Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник лекций по общей теории относительности(С. Н. Вергелес)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

552.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

(U, h)

Sj1...jb (x)	U
i1...ia	U ∩ U′
(U′, h′)	U ∩ U′

	(S R)p = Sp Rp ,	(S + R)p = Sp + Rp.
	TabX	(a, b)
0
	(a, b) = (0, 0)
X	T00X	F X
X	F X
	(fS)p
	F X
	(a, b) = (0, 1)
		U

(U, h)

n >

TabX

∂xi	: p −→	∂xi p		, i = 1, . . . , n
∂			∂

X = Xi ∂ ∂xi

(a, b) = (1, 0)

dxi : p −→ (d xi)p
U	α	U
α = αi d xi
Xi αi, i = 1, ..., n		U

	V TpX
f	V f

	V			f F X				X
	X			f F X
		(Xf)p = Xpf ,					p X
	X	1	n	Xf			X	Xf
	(U, h) = (U, x , . . . x )						X	Xf
U	U
			Xf = Xi		∂f	,
			Xf = Xi		i	,
					∂x
Xi	X			X			(U, h)	Xf
	X
V	W	V W
V W		V W		b W
	a b	a V		b W
a1, a2, a V, b1, b2, b W			λ R
		(a1 + a2) b = a1 b + a2 b,
		a (b1 + b2) = a b1 + a b2,
		λa b = a λb = λ(a b)
			e1, . . . , eN					V
f1, . . . , fM			W
	eI fJ,		1 ≤ i ≤ n,				1 ≤ j ≤ m
		V W
							(a, b)	p
b			Tp X				a TpX

σ	r	σ	εσ = ±1
		(i1, . . . , ir) 7→(σ(i1), . . . , σ(ir))
X		X1, . . . , Xr
	X[1X2 . . .	Xr]	(0, r)

X[1X2 . . . Xr] = εσ Xσ(1) . . . Xσ(r).

( U, x1, . . . , xn )
						Xi1	. . . Xir	.
(X[1X2 . . . Xr])i1i2	...ir	≡	X[1i1 X2i2 . . . Xrir]	=	. . .		. . . . . .	.
		≡				Xi1	. . . Xir
						1	1
						r	r

			r	(r, 0)	X
			r
	r	ω
X1, X2 . . . , Xr		( U, x1, . . . , xn )
		ω(X1, X2 . . . , Xr) = ωi1...ir X[1i1 . . . Xrir] .

		ω(Xσ(1), . . . , Xσ(r)) = ǫσω(X1, . . . , Xr).
	ω, θ, φ, . . .
1	n		r	d xi, i = 1, . . . , n
(U, x , . . . , x )			r	(i1, . . . , ir)
	r	X		d xi1 , . . . , d xir
		X	εσ d xσ(i1) . . . d xσ(ir ).
		d xi1 . . . d xir =	εσ d xσ(i1) . . . d xσ(ir ).
		σ
		X = Xi ∂/∂xi		d xi(X) = Xi

(d xi1 . . . d xir ) (X1 . . . Xr) = X1i1 . . . Xrir .

(d xi1 . . . d xir )(X1 . . . Xr) = X[1i1 . . . Xrir] .

X1, . . . , Xr

(d xi1 . . . d xir )(X1, . . . , Xr) = X[1i1 . . . Xrir] .

ω = ωi1...ir d xi1 . . . d xir .

			r s
		(d xi1 . . . d xir ) (d xir+1 . . . d xir+s ) = d xi1 . . . d xir+s .
			r
s	is	θ s	(U, x1, . . . , xn ) θ = θi1...is d xi1
. . . d x

ωθ = ωi1...ir θir+1...ir+s d xi1 . . . d xir+s =

=(ω θ)i1...ir+s d xi1 . . . d xir+s .

1		X
(ω θ)i1...ir+s =		X	ǫσωσ(i1)...σ(ir ) θσ(ir+1)...σ(ir+s).
(ω θ)i1...ir+s =	(r + s)!	σ	ǫσωσ(i1)...σ(ir ) θσ(ir+1)...σ(ir+s).
			r
s			σ1
σ2 (r + s)

σ1(i1), . . . , σ1(ir), σ1(ir+1), . . . , σ1(ir+s)

σ2(i1), . . . , σ2(ir), σ2(ir+1), . . . , σ2(ir+s)

r	s
r	s

σ′

(ω θ)i1...ir+s =	r!s!	X		εσ′ ωσ′(i1)...σ′(ir ) θσ′ (ir+1)...σ′(ir+s).

	(r + s)!	σ	′

(ω θ)(X1, . . . , Xr+s) =

=εσ′ ω(Xσ′(1), . . . , Xσ′(r)) θ(Xσ′(r+1), . . . , Xσ′(r+s)).

