составить уравнение линии, если расстояние каждой ее точки от точки А(2,0) относится к расстоянию до прямойкак 5:4.

30. Найти геометрическое место точек, если расстояние от них до точки А(3,0) в два раза меньше расстояния до точкиВ(26,0).

31-40. Линия дана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1)Построить линию по точкам, придавая полярному углу значения отдо.

2)Написать уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат.


31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

41-50. Найти матричный многочлен , где Е-единичная матрица.

41. А=42. А=

43. А=44. А=

45. А=46. А=

47. А=48. А=

49 А=50. А=

51-60.Решить матричное уравнение, где Х-неизвестная матрица.

51. X*==52.X*==

53.*X=54.X*=

55. *Х=56. Х*=

57. *X=58.X*=*

59. Х*=60.*Х

61-70. Доказать совместность системы линейных

уравнений и решить ее по методу Крамера и матричным способом.

61. 64.

62. 65.

63. 66.

67. 69.

68. 70.

71-80. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее по формулам Крамера и средствами матричного исчисления.

71. 75.

72. 76.

73. 77.

74. 78.

75. 70.

81-90. Даны векторы , , ,. Разложить векторпо векторам , ,.


81	(8, 1, 12)	(3, 0, 2)	(-1, 1, 1)	(1, 2, -1)
82	(8, 0, 5)	(1, 1, 0)	(4, 1, 2)	(7, 9, -2)
83	(6, 5, -14)	(0, -3, 2)	(2, 1, -1)	(1, 1, 4)
84	(2, -1, 11)	(0, 1, -2)	(1, 0, 3)	(1, 1, 0)
85	(-1, 7, -4)	(2, 0, 3)	(1, 1, -1)	(-1, 2, 1)
86	(-2, 4, 7)	(1, 0, 1)	(-1, 2, 4)	(0, 1, 2)
87	(-5, 5, 5)	(1, 3, -1)	(0, 4, 1)	(-2, 0, 1)
88	(-19, -1, 7)	(-2, 0, 1)	(3, 1, 0)	(0, 1, 1)
89	(6, 12, -1)	(2, -1, 1)	(0, -1, 2)	(1, 3, 0)
90	(13, 2, 7)	(2, -1, 3)	(1, 0, -1)	(5, 1, 0)

91-100. Коллинеарны ли векторы . Перпендикулярны ли векторы, если;


91	4  3	8 3
92	5 4 3	7 9 2
93	 5 	2  7
94	5  3	2 6
95	2  	 7  2
96	3 4	 5  2
97	  5	2 3 4
98	 3  4	3 7
99	7 2 3	 2 
100	3 2 6	8 5

101-110. Компланарны ли векторы


101	(1, 2, 3)	(4, -5, 6)	(7, -8, 9)
102	(1, 0, -1)	(8, 3, 2)	(3, 1, -1)
103	(-2, -2, -3)	(2, 4, 3)	(3, 10, 5)
104	(1, 0, 1)	(2, -6, 17)	(-4, 12, -34)
105	(4, 7, 5)	(2, 0, -1)	(2, 3, 2)
106	(3, 7, 2)	(2, 2, 1)	(-2, 0, -1)
107	(2, 2, 2)	(2, 3, 1)	(-1, -1, -1)
108	(1, 1, 1)	(1, -2, 1)	(3, 3, 1)
109	(9, 0, 8)	(5, -1, 4)	(1, 0, -1)
110	(4, 3, 1)	(1, -2, 1)	(2, 3, -3)

111-120. Даны координаты вершин пирамиды АВСД.

Требуется:

1) Записать векторы АВ, АС и АД в системе орт и найти модули этих векторов.

2) Найти угол между векторами АВ, АС .

3) Найти проекцию вектора АД на вектор АВ.

4) Найти площадь грани АВС.

5) Найти высоту пирамиды, проведенной из вершины С (двумя способами).

6) Найти объем пирамиды.

7) Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку Д перпендикулярно плоскости АВС.

8) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью АВС и с координатными плоскостями xOy; xOz; yOz.

9) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Д и С перпендикулярно плоскости АВС.

