Сборник лекций по общей теории относительности(С. Н. Вергелес)
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SA |
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SmA |
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Jµ(x) |
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SmA |
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Aµ |
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1 |
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||
Z Jµ(x)δAµ(x)p−g(x) d(4) x. |
||||||||
δSmA = − |
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|||||||
c |
||||||||
Jµ(x) = (−g(x))− 21 |
n |
en Z |
d snδ(4)(x − xn) · unµ. |
|||||
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X |
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δxµ |
δAµ(x) |
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n |
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δnS = 0 , |
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δAS = 0. |
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δxµ |
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n |
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δxµ |
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n |
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− n |
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|
en |
d snδxnµFµν (xn)unν . |
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|||||||||||||||||||
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c Z |
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|||||||||||||||||||||
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X |
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d uµ |
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µ |
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e |
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mc d s + λν |
(x)uλuν = |
|
F µν (x)uν . |
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|||||||||||||||||||||||
c |
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δAµ |
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1 |
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∂ |
√ |
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νµ |
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µ |
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||||||||||||||||||
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√ |
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( |
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−gF |
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) = 4πJ |
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. |
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|||||||||
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∂xν |
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|||||||||||||||||||
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−g |
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|||||||||||||||||||
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√ |
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|||
µ |
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−g |
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||||||
(∂/∂x ) |
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||||||
(∂2/∂xµ∂xν ) |
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||||||
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(√ |
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||||||||||
−gF νµ) |
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|||||||||||||||
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1 ∂ |
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√ |
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µ |
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µ |
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||||||||||||
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||||||||||||||||
|
√ |
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( −gJ |
) = 0 ←→ µj |
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= 0. |
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|||||||||||||||||
|
∂xµ |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
−g |
|
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|||||||||||||||||||||||
δnS
(µ ↔ ν)
ν F νµ
|
ν F νµ = 4 π Jµ. |
d d = 0 |
d F = 0 |
∂ |
|
Fµν + |
∂ |
|
Fνλ + |
∂ |
|
Fλµ = 0. |
∂x |
λ |
∂x |
µ |
∂x |
ν |
|||
|
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|
yµ = xµ − ξµ(x), ξµ → 0 |
y |
µ |
|
|
x |
µ |
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||||||||||||||
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||||
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|
gµν′ (y(x)) = |
|
∂xσ |
|
∂xρ |
gσρ(x). |
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|||||||||||||||||||
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∂yµ ∂yν |
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|||||||||||
ξµ |
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||
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|
∂ξµ |
∂ξµ |
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|
∂xµ |
|
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|
|
∂ξµ |
|||||||||||||||
|
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|
= |
|
|
−→ |
|
|
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|
= δνµ + |
|
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|
. |
||||||||||||||
|
|
∂yν |
∂xν |
∂yν |
∂xν |
|||||||||||||||||||||||||
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|
∂ξσ |
|
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|
∂ξσ |
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|||||||||
gµν′ (y) = gµν (x) + |
|
|
· gµσ + |
|
|
· gνσ (x). |
||||||||||||||||||||||||
∂xν |
∂xµ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
gµν′ |
(y) = gµν′ |
(x) − ξσ ∂xσ gµν |
(x). |
||||||||||||||||||||||||||
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∂ |
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|||
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δgµν (x) ≡ gµν′ |
δgµν = ξσ |
∂ |
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|
∂ξσ |
|
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|
|
|
∂ξσ |
|
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||||||||||||||
|
|
gµν + |
|
· gµσ + |
|
· gνσ = |
||||||||||||||||||||||||
∂xσ |
∂xν |
∂xµ |
||||||||||||||||||||||||||||
= ∂xµ + |
|
∂xν − gλσ |
|
∂xν |
+ |
|
∂xµ |
− |
∂xσ ξλ. |
|||||||||||||||||||||
|
∂ξν |
|
∂ξµ |
|
|
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|
∂gµσ |
|
∂gνσ |
∂gµν |
|||||||||||||||||
S
(x)−gµν (x)
ξσ = gσλξλ, |
∂xµ gσλ gσµ = −gσλ |
∂xµ gσµ. |
|
|
|
∂ |
∂ |
δgµν = ∂x∂ξνµ + ∂x∂ξµν − 2 λµν ξλ,
δgµν = µξν + ν ξµ.
|
yµ xµ |
yµ + ξµ xµ |
X |
|
X |
yµ |
xµ |
q |
δq |
q |
xµn Aµ(x)
δxµ = yµ(x) − xµ = −ξµ.
