Сборник лекций по общей теории относительности(С. Н. Вергелес)
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gµν |
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−ggµν |
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√ |
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1√ |
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µν |
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λρ |
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λµ |
ρν |
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δ −g = |
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−gg |
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δgµν , |
δg |
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= |
−g |
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g |
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δgµν −→ |
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2 |
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−→ δ √−ggλρ = |
√−g |
2gλρgµν − gλµgρν δgµν . |
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gµν |
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c3 |
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1 |
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δgSg = |
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Z d(4) x√−g Rµν |
− |
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gµν R δgµν . |
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16πG |
2 |
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Λ = |
1 |
εabcd Rab ωc ωd |
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(13.17) |
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4 |
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εabcd |
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ε0123 = 1 |
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Rab = Rab dxµ |
dxν |
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ωab dxµ |
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ω |
a |
µν a |
µ |
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µ |
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= eµ dx |
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εabcd eλc eρd = (det eσc ) εµνλρ eaµebν |
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gµν = ηab eµa eνb |
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g = (det ηab)(det eµa )2 = −(det eµa )2 |
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det ea |
> 0 |
det ea |
= √ |
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g |
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µ |
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µ |
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− |
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εabcd eλc eρd = Eµνλρ eaµebν |
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(13.18) |
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Eµνλρ |
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Λ = |
1 |
dxµ dxν dxλ dxρ Eστλρ eaσebτ Rµνab |
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4 |
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eaσebτ Rµνab = Rµνστ , |
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dxµ dxν dxλ dxρ = dx0 dx1 dx2 dx3 · εµνλρ |
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1 |
√ |
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0 |
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1 |
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2 |
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3 |
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στ |
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Λ = |
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−g dx dx dx |
dx |
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· εµνλρεστλρ Rµν |
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4 |
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εµνλρ εστλρ = 2 (δσµδτν − δτµδσν ) , |
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Λ = dV · R , |
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R = Rµνµν , |
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dV = √ |
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d4x |
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−g |
(13.19) |
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c |
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Sg = − |
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Z |
d4x √−g R |
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(13.20) |
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2κ2 |
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gµν |
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c |
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c |
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Sg = − |
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Z |
Λ = − |
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Z |
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d4x √−g eaµebν Rµνab |
(13.21) |
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2κ2 |
2κ2 |
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δ ( Sg + S ) = 0 |
(13.22) |
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S |
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ωab |
, ea |
q |
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q |
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µ |
µ |
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δΛ = d |
2 εabcdωc ωd δωab − 2 |
εabcd T c ωd δωab + 2 εabcd Rab ωc δωd |
(13.23) |
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1 |
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1 |
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1 |
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T c |
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ωab = 0 |
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d δωab = |
1 |
δRab , |
dωc = |
1 |
T c |
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2 |
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2 |
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1 |
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1 |
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εabcd δRab ωc |
ωd = |
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εabcd ωc ωd dδωab = |
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4 |
2 |
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= d |
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2 εabcd ωc ωd |
δωab − 2 εabcd T c ωd δωab |
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1 |
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ωab = 0 |
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S |
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ωab |
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δωab |
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||||
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εµνλρεabcd eνc Tλρd |
= 0 , |
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ea(µ Tνλb ) − eb(µ Tνλa ) = 0
(µ ν λ)
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eλ |
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a |
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Tµνa |
= (eµa Tνλb − eνa Tµλb ) ebλ |
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(13.24) |
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eν |
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T a |
eν |
= 0 |
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a |
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µν |
a |
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∂µeνa − ∂ν eµa + ωµabebν − ωνabebµ = 0 |
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(13.25) |
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∂′∂xµ |
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Rab |
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||
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µν |
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1 |
√ |
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µν |
|
√ |
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a |
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a |
ν |
λ ν |
c |
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−g g |
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δ gµν = δ |
|
−g , |
δ gµν = eaµ δeν + eaν δeµ , δeb |
= −eb ec |
δeλ |
(13.26) |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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δSg |
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δeµa |
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||||||||||
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|
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|
|
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|
c |
4 |
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√ |
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µ |
|
ν |
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1 µ |
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||||||||
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||
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|
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|
|
|
d |
x |
−g (Rν |
ea |
− |
|
|
|
ea R ) |
|
|
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(13.27) |
|||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
κ2 |
2 |
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|||||||||||||||||||||||
|
δgµν |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
δeµa |
|
δS |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
√ |
|
|
|
µν |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
− |
|
d |
x |
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−g T |
|
|
|
eaν |
|
|
|
(13.28) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
κ2 |
Rµν − 2 gµν R − c T µν eaν = 0 , |
|
(13.29) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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δSg = − |
|
Z |
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d (εabcd ωc ωd δωab )+ |
|
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|
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|
|
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|
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4κ2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
Z |
d4x √−g (Rµν − |
|
gµν R ) δgµν |
|
(13.30) |
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|
|
|
|
|
|
2κ2 |
2 |
|
ηµν ∂xµ ∂xν + m2 |
φ = 0 |
|
|
∂ ∂ |
|
(− + m2 ) φ = ζ δ(3)(x)
φ(r−1) (exp −m r )
Lint φ Tµµ
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Λ |
|
Λ |
|
|
|
|
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Rµν − |
1 |
gµν R = |
8π G |
Tµν + Λ gµν |
(13.31) |
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||||
2 |
c4 |
||||
Λ |
|
|
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−2 |
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Λ → 0
Sg = − |
c3 |
Z |
d4x √−g ( R + 2Λ ) |
(13.32) |
16π G |
δ( Sg + S ) = 0