2. Определение параметров модели по площадям

В настоящем разделе будет описана процедура определения параметров передаточной функции модели объекта с самовыравниванием. Для вывода основных формул использован подход, предложенный в работе [2]

Рассмотрим инверсную передаточную функцию модели

. (22)

Разложим в ряд Тейлора в точкеs=0:

, (23)

где =S₀=1.

Коэффициенты разложения названы М.П.Симою площадями [1].

При известных площадях легко определяются коэффициенты передаточной функцииa_i, b_i.

Для этого умножим обе части равенства (23) на знаменатель . В результате получим

. (24)

Раскрывая скобки в правой части (24) и приводя подобные члены получим степенной ряд

Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях sслева и справа, получим линейную систему уравнений для определения коэффициентов модели:

(25)

Для определения коэффициентов необходимоN=m+nуравнений и такое же количество площадей. Поскольку, как правило, порядок модели заранее не известен, необходимо задаваться порядком модели.

Рассмотрим частные случаи:

1. . (26)

В зтом случае и для определения параметров модели достаточно знатьN=nплощадей, система (26) приводится к виду

(27)

Простейшими моделями такого вида являются:

1.1. (28)

1.2. (29)

1.3. (30)

Необходимо иметь в виду, что все используемые площади должны быть положительными. В противном случае модель не устойчива (критерий Стодолы).

2. . (31)

Для определения 3-х коэффициентов необходимо 3 уравнения. Система (25) принимает вид:

(32)

Из последнего уравнения системы (32) находим , подставляя в первые два находим.

3. . (33)

(34)

3. Определение площадей по переходной кривой

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию , рисунок 9., определяемую формулой

(35)

Определим изображение по Лапласу . Принимая во внимание формулу (6) получим

(36)

Разложим в ряд по степенямв точке=0:

, (37)

где .

Коэффициенты разложения носят название моментов вспомогательной функциии могут быть вычислены непосредственно по графику.

Установим связь моментов с функцией. Запишем формулу прямого преобразования Лапласа для:

. (38)

Дифференцируя формулу (19) по последовательнораз получим:

(39)

Подставляя в (38) и (39) значение и сравнивая полученные выражения с формулами для моментов (37), получим:

(40)

Как видно из формул (40) моменты могут быть вычислены по известной функции. Установим связь между моментамии площадями.

Преобразуем формулу (36),

,

или

.

Отсюда следует,

. (41)

Подставляя разложения (37) и (24) в (41) получим

,

или

(42)

Умножая и приводя подобные члены, получим

. (43)

Из (43) следует,

(44)

Из последних уравнений получаем рекуррентные формулы для вычисления площадей:

(45)

Таким образом, алгоритм оценки параметров модели может быть записан следующим образом,

(46)

где ;

(47)

и

, (48)

Формулы (46) – (48) определяют последовательность расчета параметров модели.