Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

P5_11_2012

.pdf

Скачиваний:

161

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

864.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

§ 11. Поперечное и продольное увеличение

Рассмотрим линейный предмет AB , находящийся перед оптической си-

стемой (например, линзой) и его изображение A1B1 (рис. 11.1).
Определение. Увеличением оптической системы		A1
называется отношение величины изображения пред-	B	A1
мета к величине самого предмета.	B
мета к величине самого предмета.
Здесь полезно выделить два основных случая.
Здесь полезно выделить два основных случая.
1) Предмет лежит в плоскости, расположенной	A
перпендикулярно главной оптической оси системы.	A	B1
перпендикулярно главной оптической оси системы.
Возникающее при этом увеличение называется попе-
Возникающее при этом увеличение называется попе-
речным. Будем обозначать его Г.	Рис. 11.1
Для тонких линз все необходимые формулы вы

можете получить самостоятельно, поэтому ниже предлагается только окончательный результат:

Г	b	b F	F	.	(11.1)

	a	F	a F

Все размеры следует брать с соответствующими знаками.

Иногда наряду с поперечным увеличением Г используют угловое увеличение Г . По определению

Г	2	(11.2)
	1.

(Углы 1 и 2 изображены на рис. 11.2). Несложно доказать, что Г Г=1.

2) Предмет расположен вдоль главной оптической оси и лежит на ней. Возникающее при этом увеличение называется продольным. Получим формулу для продольного увеличения, создаваемого тонкой линзой:

			1					2
B	h	1	A				B1	h2	A1
			a1				b2
			a1				b2
			a2				b1
				Рис. 11.2
				1	1	1	.	(11.3)
							.	(11.3)
				F	a1 b1

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

1	1	1	.	(11.4)

F	a2 b2

Объединим (11.3) и (11.4):

1				1			1		1			a2 a1							b1 b2									b1 b2					b1		b2	.
																																				.
	a b a b												a a								b b							a a a a
1		1					2		2					1		2						1		2						2	1	1		2
Поскольку			b b					h ,		a	a				h			и		b1			Г			,	b2			Г ,		окончательно запи-
																				b1							b2

			1		2			2		2			1				1			a					1		a				1
			1		2			2		2			1				1			a					1		a
																					1								2
шем, что продольное увеличение
											Г					h2		Г				Г												(11.5)
											Г		12					Г			1	Г		2										(11.5)
													12				h1				1			2
																	h1
Если h1 a1 , a2						и h2			b1 , b2 , то
													Г		12		Г 2 .																	(11.6)
															12

Задача 11.1. Букашка ползѐт со скоростью v0 0,2 см/с в сторону тонкой

собирающей

линзы с

фокусным

расстоянием

F 6 см вдоль прямой, параллельной главной оп-

тической оси линзы и отстоящей от оси на расстоя-

ние a 3 см (рис. 11.3). Найти скорость перемеще-

ния изображения букашки, когда она находится на

расстоянии F/2 от плоскости линзы.

Решение.

Допустим, что за малый промежуток

F/2

времени t

букашка

проползла

расстояние

Рис.

11.3

x v0 t . В соответствии с формулой (11.5) изоб-

ражение букашки сместится вдоль оси линзы на расстояние x				x Г 2 , где
			1
F		6
Г a F		3 6 2.		x
Знак «минус» означает, что изображение				x
Знак «минус» означает, что изображение				x1
мнимое, т. е. находится с той же стороны от				x1
мнимое, т. е. находится с той же стороны от			F		F
линзы, что и букашка (рис. 11.4). Из построе-			F		F
линзы, что и букашка (рис. 11.4). Из построе-
ния видно, что перемещение изображения
букашки
l x1		/ cos.
В прямоугольном треугольнике F' FA ка-
теты AF и FF ' относятся, как 1:2. Отсюда				l	A
находим cos 2 /	5	. Следовательно, ско-		l
находим cos 2 /	5	. Следовательно, ско-
рость перемещения изображения букашки			Рис. 11.4
рость перемещения изображения букашки

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

l		x	x	Г 2		Г 2
	1
v1 t			t		v0		.
v1 t		cos t	t	cos	v0	cos	.

Численный ответ: v1 0,9 см/с.

Примечание. В данной задаче приближения параксиальной оптики не выполняются, поэтому использованные нами формулы также неточны. Полученный ответ нужно рассматривать только, как весьма приближѐнный, и вычисление v1 с большей точностью не правомерно (в решениях этой задачи автор

встречал ответ v1 0,894 см/с).

