5. Определение числовых характеристик случайных величин по результатам выборочного наблюдения.

Числовые характеристики переменных подразделяют на три вида:

• характеристики положения;

• характеристики рассеяния;

• характеристики вида распределения.

К характеристикам положения относятся:

• среднее арифметическое значение -;

• медиана - M_e;

• мода - M_o;

• среднее геометрическое значение – X_G;

• среднее гармоническое значение – X_H;

к характеристикам рассеяния значений переменной относятся:

• минимальное – X_MINи максимальное - X_MAXзначение;

• размах вариационного ряда:R=X_MAX - X_MIN;

• дисперсия – S²;

• среднее квадратичное (стандартное) отклонение: S;

• 25% и 75% процентили (квартили) и межквартильный размах;

• 95% доверительный интервал истинного среднего значения;

Вид распределения характеризуют коэффициенты:

• ассиметрия – A;

• эксцесс – E.

По числовым характеристикам судят о соответствии эмпирического распределения теоретическому нормальному распределению. Распределение можно оценивать как близкое к нормальному, если:

• среднее арифметическое, геометрическое и гармоническое значения незначительно различаются друг от друга, а также с модой и медианой;

• минимальные и максимальные значения примерно равноудалены от среднего значения;

• стандартизованные коэффициенты ассиметрии и эксцесса по абсолютной величине меньше 2.

6. Построение статистического ряда распределения случайной переменной по результатам выборочного наблюдения.

Эмпирическое распределение переменной представляется в виде статистического (вариационного) ряда распределения, характеризующего связь между возможными значениями переменной и частостью их наблюдения в выборке. Для построения статистического ряда распределения в выборке необходимо иметь несколько десятков и более наблюдений, которые группируются в mинтервалов.

Выбор интервалов группировки возможен:

• по формуле Стерджесса:

,

• по эмпирическим выработанным рекомендациям:

Объем выборки, n	Число интервалов, m
25 – 40	5- 6
40 – 60	6 – 8
60 – 100	7 – 10
100 – 200	8 – 12
Более 200	10 – 15

Подготовку данных для статистического ряда распределения выполняют в следующем порядке:

• в зависимости от числа наблюдений nвыбирают число интервалов ряда m;

• определяют размах вариационного ряда R= X_max - X_min;

• рассчитывают длину интервала (шаг) h=R/m;

• определяют границы и средние точки интервалов;

• подсчитывают частоту наблюдений, частость и накопленные частоты для каждого интервала.

По данным статистического ряда распределения строят гистограмму и кумулятивную линию распределения. По виду гистограммы и кумулятивной линии делают предварительные выводы о характере и соответствии эмпирического распределения определенному теоретическому.

7. Закон нормального распределения случайной величины.

Множество биологических и медицинских показателей, ошибки их измерения следуют нормальному распределению. Он адекватно описывает случайные величины, формирующиеся под влиянием большого числа статистических независимых факторов, когда ни один из них не доминирует над остальными. Распределениям близким к нормальному следуют показатели физического развития, составляющие плазмы крови и др. показатели.

Термин «нормальный» не совсем удачный. Если какой либо показатель подчиняется другому, отличному от нормального, закону распределения, то это вовсе не говорит о «ненормальности» явления, связанного с этим показателем. Основные свойства закона нормального распределения:

• равенство числовыххарактеристик;

• симметричность отклонений от среднего;

• малые отклонения более вероятны, большие – менее вероятны;

• практические пределы отклонений от среднего значения (с вероятностью 99,7%).

Главная особенность, выделяющая нормальный закон распределения среди других законов, состоит в том, что он является предельнымзаконом, к которому приближаются другие законы распределения при .

Функция плотности нормального распределенияимеет вид:

Она зависит от двух параметров m и , которые имеют смысл математического ожидания и среднего квадратического отклонения. График функции плотности нормального распределения (кривая Гаусса) имеет вид:

0

В силу симметрии нормальной кривой относительно прямой , проходящей через центр распределения, коэффициент ассиметрии нормального распределенияA. Эксцесс нормально распределенной переменной также равен нулю:E = 0 и крутость других распределений определяется по отношению к нормальному.