Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

opt1-7[1]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

180.15 Кб

Скачать

☆

1.7. Модуляция.

1.7.1. Модуляция.

Гармонические колебания, описывающие волну, характеризуются амплитудой, частотой и фазой:
Er = Er	0 Cos(ωt − krr + ϕ0 )	или Er	= Er	r
				0 e−i(ωt−krr)	(1.7.1)

Изменение этих параметров в процессе колебания называется модуляцией, а волны, получающиеся в процессе модуляции, называются модулированными. Рассмотренные ранее биения (§1.4) – пример амплитудной модуляции.

Гармоническое колебание не может нести информацию. Для того чтобы передать определенную информацию, необходимо волну промодулировать, т.е. изменить какой-либо параметр волны в соответствии с изменением смыслового сигнала.

Итак, различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции.

1.7.2. Модуляция амплитуды.
Итак, рассматриваем следующую волну:
E(t)= (E0 + E1 (t))Cos(ωt − krr)	(1.7.2)


где E1 (t) дает модуляцию и представляет собой огибающую колебаний вектора Е (		E1 (t)	< E0 ). Можно
		E1 (t)	< E0 ). Можно
провести спектральный анализ модуляции. Любая периодическая функция E1 (t)	может быть представлена
в виде ряда Фурье	по частотам кратным

спектральной частоте Ω,

где Ω =

2π

, а Т –

период функции. В математике доказывается

теорема:

∞

E1 (t)= ∑an e−inΩt

(1.7.3)

где аn

n=−∞

- амплитуда монохроматических

колебаний. Или разложение альтернативно

∞

можно представить в виде:

E1 (t)= ∑(an Cos nΩt + bn Sin nΩt)

(1.7.4)

Дискретный спектр

n =0

Выражения (1.7.3) и (1.7.4) представляют собой

разложение (суперпозицию) периодической функции по

бесконечному набору монохроматических

колебаний

(плоских монохроматических волн). Иначе говорят о

разложении периодического колебания в спектр, в данном

Ω 2Ω

3Ω

6Ω

случае в дискретный спектр. На рисунке показан пример

дискретного спектра разложения, где высота

столбика

показывает величину амплитуды колебания данной частоты.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Примечание 1. В выражении (1.7.3) присутствуют отрицательные частоты, что это такое? Проделаем следующую выкладку, стартуя с (1.7.4):

∞

E(t)

+ ∑(an Cos nΩt + bn Sin nΩt)=

+ ∑

(einΩt + e−inΩt )−

(einΩt − e

−inΩt )

n=1

∞

+ ∑

(an −ibn )einΩt +

(an + ibn )e −inΩt =C0 + ∑(Cn+einΩt + Cn−e −inΩt )= ∑Cn einΩt

n=1

n=−∞

т.е. отрицательные частоты в (1.7.3) - это обычные частоты, но сдвинутые по фазе на π/2 по отношению к другим частотам (т.е. синусы и косинусы). Если раскладываемая функция E(t) вещественна, то из условия

E * (t)= E(t), получаем, что C−* n =Cn .

----------------------------------------------------------------------------------------------

Рассмотрим конкретный пример периодической функции E1 (t)= E01CosΩt , т.е. рассматриваем

огибающую в виде гармонической функции. Тогда полное колебание (внимание: рассматриваем волну в

одной выбранной точке -

rr = 0 , например) имеет вид:

E(t)= (E0 + E01CosΩt)Cosωt

(1.7.5)

Разложим эту функцию по гармоническим колебаниям:

E(t)= E0Cosωt +

E01

Cos(ω− Ω)t +

E01

Cos(ω+ Ω)t

Таким образом, получаем спектр, состоящий из колебаний 3х

частот.