Иногда требуется получить увеличенное мнимое изображение мелких предметов. В этом случае применяют лупу или микроскоп.

Лупа – это положительная линза с небольшим фокусным расстоянием (10мм <F< 100мм), располагаемая между рассматриваемым предметом и глазом. Обычно лупу располагают непосредственно возле глаза (как очки), а предмет – вблизи фокуса так, чтобы его мнимое изображение находилось на

расстоянии наилучшего зрения aн . При этом оказывается, что видимое увели-

чение предмета
N	aí	.	(11.7)

	F

Микроскоп, как и лупа, увеличивает видимые угловые размеры исследуемых объектов. Но поскольку фокусное расстояние системы линз, входящих в микроскоп, ещѐ меньше, чем у лупы, то его увеличение (см. формулу (11.7)) может достигать нескольких сотен!

		§ 12. Примеры решения задач
Задача 12.1. С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F
			на экране Э, расположенном на расстоянии L 4,9F
Ц	Л	Э	от циферблата наручных часов Ц, получено умень-
Ц		Э	шенное изображение секундной стрелки часов, длина
			шенное изображение секундной стрелки часов, длина
R			которой R=1,5 см (рис. 12.1). Главная оптическая ось
			которой R=1,5 см (рис. 12.1). Главная оптическая ось
			линзы перпендикулярна экрану и плоскости цифер-
			блата часов и проходит через ось вращения секунд-
	a		ной стрелки. Чему равна линейная скорость переме-
	a
	L		щения кончика изображения стрелки на экране?
	Рис. 12.1		(МФТИ, 1997 г.)
	Рис. 12.1
			Решение. Запишем уравнение тонкой линзы:

1	1	1	a2 La LF 0
	L a
a		F

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

3,5F;

1, 4F.

Так как по условию изображение уменьшенное, то

a 3,5F , следователь-

но, b L a 1,4F ,

увеличение Г

1,4

0,4.

3,5

Длина изображения стрелки R ' RГ 1,5см 0,4 0,6 см, скорость

v R' R'

0,6

0,063 см/с.

Задача 12.2. На главной оптической оси тонкой положительной линзы диаметром D находится точечный источник света. Из линзы выходит расходящийся пучок лучей с максимальным углом отклонения лучей от главной оптической оси , Определить максимальный угол отклонения β , если вме-

сто положительной линзы на то же место поставить отрицательную линзу того же диаметра и с тем же фокусным расстоянием. Расстояние между источником и линзой равно d (МФТИ, 1982 г.).

3 F

Рис.

12.2

Рис.

12.3

Решение. Максимальный угол отклонения луча от оптической оси будет наблюдаться при прохождении луча через край линзы (на расстоянии D / 2 от еѐ оптического центра). В приближении параксиальной оптики для положительной линзы (формула (8.12)) запишем: 1 3 F , где (рис. 12.2):

		D	,		(12.1)

1		2d

а 3 по построению, следовательно,
1 F					(12.2)
Для отрицательной линзы '3 1	F			(см. рис. 12.3). Но по построению
'3 1				F .	(12.3)

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

Решая совместно уравнения (12.2) и (12.3), получаем:21 ,

или, с учѐтом (12.1):

Dd .

Некоторые учащиеся решили задачу «точно». В этом случае они получили ответ: arctg D / d tg .

Но, строго говоря, это превышение точности того приближения, в котором были получены формулы тонкой линзы.

Задача 12.3. Тонкая линза создаѐт на экране изображение предмета в 20 раз большее, чем предмет. Экран передвинули вдоль оси линзы на 4 м. Чтобы получить резкое изображение, предмет пришлось переместить на 40 см. Каким, при этом, стало увеличение? В какую сторону – к линзе или от линзы – переместили предмет? (МФТИ, 1982 г.)

Решение. Продольное увеличение Г

, где

b1 b2

4 м,

a1 a2

0,4 м Г12 10.

По условию Г1 20. Согласно формуле (11.5),

Г Г Г

Г12

0,5 .

Г1

Таким стало поперечное увеличение.

По определению Г b . Так как Г уменьшилось, расстояние от предмета a

до линзы должно быть увеличено. Следовательно, предмет переместили от линзы.

Рис. 12.4

Рис. 12.5

Задача 12.4. В комнате на столе лежит плоское зеркало, на котором находится тонкая плоско-выпуклая линза с фокусным расстоянием F 40 см. По потолку ползѐт муха со скоростью v 2 см/с. Расстояние от потолка до зеркала h 220 см (рис. 12.4).

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

1). На каком расстоянии от зеркала находится изображение мухи в данной оптической системе?

