2196_teoriya matrits_kvm_2sem_
.pdf–применять метод исключения Гаусса;
–выполнять LU и LDU разложения матриц;
–пользоваться кронекеровским произведением матриц, в частности, вычислять определитель кронекеровского произведения;
–решать уравнение типа AXB=C, используя кронекеровское произведение;
–использовать блочные операции для вычисления определителя и обращения матриц;
–пользоваться неравенством Сильвестра для оценки ранга произведения матриц;
–доказывать, что а) идеал в множестве многочленов является главным идеалом, б) наибольший общий делитель системы многочленов может быть по ним разложен;
–вычислять минимальный аннулирующий многочлен матрицы;
–находить присоединенную матрицу по характеристическому многочлену;
–приводить оператор к диагональному виду в случае, если он диагонализуем;
–доказывать невырожденность матрицы, используя теорему Гершгорина;
–оценивать расположение характеристических чисел оператора на комплексной плоскости;
–находить характеристические числа многочлена от оператора;
–находить характеристический многочлен AB, зная хактеристический ногочлен BA;
–строить интерполяционные многочлены Лагранжа и Лагранжа-Сильвестра;
–приводить оператор к Жордановой форме, находя базис из цепочек собственных и присоединенных векторов;
–вычислять целые функции от матриц по значению их на спектре матрицы;
владеть:
–методами блочных операций с матрицами;
–методами вычисления определителей:
–алгоритмом LU и LDU разложений;
–алгоритмом решения матричного уравнения AXB=C с использованием кронекеровского произведения;
–методом оценки расположения характеристических чисел с применением теоремы Гершгорина;
–алгоритмом построения интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра;
–алгоритмом вычисления целой функции от матрицы по ее значению на спектре;
–построения Жорданова базиса;
3. Перечень типовых контрольных заданий, используемых для оценки знаний, умений, навыков
Промежуточная аттестация по дисциплине «Теория матриц» осуществляется в форме экзамена. Экзамен проводится в устной форме.
Примеры контрольных вопросов:
1.Сформулировать теорему Бине_Коши. Доказать ее следствиетеорему Пифагора для объема.
2.Сформулировать условия и теорему о LDU-разложении и доказать единственность.
3.Сформулировать теорему о скелетном разложении матрицы.
4.Дать определение главных миноров матрицы, объяснить как связаны
суммы главных миноров матриц AB и BA.
5.Сформулировать и доказать формулу Лапласа.
6.Дать определение циклической матрицы. Доказать замкнутость
множества циклических матриц относительно операций сложения, умножения и
обращения.
7. Дать определение блочной матрицы. Объяснить процедуры вычисления
определителя и обратной к блочной матрице.
8.Сформулировать и доказать неравенство Сильвестра.
9.Дать определение кронекеровского произведения матриц. Доказать его
свойства и формулу для определителя произведения.
10. Объяснить процедуру решения матричного уравнения AXB=C.
Многочлен от оператора. Ядро наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного операторных многочленов.
11. Дать определение идеала и главного идеала в множестве многочленов.
Доказать формулу представления наибольшего общего делителя.
12.Дать определение -матрицы, доказать теорему Безу.
13.Доказать формулу для характеристического многочлена для полинома
от оператора.
14. Дать определение ядра, образа и инвариантного подпространства оператора. Доказать свойство перекрестной инвариантности ядра и образа для коммутирующих операторов.
15. Дать определение нильпотентного оператора, доказать критерий нильпотентности.
16. Дать определение циклического подпространства и присоединенных
векторов.
17. Сформулировать и доказать теорему Гамильтона-Кели. Дать определение минимального аннулирующего многочлена, доказать его связь с
наибольшим общим делителем элементов присоединенной матрицы. Объяснить процедуру нахождения присоединенной матрицы по характеристическому многочлену.
18. Дать определение линейной независимость векторов относительно подпространства и базиса относительно подпространства, суммы и прямой суммы подпространств.
19. Дать определение корневого подпространства, высоты корневого
вектора.
20. Доказать теорему о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.
21. Объяснить процедуру выбора базиса в корневом подпространстве и приведения матрицы оператора к верхней и нижней Жордановой форме.
22. Сформулировать и доказать теорему Гершгорина, вывести достаточное условие невырожденности матрицы.
23. Доказать теорему о приведении матрицы оператора к верхнему треугольному виду.
24. Постановить задачу о построении интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра, объяснить процедуру решения.
25. Дать определение значения функции на спектре матрицы, объяснить процедуру вычисления функции от матрицы.
Примеры контрольных заданий:
1. Найти LU и LDU разложения матрицы
2 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||
|
||
|
0 |
|
|
||
4 |
4 |
3 |
3 |
6 |
9 |
1 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
||
3 |
|
|
|
.
2. Построить многочлен Лагранжа-Сильвестра по следующим значениям в узлах интерполяции:
x |
-2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
f (x) |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
f (x) |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
f (x) |
1 |
0 |
- |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3. Вычислить определитель матрицы |
|
1 |
0 |
1 |
|
, выполнив |
||
|
0 |
1 |
3 |
1 |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
блоки.
4. Дана вырожденная матрица. Какое минимальное количество достаточно заменить, чтобы полученная матрица стала не вырожденной?
разбивку на
ее элементов
2 |
|
|
|
|
0 |
8
5.Вычислить определитель матрицы
3
0
2
6.Вычислить определитель матрицы:
формулу и пользуясь формулой Бине-Коши.
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 2 4 3 1 1
3 4
3 |
|
0 |
|
12 |
|
6 |
|
0 |
|
2 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
6 |
|
3 |
|
6 |
|
12 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
||
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
||||
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
1 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
2 |
|
||
|
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
3 |
2 |
||||
|
|
4 |
5 |
|
||
|
|
|
||||
применяя явную
4. Критерии оценивания
Оценка «отлично (10)» выставляется обучающемуся, если он показал всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений;
оценка «отлично (9)» выставляется обучающемуся, если он показал всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений, но при этом были допущены небольшие неточности, которые были самостоятельно обнаружены и исправлены;
оценка «отлично (8)» выставляется обучающемуся, если он показал всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений, но при этом были допущены небольшие неточности, которые после указания экзаменатора были самостоятельно исправлены;
оценка «хорошо (7)» выставляется обучающемуся, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает неточности в ответе или делает несущественные ошибки при решении задач;
оценка «хорошо (6)» выставляется обучающемуся, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает небольшие ошибки в ответе и (или) при решении задач;
оценка «хорошо (5)» выставляется обучающемуся, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но отвечает неуверенно и (или) допускает ошибки при решении задач;
оценка «удовлетворительно (4)» выставляется обучающемуся, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, неточные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, если при этом он владеет основными разделами учебной программы,
необходимыми для дальнейшего обучения и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации;
оценка «удовлетворительно (3)» выставляется обучающемуся, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, неточные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, не владеющему некоторыми разделами учебной программы, но умеющему применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации;
оценка «неудовлетворительно (2)» выставляется обучающемуся, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубые ошибки в формулировках основных понятий дисциплины и не умеет использовать полученные знания при решении типовых практических задач;
оценка «неудовлетворительно (1)» выставляется обучающемуся, показавшему полное незнание учебной программы дисциплины.
5. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
При проведении устного экзамена обучающемуся предоставляется _1,5 астрономических часа_ на подготовку. Опрос обучающегося по билету на экзамене не должен превышать двух астрономических часов.
Во время проведения экзамена обучающиеся могут пользоваться только программой дисциплины.