E1 (t) - непериодическая функция

Если огибающая

ω-Ω

ω+Ω ω

времени, то ее можно разложить в интеграл Фурье:

∞

E1 (t)= ∫E(ω)eiωt dω

(1.7.6)

Непрерывный спектр

−∞

Здесь можно записать обратное разложение (или

формулу для определения амплитуд E(ω)):

∞

E(ω)

E(ω)=

∫E(t)e −iωt dt

(1.7.7)

2π

−∞

В этом случае, говорят, получаем непрерывный или

сплошной спектр колебаний (см рисунок).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Примечание 2. Если

E1 (t) вещественная функция, то можно избавиться от отрицательных частот (т.е. от

синусов). В самом деле, представим

∞

E(t)= ∫E

(ω)eiωt dω+ ∫E

(ω)eiωt dω=

−∞

Заменяя во втором интеграле “ω” на “-ω”, имеем:

∞	0	∞	(E(ω)eiωt + E(− ω)e−iωt )dω
= ∫E(ω)eiωt dω− ∫E(− ω)e−iωt dω= ∫			(E(ω)eiωt + E(− ω)e−iωt )dω
0	∞	0
Пользуясь вещественностью E(t)= E * (t), легко получить равенство: E * (− ω)= E(ω). Тогда
∞			∞
E(t)= ∫	[E(ω)eiωt + (E(ω)eiωt )*]dω= 2 Re ∫E(ω)eiωt dω			(1.7.8)
0			0

Реальную часть интеграла очень часто можно опустить, подразумевая ее в конце решения.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.7.3. Модуляция частоты и фазы.

Модуляция частоты и фазы – это зависимость их от времени ω= ω(t) или ϕ0 = ϕ0 (t). Однако, когда эти величины зависят от времени, то их зависимость можно объединить в общую зависимую от времени фазу Φ(t). Частотная и фазовая модуляции полностью эквивалентны, когда они изменяются по

гармоническому закону. В самом деле, пусть ∆ω - амплитуда колебаний частоты, а Ω - частота этих колебаний. Тогда имеем частотную модуляцию:

	ω= ω0 + ∆ωCosΩt	(1.7.9)
Колебания за время t (т.е. волна рассмотренная в точке r = 0 , например) наберут следующую фазу:
t	∆ωSinΩt = ω0 t + ∆ΦSinΩt = ω0 t + ϕ0 (t)
Φ(t)= ∫ω(t)dt = ω0 t +	∆ωSinΩt = ω0 t + ∆ΦSinΩt = ω0 t + ϕ0 (t)	(1.7.10)
0	Ω
0

Получаем, таким образом, что сама фаза промодулирована по гармоническому закону.

То же можно сказать о спектральном составе промодулированных колебаний. Рассматривая тот же пример (1.7.10), запишем уравнение колебаний при условии ∆ωΩ<<1 (разложим в ряд по малому

параметру ∆ΩωSinΩt << ω0 t и ограничимся первыми членами разложения):

E(t)= E0 Sin ω0 t + ∆ΩωSinΩt ≈ E0 Sinω0 t + E0 ∆ΩωSinΩt Cosω0 t + ... ≈

	∆ω	Sin(ω0	+ Ω)t −	∆ω	Sin(ω0
≈ E0 Sinω0 t +	2Ω			2Ω		− Ω)t

В принципе получаем спектр бесконечный. В первом приближении присутствуют частоты ω0 , ω0 ± Ω.

Эта ситуация похожа на амплитудную модуляцию, но эта “похожесть” только при малых глубинах модуляции.

При негармонической модуляции структура сигналов, промодулированных по частоте и фазе, различна.

Соседние файлы в папке В.К. Иванов. Волновая оптика

#
26.03.2016247.22 Кб73opt1-2[1].pdf
#
26.03.2016204.42 Кб72opt1-3[1].pdf
#
26.03.2016249.13 Кб75opt1-4[1].pdf
#
26.03.2016199 Кб76opt1-5[1].pdf
#
26.03.2016190.58 Кб78opt1-6[1].pdf
#
26.03.2016180.15 Кб74opt1-7[1].pdf
#
26.03.2016188.45 Кб72opt1-8[1].pdf