2) Чему равна скорость изображения мухи в тот момент, когда она пересекает главную оптическую ось линзы? (МФТИ, 1998 г.)

Решение. Луч света после прохождения линзы отражается от зеркала и проходит сквозь линзу ещѐ раз. Таким образом, оптическая сила системы «линза + зеркало» в два раза больше оптической силы одной линзы:

Pсист 2 / F.

Расстояние от центра зеркала (и линзы) до изображения мухи найдѐм с помощью формулы линзы:

; b 22 см.

2h F

Скорость изображения мухи найдѐм из соотношения подобия (рис. 12.5):

v t

v ' t

v ' v

; v ' 0, 2 см/с.

Задача 12.5. Тонкая

плосковогнутая

линза с фокусным расстояни-

ем F 15 см приклеена плоской стороной к стенке аквариума, заполненного

водой n 4/3 . На линзу под углом к главной оптической оси падает параллельный пучок света. Известно, что луч, прошедший сквозь линзу на расстоянии h от еѐ оптического центра, не изменяет своего направления. Найти h , если tg 0,08 (МФТИ, 1993 г.).

			h
	h
	F	F	n
F F
Рис. 12.6	Рис. 12.7

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

Рис. 1

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

Решение. Если бы за линзой не было аквариума (рис. 12.6), то
F .	(12.4)
Наличие аквариума приводит к тому, что
n ',	(12.5)

где ' – угол между лучом в воде и главной оптической осью (рис. 12.7). По условию ' . Решая (12.4) и (12.5), получим:

F n 1 .

С другой стороны, F h / F , h F(n 1) . Численная подстановка даѐт:

h = 0,4 см.

Указание: не переписывайте условия контрольных вопросов и задач! Сразу записывайте их решения.

Контрольные вопросы

1.В театре в некоторых спектаклях используют так называемый световой занавес. В зале и на сцене выключают свет и включают прожекторы рампы, расположенные на полу сцены по еѐ переднему краю, и скрытые от зрителей бортом. Прожекторы светят вверх и пыль, всегда присутствующая в воздухе, образует световой занавес. Этот занавес скрывает всѐ, что находится за ним на сцене. Почему?

2.Какая часть изображения стрелки АВ видна глазом в зеркале М (рис. 1)? а) изображение не видно вообще; б) 1/6; в) 1/3; г) 1/2.

3.Определите двугранный угол, который об-

разуют два плоских зеркала, если точечный источник S света и два его изображения (S1 и S2) лежат в вершинах прямоугольного равнобедренного треугольника.

4. Допускает ли принцип Ферма существование нескольких путей, по которым лучи света

распространяются от точечного источника S к приемнику? Рассмотрите случаи, когда лучи света распространяются через:

а) однородную и изотропную среду; б) неоднородную среду (например, воздух и воду).

5. На дне водоема находится точечный источник света. Во сколько раз максимальное время, необходимое лучу света, для того чтобы выйти из воды, больше минимального? В воде показатель преломления света n = 4/3.

6*. Экспериментатор Глюк наблюдает закат Солнца. Назовѐм геометриче-

ским закатом такое положение Солнца, при котором его верхний край находится на одной прямой с линией горизонта. Фактический (наблюдаемый Глюком) или геометрический закат происходит раньше? Показатель преломления света в воздухе n = 1,0003.

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

7. Два художника, прогуливаясь
по берегу озера, обратили внима-
ние на наклонную палку, торчащую
из воды. Дома каждый из них изоб-
разил увиденное (рис. 2 и рис. 3).
Какой из художников допустил
ошибку? Ответ обоснуйте.
8. Двое ныряют в воду без мас-	Рис. 2	Рис. 3
ки. Один из них близорукий, дру-	Рис. 2	Рис. 3
ки. Один из них близорукий, дру-

гой – дальнозоркий. Кто будет видеть под водой лучше всего, а кто хуже?

9. У млекопитающих аккомодация зрения осуществляется путем изменения кривизны хрусталика. У рыб хрусталик сферический, поэтому они аккомодацию осуществляют иначе. Как они это делают?

10*. В фокальной плоскости тонкой рассеивающей линзы находится точечный источник света S. Лучи a и b, испущенные этим источником (рис. 4) в сторону линзы, образуют угол φ (φ<<1). Какой угол β будет между этими лучами после того как они выйдут из линзы, преломившись в ней?

a					S


b

Рис. 4

Задачи

1.Во сколько раз отличаются фокусные расстояния двух линз, первая из которых изготовленных с показателем преломления n = 1,5, а вторая – из стекла другого сорта, причѐм еѐ показатель преломления и радиусы кривизны обеих поверхностей α = 1,2 раза больше, чем у первой?

