4. Вес функции некоррелированных измерений

Дано: z = f(x₁, x₂, …, x_n), дифференцируемая функция случайного вектора, аргументы которого получены по результатам некоррелированных измерений, характеризующихся некоторыми весами p₁, p₂, … , p_n в масштабе «».

Прямая задача.

Эта задача состоит в нахождении веса функции «z». Для решения этой задачи достаточно разделить левую и правую части формулы (R.6) на квадрат СКП единицы веса «²». В результате получим соотношение между обратным весом функции и обратными весами её некоррелированных аргументов:

. (Р.7)

Обратная задача.

Пусть z = f(x₁, x₂, …, x_n) – дифференцируемая функция случайного вектора, аргументы которого не коррелированы, а P_Z – вес этой функции, который необходимо обеспечить, выполнив измерения X_1n^T = (x₁, x₂, …, x_n) с неизвестными весами p_i.

Уравнение P.7 содержит «n» неизвестных. Следовательно, оно имеет бесчисленное множество решений. Для выбора некоторого определённого варианта прибегают к дополнительным ограничениям, накладываемым на искомые неизвестные (веса p_i).

1) Принцип равных весов:

p_i = p_j = p (P.8)

Решение (P.7) под условием (P.8) даёт такую формулу для равных весов «p»:

p = P_z* P.9)

2) Принцип равных влияний:

(P.10)

Решение (P.7) под условием (P.10) даёт такую формулу для «p_i»:

p_i = n*P_z* P.12)

5. Обработка ряда прямых, некоррелированных, равноточных измерений одной величины.

Математическая обработка результатов измерений некоторой величины подразумевает решение трёх основных и нескольких вспомогательных задач. Основных задач три:

• нахождение наиболее надёжного значения (ННЗ) измеряемой величины;

• оценка точности (ОТ) измерений;

• ОТ ННЗ измеряемой величины.

Вспомогательные задачи связаны с построением доверительных границ для первой и второй основных задач, отбраковкой сомнительных результатов.

Выполним постановку основных задач, определённых выше.

Дано:

X – истинное, объективно существующее значение измеряемой величины;

x₁, x₂, … , x_n – ряд (результатов) измерений (простая выборка);

Х – случайная величина (СВ), представляющая собой вероятностную модель измерительной технологии;

x_i X – i-ый результат измерений – элемент спектра СВ «Х»;

E(X) – МО вероятностной модели – Х;

X = E(X) – условие отсутствия постоянной ошибки;

K_X = diag {σ², σ², … σ²} – ковариационная матрица измерений, отражающая некоррелированность и равноточность измерений;

Определить:

1)  ННЗ измеряемой величины;

2)  ОТ измерений;

3)  ОТ ННЗ измеряемой величины.

Решение:

1. Нахождение ННЗ измеряемой величины.

В условиях отсутствия постоянной ошибки δ, т.е. когда X = E(X), ННЗ измеряемой величины будет служить МНК-оценка МО случайной величины «Х», являющаяся параметром «a», для которого строится оценивающая функция (ОФ): = .

Построим ОФ для =, применив метод наименьших квадратов (МНК). Функционал МНК в данном случае будет иметь вид:

= min. (Q.1)

Необходимым условием существования данного экстремума является равенство нулю производной функционала Ψ по единственному параметру :

. (Q.2)

Из (Q.2) следует

, (Q.3)

откуда получаем искомую МНК-оценку истинного значения измеряемой величины в форме среднего арифметического:

(Q.4)

Итак, ННЗ измеряемой величины является среднее арифметическое результатов прямых, некоррелированных, равноточных наблюдений.

2. ОТ измерений.

Оценка точности измерений заключается в нахождении оценки стандарта наблюдений, каковой служит выборочный стандарт «m», называемый в геодезии и астрономии средней квадратической погрешностью наблюдений:

= m . (Q.5)

Эта формула носит имя Бесселя, впервые получившего её.

3. ОТ ННЗ измеряемой величины.

Показателем точности среднего арифметического (ННЗ) является его средняя квадратическая ошибка, вывод выражения для которой опирается на формулу (R.6):

. (Q.6)

Дополнительным показателем точности среднего арифметического служит его вес, который равен числу наблюдений «n», если  = m, т.е.

. (Q.7)