111. А(2;-3,1); В(6,1,-1); С(4,8,-9); Д(2,-1,2)

112. A(5, -1,-4); В(9,3,-6); С(7,10,-14); Д(5,1,-3)

113. A(1, -4,0); В(5,0,-2); С(3,7,-10); Д(1,-2,1)

114. A(-3, -6,2); В(1,-2,0); С(-1,5,-8); Д(-3,-4,3)

115. А(-1,1,-5); В(3,5-7); С(1,12,-15); Д(-1,-3,-4)

116. А(-4,2,1); В(0,6,-3); С(-2,13,-11); Д(-4,4,0)

117. А(0,4,3); В(4,8,1); С(2,15,-7); Д(0,6,4)

118. А(-2,0,-2); В(2,4,-4); С(0,11,-12); Д(-2,2,-1)

119. А(3,3,-3); В(7,7,-5); С(5,14,-13); Д(3,5,-2)

120. А(4,-2,5); В(8,2,3); С(6,9,-5); Д(4,0,6)

121-130. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А

121. А= 122. А=

123. А= 124. А=

125. А= 126. А=

127. А= 128. А=

129. А= 130. А=

131-140. Даны два линейных преобразования.

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141-150. Даны два комплексных числа и.

Найти:

а) тригонометрическую и показательную формы этих чисел;

б)

в) найти и и представить их в тригонометрической форме.

Решить уравнение: .

141. ,,

142. ,,

143. ,,

144. ,,

145. ,,

146. ,,

147. ,,

148. ,,

149. ,,

150. ,,

151-160. Функцию преобразовать к виду

. Объяснить смысл параметров а, m,n.

Построить график функций .

Задания по вариантам:

161-170. Построить график функции (а) способом сдвига и деформации графика функции (б).

Задания по вариантам:

161. а) у = -2cos(х +3);b) у =cosx;

162. а) y=(l/3)sin(x-(π/6)); b) y = sinx;

163. a)b) у = cosx;

164.a) y =-4sinx;. b) y = sinx;

165. а) у = cos5x + 2; b) y = cosx;.

166. a) y = -cos (x/2) - 3; b) у = cosx.

167. а) у = -sin(x+8);b) у =sinx.

168. а) у= 3cosx+ 4;b)e=cosx.

169. a) y = (1/2)sin(x/2)-1; b) y = sinx.

170. a) y =-cos((x/2)-2); b) y = cosx.

171-180. Найти область существования функции Y = f(x).

Задания по вариантам:

181 – 190. Найти пределы ( не пользуясь правилом Лопиталя).

∑

191-200. Дана функция y=f(x) и два значения аргумента х₁ и х_2.Установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х. Построить приближенно график функции в окрестностях каждой из данных точек.

201-210.В задачах а) и б) найти точки разрыва функции. Определить характер разрыва, сделать чертеж.

211-220. Найти производные данных функций:

221-230. Найти и.

231-240. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [а; в].

[-3;1]

[0;]

[-2;3]

[]

[-2;0]

[]

[-]

[0;2]

[-1;4]

[-1;2]

241-250. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и, используя результаты исследования, построить график.

251-260. Исследовать методами дифференциального исчисления функции.

261-270. Решить следующие задачи методами дифференциального исчисления.

261. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

262. Лодка находится в 3 км от ближайшей точки А берега. Гребец должен попасть за кратчайшее время в село, находящееся на берегу на расстоянии 5 км от А. В какой точке берега должен высадиться гребец, если известно, что скорость его на лодке 4 км/ч, а пешком - 5 км/ч?

263. Сечение шлюзового канала имеет форму прямоугольника, завершаемого полукругом. Зная площадь сечения S, определить при каких условиях периметр сечения будет наименьшим.

264. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?

265. Из круга вырезан сектор с центральным углом а. Из оставшейся части круга свернута воронка. При каком значении угла α вместимость воронки будет наибольшей?

266. В эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными осям координат.

267. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

268. Найдите наименьший из объемов конусов, описанных около данного цилиндра с высотой h и радиусом основания r.

269. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Какой длины должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг боковой стороны, был наибольшим?

270.Число 18 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы первое слагаемое было равно третьему, а сумма квадратов всех трех слагаемых была наименьшей.

271-280. Решить следующие задачи методами дифференциального исчисления.

271. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус его основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?

272. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?

273. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

274. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

275. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара с радиусом R

276. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

277. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом Периметр окна равен а При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

278. В точках А и В находятся источники света силы соответственно F1 и F2. Расстояние между точками равно а. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку М.

Замечание: освещенность точки источником света силы F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света E=kF/r2, k = const.

279. Из круглого бревна диаметром d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание: сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х ее поперечного сечения на квадрат его высоты: , k = const.

280. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна p1 руб., а стенок – р2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?

Указание: рекомендуется принять за аргумент отношение радиуса r дна бака к его высоте h (λ = h/r),

281-290. Определить количество действительных корней уравнения, отделить эти корни. Применяя метод хорд и касательных, найти приближенное значение каждого из корней с точностью до 0,01.