В.К. Иванов. Волновая оптика / В.К. Иванов. Волновая оптика / opt1-6[1]
.pdf
1
1.6. Момент импульса в бегущей плоской электромагнитной волне.
Свет круговой поляризации наряду с энергией и импульсом обладает также моментом импульса. Для его определения рассмотрим движение точечного заряда в поле плоской монохроматической электромагнитной волны. Это движение происходит по замкнутой траектории (в общем случае – эллиптической).
|
|
|
|
|
|
|
Для простоты и определенности рассмотрим левую циркулярно |
|||||||
|
r |
|
x |
|
поляризованную волну. Пусть |
вектор |
E |
(Hr) вращается с |
угловой |
|||||
|
E |
|
|
|
|
|
скоростью ω, равной круговой частоте электромагнитных колебаний. Если |
|||||||
r |
|
|
|
|
|
|
в пространстве, где распространяется волна, оказывается точечный заряд |
|||||||
|
|
|
|
|
|
q , то на него будет действовать сила Лоренца |
|
|
||||||
H |
0 |
|
|
|
|
|
r |
r |
|
q |
r |
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
k |
z |
F |
= qE |
+ |
|
[v ,H ]. |
|
(1.6.1) |
||
y |
|
|
c |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 y . В |
||
|
|
|
|
|
|
Под действием этой силы заряд начинает двигаться в плоскости |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
установившемся режиме заряд вращается со скоростью v вокруг оси z (электрическая компонента qE сообщает ему центростремительное ускорение) и смещается (значительно медленнее, если v << c ) под
действием магнитного поля волны qc [vr, Hr] вдоль оси z (аналог рассмотренного ранее механизма давления). Момент силы, действующей на заряд q , равен:
|
|
Er |
|
|
|
|
|
α |
γ |
vr |
|
Hr |
|
rr |
|
vr |
|
|
|
|
q |
|
|
|
Левая поляризация |
||||
|
vr |
|
|
Er |
|
|
|
|
|
|
|
q |
r |
γ |
|
α |
r |
|
r |
|
|
|
|
Hr |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая поляризация |
||||
Mr =[rr,Fr]= q[rr,Er]+ |
q |
[rr[vr |
,Hr |
]], |
(1.6.2) |
|
|||||
|
c |
|
|
|
|
Смещение заряда из положения равновесия, характеризуемое радиус вектором r , не совпадает с направлением действующей на него силы
qE . Модуль скорости заряда можно записать как vr = ωrr , так как движение заряда под действием электрического поля циркулярно
поляризованной волны будет происходить по окружности с угловой |
|||||||||||||||
скоростью ω, равной частоте |
падающей волны. Вектор |
[vr, H ] |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
z , т.е. вдоль |
r |
|
k |
|
|
|||||
направлен по оси |
|
n |
= |
|
; тогда направление вектора |
||||||||||
k |
|||||||||||||||
[r, nr] совпадает |
с направлением |
скорости vr движения заряда |
q . |
||||||||||||
Рассмотрим второе слагаемое в выражении для момента силы |
r |
||||||||||||||
M |
|||||||||||||||
(1.6.2): |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
q |
[rr[vr,Hr]]= |
q |
vr(rr,Hr)− |
q |
Hr(rr |
|
|
q |
|
|
|
|||
|
,vr)= |
rH cosβ vr, |
(1.6.3) |
||||||||||||
|
c |
c |
c |
c |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
и H . Далее, усредняя за период, |
|||||||
где β - угол между векторами r |
|||||||||||||||
находим, что среднее значение скорости за один оборот заряда (или векторов поля) 
vr
= 0 , т.к. скорость через половину периода меняет
свое направление на противоположное. Таким образом, получаем, что вклад в среднее значение момента силы, действующей со стороны
поля на заряд, от слагаемого, содержащего вектор H , равен нулю.
Другими словами, магнитная компонента волны не дает вклада в среднее значение момента силы. Из формулы (1.6.2) имеем тогда для момента силы:
Mr = q [rr, Er] |
(1.6.4) |
Вектор [rr, Er]направлен вдоль волнового вектора k при левой поляризации волны и в противоположную |
|
сторону, если волна право - поляризованная.