A′ |
|
∂xν |
A x |
′ |
δν |
ξν |
A x |
|
||
|
|
|
||||||||
µ |
(y(x)) = ∂yµ |
ν ν ( ) = |
µ + |
, µν |
ν ( ) = |
|
||||
|
= Aµ(x) + ξ, µAν = Aµ(x) − ξ Aµ, ν . |
|
||||||||
δAµ(x) ≡ Aµ′ (x) − Aµ(x) = ξν Aµ, ν + ξ,νµAν = ξν Fνµ + |
∂ |
(ξν Aν ). |
||||||||
|
|
|||||||||
∂xµ |
||||||||||
δq
S
δS
δS = δgS + δqS = 0.
δgS δqS
q
Z
q
S = −mc gµν (x) d xµ d xν .
|
|
|
d uµ |
µ |
|
|
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|
|
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|
δgµν d xµ d xν |
|||||||
δS = mc Z |
δxρgµρ |
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+ λν uλuν d s − mc Z |
|
2 d s · d s |
|||||||||||||||
d s |
|
||||||||||||||||||||
|
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d uµ |
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|
µ |
|
|
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|||
δS = mc Z −ξµ |
|
|
+ λν uλuν − ν ξµuµuν d s = |
||||||||||||||||||
d s |
|||||||||||||||||||||
|
d uµ |
|
|
|
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|
|
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d uµ |
d ξµ |
||||
= −mc Z ξµ |
|
+ (∂ν ξµ)uµuν |
d s = −mc Z ξµ |
|
+ uµ |
|
|||||||||||||||
d s |
d s |
d s |
|||||||||||||||||||
|
|
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|
= −mc Z |
d (ξµuµ) = 0. |
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||||||||||||
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δqS = 0 |
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|
δg S = 0 |
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Z |
T µν ( µξν )√ |
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|
d(4) x = 0 |
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|||||||||||
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−g |
|
|
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|||||||||||||||
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ξν (x) |
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|||
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|
T µν µξν = µ(T µν ξν ) − ( µT µν )ξν , |
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||||||||||||||||||
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1 |
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|
∂ |
|
|
|
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|
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|||
|
µ (T µν ξν ) = |
√ |
|
|
|
√−gT µν ξν |
. |
|
|||||||||||||
|
|
∂xµ |
|
||||||||||||||||||
|
−g |
|
|||||||||||||||||||
ξν(x)
Z ( µT µν )ξν √−g d(4) x = 0.
ξν
µ T µν = 0.
d s.
d s =
|
|
|
|
|
T µν |
|
||
Uµ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
UµUµ = 1, Ui = vi U0. |
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||||||
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Uµ |
const UµUν |
||
|
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|
UµUν |
gµν |
||
T µν = (ε + p)UµUν − pgµν . |
|
|||||||
ε p |
|
|
|
˜ |
|
|
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K0 |
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|
gµν = ηµν |
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|
Uµ = (1, 0, 0, 0) |
|||
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 |
|
|
|
|
|
|
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|
˜00 |
˜ij |
= pδ |
ij |
˜0i |
= 0. |
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T |
= ε, T |
|
, T |
|
|
|
||
ε |
|
|
|
|
p |
|
||
˜ |
|
|
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K0 |
|
|
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|
|
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nµ |
|
|
|
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|
µ nµ = 0. |
N = R n0√ |
|
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|||
|
|
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d x1 d x2 d x3 |
||
Uµ |
|
|
|
nµ |
−g |
|||
|
nµ = n Uµ. |
|
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|||
n(x) |
|
|
|
|
n(x) |
|||
x |
|
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W = E + p V |
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|||
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E |
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p |
|
V |
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dE = −p d V |
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|
d W = V d p.
