- •2.5. Основные статистические распределения
- •2.5. Равномерное распределение
- •2.5.1. Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины
- •2.6. Нормальное распределение
- •2.6.1. Свойства нормального распределения
- •2.6.2 Плотность вероятности и функция нормального распределения
- •2.6.3. Работа с таблицами стандартного нормального распределения
- •Лабораторная работа №2.6. Параметры нормального распределения
- •Выполнение
- •2.7. Распределение Стьюдента
- •2.7.1. Дополнительно
- •2.7.2. График функции плотности вероятности распределения Стьюдента
- •2.7.2. Примеры расчетов вероятности попадания в заданный интервал с помощью таблиц t-распределения Стьюдента
- •2.8. F-распределение Фишера
- •2.8.1. Работа с таблицами f-распределения Фишера
- •Пример 2.6.
- •Вопросы
2.7.2. График функции плотности вероятности распределения Стьюдента
График функции плотности вероятности распределения Стьюдента (рис.2.8), как и стандартного нормального распределения, имеет симметричный колоколообразный вид, но является более "сплюснутым" по вертикали.
Из симметричности распределения Стьюдента вытекает важное соотношение между критическими точками этого распределения t()=t1-().
Рис. 2.8. Плотность вероятности распределения Стьюдента (M[X]=0, D[X]=)
На практике обычно используют не таблицы функции распределения Стьюдента F(z),а таблицы критических точек функции распределения Стьюдентаt(), то есть точек с заданной вероятностью попаданияв начинающиеся от них "хвосты" распределения:Prob(|t|>t())=, гдеtреализация исследуемой случайной величины, подчиненной распределению Стьюдента.
Распределение Стьюдента используется, например, при проверке гипотез:
• о среднем значении нормальной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии;
• о линейной независимости двух случайных величин (равенстве нулю коэффициента корреляции) - см. ниже в этой главе;
• о статистической значимости коэффициента линейной регрессии.
2.7.2. Примеры расчетов вероятности попадания в заданный интервал с помощью таблиц t-распределения Стьюдента
В таблице функции распределения Стьюдента приводятся обычно, для различных чисел степеней свободы , критические точки, соответствующие приведенным в верхней строке таблицы вероятностямпопадания в правый «хвост» распределения. Иными словами, в приведенной ниже таблице число- это вероятность превышенияt–статистикой приведенного в таблице критического значения при соответствующем числе степеней свободы.
\ |
0,005 |
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,1 |
1 |
63,657 |
31,821 |
12,706 |
6,314 |
3,078 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
10 |
3,169 |
2,764 |
2,228 |
1,812 |
1,372 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
30 |
2,750 |
2,457 |
2,042 |
1,697 |
1,310 |
|
2,576 |
2,326 |
1,960 |
1,645 |
1,282 |
Рис. 2.4. Односторонняя критическая область распределения Стьюдента
Критическая точка t,(например,t10,0,05) находится на пересечении строки с числом степеней свободы (в данном случае=10) и столбца с заданной вероятностью (в данном случае=0,05). Из приведенной таблицы находим, чтоt10,0,05=1,812. Напомним, что критическая точка в данном случае имеет смысл:Prob{t>t,}=.
Отметим, что иногда таблицы распределения Стьюдента приводятся для двусторонних критических точек ts,, определяемых их условияProb{t>ts,}=.
Рис. 2.5. Двусторонняя критическая область распределения Стьюдента
В силу симметричности распределения Стьюдента эти точки связаны с односторонними критическими точками соотношением ts,= t,/2,так как при заданной вероятности а попадания в оба "хвоста" распределения вероятность попадания в один из "хвостов" распределения будет в два раза меньше и равна/2.
Кроме того, в некоторых таблицах распределения Стьюдента вместо малых чисел (вероятностей попадания в "хвост" распределения) приводятся числа 1-(вероятности попадания в интервал (-, t,) для односторонних критических точек и в интервал [-ts,,ts,) для двусторонних критических точек).