3.1.3. Частная корреляция
В том случае, когда имеются одна независимая и одна зависимая переменные, естественной мерой линейной зависимости является выборочный коэффициент корреляции между ними. В случае, когда исследуется влияние нескольких независимых переменных x(1),x(2), …x(m), на одну объясняемуюy, высокое значение коэффициента корреляции между исследуемой переменнойyи какой-либо независимой переменной x(j), может, как и раньше, означать высокую степень зависимости, но может быть обусловлено и другой причиной. А именно, есть третья переменная x(k), которая оказывает сильное влияние на две первые, что и служит, в конечном счете, причиной их высокой коррелированности. Поэтому возникает естественная задача найти «чистую» корреляцию между двумя переменными, исключив влияние других факторов. Поставим в соответствие каждой из ранее введенных парных характеристик статистической связи между переменными частую характеристику, определяемую по той же формуле, но дляусловного распределения.
3.2. Проверка гипотез о корреляции случайных переменных
Далее, в анализе коэффициента корреляции возникает следующий вопрос. Если он равен нулю для генеральной совокупности, это вовсе не значит, что он в точности будет равен нулю для выборки. Наоборот, он обязательно будет отклоняться от истинного значения, но чем больше такое отклонение, тем менее оно вероятно при данном объеме выборки. Таким образом, при каждом конкретном значении коэффициента корреляции величин Х и Y для генеральной совокупности выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной. Следовательно, случайной величиной является также любая его функция, и требуется указать такую функцию, которая имела бы одно из известных распределений, удобное для табличного анализа. Для выборочного коэффициента корреляции rтакой функцией являетсяt-статистика, рассчитываемая по формуле
и имеющая распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Число степеней свободы меньше числа наблюдений на 2, поскольку в формулу выборочного коэффициента корреляции входят средние выборочные значения ХиY,для расчета которых используются две линейные формулы их зависимости от наблюдений случайных величин. Сразу уточним, что для коэффициента корреляции будет проверяться нулевая гипотеза, то есть гипотеза о равенстве его нулю в генеральной совокупности. Эта гипотеза отвергается, если выборочный коэффициент корреляции слишком далеко отклонился от нулевого значения, то есть произошло событие, которое было бы маловероятным в случаеXY=0.
Здесь, конечно, очень важно понять, что конкретно значат слова "слишком далеко" и "маловероятное событие". В последнем случае нужно задать вероятность такого события, которая называется в статистике "уровень значимости". Чаще всего задается уровень значимости 1% или 5%. Если для некоторого показателя проверяется гипотеза о том, что его истинное значение равно нулю, то данная гипотеза отвергается в том случае, если оценка показателя по данным выборки такова, что вероятность получения такого или большего (по модулю) ее значения меньше, чем 1% или 5% соответственно.
На рис. 3.3. дана иллюстрация проверки нулевой гипотезы для коэффициента корреляции, которая может быть использована для рассмотрения общей схемы проверки статистических гипотез. Здесь H0- гипотеза о том, что истинное значение коэффициента корреляции равно нулю, альтернативная ей гипотезаH1, - что оно не равно нулю.
Рис. 3.3. Проверка нулевой гипотезы для коэффициента корреляции
Функция fZ - функция плотности вероятности распределения Стьюдента в случае, если нулевая гипотеза верна (она максимальна приZ =0,гдеZ-случайная величина выборочного коэффициента корреляции). Заштрихованная область - это область больших по абсолютной величине (маловероятных при выполнении гипотезыН0)значений выборочного коэффициента корреляции. Если последнее все-таки попало в эту область, тоН0отвергается. Площадь заштрихованной области, равная, -уровень значимости, или вероятность того, что туда попадет величинаZпри выполненииН0.