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|
w = (ε + p) |
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||||||||
1/n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w/n |
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
|
|
= |
|
d p. |
|||
|
|
|
|
|
n |
n |
|||||||
ν T µν = Uµ ν h |
w |
(nU |
ν )i + w Uν ν Uµ − gµν ∂ν p = 0. |
||||||||||
|
|||||||||||||
n |
|||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ν |
UµnUν + wUν ν Uµ − p, ν gµν = 0. |
||||||||||
n |
|||||||||||||
|
|
|
Uµ |
|
n |
|
|
− n, ν |
Uµ ν Uµ = 0 |
||||
|
|
|
Uν |
|
, ν |
= 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
p |
|
|||
w Uν ν Uµ = ∂µp − Uµ Uν ∂ν p
|
|
Tµµ = (−g)−1/2 |
n |
|
mnc2 |
Z |
d snδ(4)(x − xn). |
|||||||
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
0 |
d |
s |
n = |
c |
d |
np1 |
− |
β |
2 |
|
|
|
||
(βn → 1) d sn →0 |
n |
|
|
|||||||||||
K |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Tµµ = 0.
p = 13ε.
φ = 4πGµ.
G = 6, 67 · 10−8 3· −1 · c−2
G
κ2 = 8πGc2 = 1, 86 · 10−27
ε = µc2
ε
T µν = µc2uµuν
T µν
T00 = µc2.
8πG
g00 = c4 T00.
8πG Gµν = c4 Tµν .
Gµν
Tµν = Tνµ, |
Gµν = Gνµ |
µ Gµν = 0.
µ
· −1,
p
u0 = 1, ui = 0
Gµν
µJµ = 0
Gµν
Gµν
Gµν = C1Rµν + C2gµν R.
Rµν ≡ Rλµ λν , R ≡ Rµµ
C1 C2
C1 C2
σRλµ ρν + ρRλµ νσ + ν Rλµ σρ = 0.λgµν = 0
gρλ σRλµ ρν = σ(gρλRλµ ρν ) = σRµν . gρλ
σRµν − ν Rµσ + λRλµ νσ = 0.
gµσ
µRνµ − 12∂ν R = 0.
C2 = −12 C1
Gµν = Rµν − 12gµν R.
Rµν − |
1 |
gµν R = |
8π G |
Tµν . |
|
|
|||
2 |
c4 |
gµν
8π G R = − c4 T,
Rµν = |
8c4 |
Tµν |
|
πG |
|
(T = Tµµ).
1
− 2gµν T .
Tµν
µ = ν = 0
4πG R00 = c2 µ.
R00
R00 = ∂x∂µ µ00 − ∂x∂ 0 µ0µ.
∂/∂x0
c−1 |
00i |
gµν
i00 = 12 ∂x∂ i g00.
|
|
|
|
|
|
|
|
dV = √ |
|
d(4) x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
−g |
|||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Sg = − |
c |
Z |
d(4) x√ |
|
|
c |
Z |
d(4) x√ |
|
|
|||
−gR = − |
−ggµν Rµν , |
||||||||||||
16πG |
16πG |
||||||||||||
Rµν = Rµλ λν , Rµλ σν = ∂σ λµν − ∂ν λµσ + λρσ ρµν − λρν ρµσ.
gµν
δSg/δ λµν (g(x)) ≡ 0.
δRλ = δ λ − δ λ + δ λ · T ρ .
µ σν µν ; σ µσ ; ν µρ λν
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2, 1) |
|
|
|
λ |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
δ Sg = −16πG |
Z |
d(4) x√−ggµν |
δ µνλ |
|
; λ |
− δ µλλ |
|
; ν . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
i |
||
g;µνλ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
δ Sg = − |
16πG Z |
d(4) x√−g gµν δ µνλ |
; λ |
− gµνδ µλλ |
|
; ν = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
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= −16πG Z |
d(4) x√−g X;λλ − Y;νν , |
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Xλ = gµν δ λµν , Y ν = gµν δ λµλ .
δ µνλ |
(2, 1) |
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δ |