2
[rr,Er] = rE sin γ = rE cos α = ωrE cos α =
ω
[rr,Er] = (vr,Er) nr.
ω
Тогда среднее значение момента сил, действующих на заряд q
волны левой круговой поляризации, равно
Mr = nr ωq (vr,Er) .
vE cos α |
= |
(vr,Er) |
; |
|
ω |
ω |
|||
|
|
(1.6.5)
со стороны плоской электромагнитной
(1.6.6)
В случае правой поляризации получаем с другим знаком:
|
|
|
|
|
|
|
Mr |
= −nr q |
(vr,Er) . |
|
|
|
|
|
(1.6.7) |
|||||
Мощность, передаваемая волной заряду: |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
0 |
, т.к. гироскопическая |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сила |
|
||||||||
|
dW |
r |
drr |
r |
r |
r |
|
q |
r |
r |
r |
r r |
q |
r |
r |
r |
r |
r |
||
|
|
= F |
|
= (F |
, v )= qE + |
|
|
|
|
[v, H ] |
v |
= q(E, v )+ |
|
[v |
, H ] v |
= q(E, v ); |
||||
|
dt |
dt |
|
c |
c |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Усредним полученную мощность за период обращения |
|
r r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dW |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= q E, v . |
|
|
|
|
|
(1.6.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||
Вспомним уравнение моментовrиз курса механики M = dL
dt , связывающее момент силы и изменение во
времени момента импульса L . Тогда используя уравнения (1.6.8) и (1.6.6), (1.6.7), для усредненного вектора момента силы можем записать
r |
|
dL |
|
± nr r r |
|
± nr dW |
|
M |
= |
dt |
= |
ω q E,v |
= |
ω dt . |
(1.6.9) |
Отсюда с очевидностью получаем выражение для переданного заряду момента импульса:
r |
rW |
|
ω |
|
||
L = ±n |
|
=W |
|
. |
(1.6.10) |
|
ω |
ω2 |
|||||
Таким образом, основываясь на универсальном законе сохранения момента импульса, можно заключить,
что в единицу времени заряд q вместе с энергией dWdt получил механический момент импульса L от электромагнитного поля действующей на него световой волны круговой поляризации. Таким образом, электромагнитная волна левой круговой поляризации с энергией W переносит момент импульса W ω,
направленный вдоль волнового вектора k . Правополяризованный свет обладает противоположно направленным моментом импульса. Можно ввести плотность момента импульса в волне, которая определяется:
|
r |
|
|
L |
|
|
|
|
|
l |
= |
|
|
, |
|
|
(1.6.11) |
или, подставляя (1.6.10) |
V |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r w |
|
|
|
ω |
|
|
|
l |
= ±n |
|
|
= w |
|
, |
(1.6.12) |
|
ω |
|
ω2 |
||||||
где w , как и ранее, плотность энергии электромагнитной волны.
Понятно, что для линейно поляризованной электромагнитной волны, которую можно представить как суперпозициюr двух поляризованныхr по кругу волн с противоположным по направлению вращением
вектора E , момент импульса L равен нулю.
В области макроскопических явлений экспериментальное измерение момента импульса света представляет очень трудную задачу из-за ничтожной величины связанных с ним эффектов. Тем не менее, в исключительно тонких экспериментах, выполненных в 1936 г. Бетом (R.A. Beth), удалось обнаружить момент импульса электромагнитной волны. Им измерялся момент импульса, передаваемый светом полуволновой кристаллической пластинке, при прохождении через которую правополяризованный свет
3
становится левополяризованным, или наоборот. При этом пластинке передается удвоенный момент импульса.
В области атомных явлений обмен моментом импульса между светом и веществом имеет существенное значение. Например, при испускании света круговой поляризации возбужденным атомом момент импульса электронов в атоме изменяется на величину, сравнимую с моментом импульса всего атома.