σ′

r = 2 s = 1 3!/2!1! = 3

ω = ωij d xi d xj , θ = θk d xk.

ω θ = ωij θk d xi d xj d xk,

(ω θ) (X, Y, Z) = ωij θkX[iY j Zk] =

= ωij θk	XiY j − Y iXj	Zk + Y iZj − ZiY j			Xk + ZiXj − XiZj		Y k	=
	= ω X, Y θ	Z +			+ ω Z, X θ Y

			ω Y, Z	θ X		,

ω s

ωθ = (−1)rs θ ω.

θφ

ω(θ + φ) = ω θ + ω φ.

(ω θ) φ = ω (θ φ) = ω θ φ.

r ≥ 0

X = T1X

X =

Ω X

Ω X = F X

r > n

ω ∂xi1

, . . . ∂xir

= r! ωi1...ir .

∂

f : X −→ Y

r ≥ 0

ω)p

X1, . . . , Xr TpX

(r, 0)

(f ω)p(X1, . . . , Xr) = ωq( (d f)pX1, . . . , (d f)pXr ),

q = f(p) 1 (df)pn

: TpX −→1

TqYm

)

(U, x , . . . , x ) (V, y , . . . , y

X Y

fU V

yj = fj(x1, . . . , xn) ,

j = 1, . . . , m

(f ω)p(X1, . . . , Xr) = ωj1,...,jr

y(x)

∂yj1 (x)

X[i11 . . .

∂yjr (x)

Xrir]

∂yj1 (x)

∂yjr (x)

∂xi1

∂xir

= ωj1,...,jr y(x)

d xi1

. . .

d xir (X1, . . . , Xr) .

∂xi1

∂xir

f ω = ωj1...jr (y(x)) d yj1 . . . d yjr ,

d yj

Tp X

d yj = ∂yj d xi. ∂xi

f ω

f : X −→ Y

f ω	ω
f
f : ΩrY −→ ΩrX ,	ω 7→f ω

	f (θ ω) = f θ f ω
θ	ω Y
f = id : X −→ X	f : X −→ Y g : Y −→ Z	f	(g ◦ rf) = f r◦ g
f = id : X −→ X		f	: Ω X −→ Ω	X
r = 0	ω		g : Y −→ R
	f g = g ◦ f

Y X

i : Y −→ X

i : ΩrX −→ ΩrY

X	ω\|Y Y
		(ω\|Y )p(X1, . . . , Xr) = ωp(X1, . . . , Xr)
	p Y	X1, . . . , Xr TpY
	TpY	TpX

d f	1 f	n	X
	(U, x , . . . , x )		d f =

∂f/∂xi dxi				d f
				d : Ω0X −→ Ω1X ,			f 7→d f,
				d(fg) = d f · g + f · d g
				f	g
						d
							X	r ≥ 0
					d : ΩrX −→ Ωr+1X ,
10.				d
20.				d				θ	ω
				d(θ ω) = d θ ω + (−1)rθ d ω,
	r			θ
30.						f	: X −→ Y	ω	Y
						d f ω = f d ω.
40.		i	i	f Ω0X			d f
d f = ∂f/∂x			d x
50.		ω = d f		f Ω0X		d ω = 0
								X
		(U, x1, . . . , xn)						X
				ω\|U	= ωi1...ir d xi1 . . . d xir .

10 − 50

d(ω\|U ) = d ωi1...ir	d xi1 . . . d xir =	∂ωi1...ir	d xi d xi1 . . . d xir .
d(ω\|U ) = d ωi1...ir	d xi1 . . . d xir =	∂xi	d xi d xi1 . . . d xir .
	d(ω\|U )
U	d ω		ω
d

d(ω|U ) ≡ d ωU

(U, x1, . . . , xn)


(U′, x1′ , . . . , xn′ )					X
ω = ωi1...ir d xi1 . . . d xir						U
ω = ωi1′ ...ir′ d xi1′			. . . d xir′			U′,
	∂xi1′		∂xir′			U ∩ U′,
ωi1...ir =		. . .			ωi1′ ...ir′
	∂xi1			∂xir

∂ωi1...ir		r	∂xi1′		∂2xik′	∂xir′			∂xi1′
	=	X		. . .		. . .		· ωi1′ ...ir′ +
∂xi	=		∂xi1	. . .	∂xi ∂xik	. . .	∂xir	· ωi1′ ...ir′ +	∂xi1

k=1

∂i2f j d xi d xj = 0, ∂x ∂x

d xi d xj = − d xj d xi

	∂xir′ ∂ωi′ ...i′
. . .		1	r	.
. . .	ir	i		.
	∂x	∂x

∂xi1′

∂2xik′

∂xir′

. . .