2.Близорукий программист отчѐтливо видит предметы, расположенные не далее 0,4 м от него. Какие контактные линзы ему следует носить, чтобы хорошо видеть монитор, расположенные от него на расстоянии 0,6 м?

3.На главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием

F расположено плоское зеркало (перпендикулярно оси) и точечный источник света S (рис. 5). Оптическая система формирует два действительных изображения источника, расположенных на расстоянии 2F/3 друг от друга. Найдите расстояние от линзы до зеркала, если расстояние от источника до зеркала равно F.

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

4. Мошка S ползѐт со скоростью 2υ = 2 мм/с по нитке, натянутой параллельно плоскости экрана Э. Между нитью и экраном помещена собирающая линза, фокусное расстояние которой F. Линзу перемещают со скоростью υ = 1 мм/с параллельно нити так, что плоскость нити параллельна плоскости экрана (рис. 6). Нить находится от плоскости линзы на расстоянии 4F/3. Для момента времени, когда мошка находится вблизи главной оптической оси линзы:

1)вычислите скорость мошки относительно линзы.

2)С какой скоростью движется изображение мошки относительно экрана?

		4F/3		Э
	M	2v
		2v
S		S
S
	F		v
Рис. 5			Рис. 6	Рис. 7

5*. Сторона AB квадрата ABCD расположена на оси собирающей линзы, причѐм расстояние от линзы до точки A в два раза больше фокусного расстояния линзы. Линза создаѐт действительное изображение квадрата с уменьшением площади в 3/8 раза. С каким увеличением изображается сторона BC?

6.Если смотреть с большого расстояния сбоку на стеклянный капилляр, перед которым расположена линейка (рис. 7), то его внутренний радиус, равный r, кажется равным r1. Вычислите показатель преломления стекла n.

7.Известный немецкий математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784— 1846) предложил новый метод определения фокусного расстояния F собирающих линз. Достаточно выполнить два измерения: а) найти расстояние L между точечным источником и экраном Э; б) измерить расстояние l между двумя положениями линзы, при которых на экране получается чѐткое изображение источника (рис. 8). Выведите формулу Бесселя, позволяющую вычислять F – фокусное расстояние линзы через L и l.

			n	L
l	Э		R	Э
	Э	S	R	Э
		S
S		R	S	h
L			2R
Рис. 8			Рис. 9	Рис. 10
2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

2012-2013 уч. год, №5, 11 кл. Физика. Геометрическая оптика

8*. В стеклянной пластине толщиной H = 20 см сделано углубление в фор-

ме полушара радиуса R = 10 см. Показатель преломления стекла n = 1,5. Наблюдатель рассматривает через получившуюся толстую линзу точечный источник света S, расположенный на расстоянии R от плоской поверхности линзы (рис. 9). На каком расстоянии L от этой поверхности он видит изображение источника?

Указание: считайте, что в формировании изображения участвуют только параксиальные лучи.

9. Оптическая установка состоит из двух одинаковых линз с фокусным расстоянием F=10 см. В фокусе первой линзы находится точечный источник света S, а в фокусе другой – экрана Э. Между линзами установили аквариум шириной L (рис. 10), наполненный прозрачной жидкостью, показатель преломления которой изменяется с глубиной по закону:

n( h ) n0 kh,

Здесь n0 – коэффициент, равный показателю преломления воды, k – поло-

жительный коэффициент.

После установки аквариума изображение источника сместилось вдоль экрана на расстояние x.

Вверх или вниз сместилось изображение? Вычислите коэффициент k.

Изменение показателя преломления n(h) считайте малым в пределах всего светового пучка.

2013, ЗФТШ МФТИ, Слободянин Валерий Павлович

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2016990.74 Кб100P4_11_2012.pdf
#
03.06.2015503.75 Кб128P4_8_2010.pdf
#
03.06.2015696.24 Кб169P4_8_2012.pdf
#
03.06.2015743.19 Кб111P4_9_2012.pdf
#
03.06.2015658.1 Кб88P5_10_13.pdf
#
27.03.2016864.67 Кб161P5_11_2012.pdf
#
03.06.2015441.56 Кб211P5_8_2010.pdf
#
03.06.2015858.39 Кб86P5_9_13.pdf
#
03.06.2015852.02 Кб82P5_9_2012.pdf
#
03.06.2015640.72 Кб96P6_10_13.pdf
#
03.06.2015647.59 Кб118P6_11_2011.pdf