· ωi1′ ...ir′ · d xi

d xi1 . . . d xik . . . d xir = 0.

k=1

∂xi1

∂xi ∂xik

∂xir

U ∩ U′

∂ωi1...ir

d xi d xi1

. . . d xir =

∂xi

∂xi1′

∂xir′

∂ωi1′ ...ir′

. . .

d x

. . . d x

∂xi1

∂xir

∂xi

∂ωi1′ ...ir′

d xi

∂xi1′

d xi1 . . .

∂xir′

d xir =

∂xi

∂xi1

∂xir

′

∂ωi′

...i′

′

= d ωi1′ ...ir′

d x 1

. . . d x r =

d x

d x 1

. . . d x r ,

∂xi′

d ωU = d ωU′

d ωU

d ω

r + 1

d ω|U = d ωU

d : ΩrX −→ Ωr+1X

f F X

(U, x1, . . . , xn)

∂f

∂2f

d(d f) = d

d xj

d xi d xj = 0,

∂xj

∂xi ∂xj

50
20	(U, x1, . . . , xn)
θ = f d xα,	ω = g d xβ ,
d xα = dxi1 . . . d xir	d xβ = d xj1 . . . d xjs .

d(θ ω) = d(fg d xα d xβ ) =

=d(fg) d xα d xβ = (d f · g + f · dg) d xα d xβ =

=d f d xα g d xβ + (−1)r (f d xα) (d g d xβ ) = d θ ω + (−1)r θ d ω,

U, x1, . . . , xn

(V, y1, . . . , ym)

( j

)

= 1, . . . , m

d y

j i

= f

(x , . . . , x ), j

= ∂y /∂x

d x

Tp X

d(f ω) = d ωj1...jr (y(x)) d yj1 (x) . . . d yjr (x) =

∂yj

d yj(x) d yj1 (x) . . . d yjr (x).

∂ωj1...jr (y(x)

d ω =

∂ωj1...jr

d yj d yj1 . . . d yjr ,

∂yj

d yk

d yj(x) d yj1

(V, y1, . . . , ym)

f (d ω) =

∂yj

(x) . . . d yjr (x),

∂ωj1...jr (y(x)

d(f ω) = f (d ω)

d ω

A = Aj d xj

d A =

∂xi d xi

d xj = 2

∂xi −

∂xj d xi d xj ≡ 2Fij d xi d xj .

∂Aj

∂Ai

d d ω = 0

′

1′

n′

) n

(U, x , . . . , x ) (U

, x

, . . . , x

′

U ∩ U

′

U ∩U′ =′

U ∩U′ 6=

det(∂x /∂x) > 0

∂x1′

p U ∩ U

∂x1 p

, . . . ,

∂xn p

, . . . ,

∂xn′ p

∂

TpX

−X

n > 0

n = 0

ε(p) = ±1

(U, h)

(U ∩ X , h|U∩ X )

(Uα, hα)	X	(Vα, hα\|Vα )
∂X	∂X
∂X	(Uα, hα)
	(Uα, hα)	(Uβ, hβ )
		(Vα, hα\|Vα )

Vα = Uα ∩ ∂X (Vα, hα|Vα )

(Vβ, hβ|Vβ )

(Uα, hα) = (Uα, x1, . . . , xn) (Uβ, hβ) = (Uβ, y1, . . . , yn)

Xx1 = 0, y1 = 0

∂X	Vα ∩ Vβ
			∂y1		= 0,			k = 2, . . . , n,
				k
			∂x
		∂yj				∂y1		∂yk	Vα ∩ Vβ
	det			=			det
		∂xi				∂x1		∂xl
	i, j = 1, . . . , n k, l = 2, . . . , n								y1 < 0
	x1	< 0				∂y1/∂x1 > 0			Vα ∩ Vβ

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015251.68 Кб8РТ Билеты осень 2012.docx
#
03.06.2015887.3 Кб19РТО Р2002-JF.doc
#
03.06.201581.41 Кб17Русское войско в 16 веке.doc
#
03.06.20151.05 Mб35С.В. Иванова"Формула Тэйлора и её применение".pdf
#
02.11.2018587.26 Кб8самый краткий справочник.doc
#
27.03.2016552.22 Кб54Сборник лекций по общей теории относительности(С. Н. Вергелес).pdf
#
03.06.20154.82 Mб14Свободный_полет.pdf
#
03.06.2015263.13 Кб283Синтаксис ассемблера intel.pdf
#
03.06.201519.54 Кб10Система закаливающих мероприятий .docx
#
03.06.20153.08 Mб220Слободянюк Механика и электричество.pdf
#
27.03.20162.16 Mб193Словарь-минимум.pdf