2.1 Истинное значение измеряемой величины

Приведенные выше данные показывают, что, строго говоря, измерения истинного значения любой величины невозможно в принципе. Поэтому более корректный способ представления результата любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины, а также интервал, в котором, как он уверен, она лежит. Таким образом, задача экспериментатора состоит в том, чтобы уменьшить влияние погрешностей за счет правильной техники измерений, сделать правильную наилучшую оценку результата измерения и величины погрешности этого результата.

Рассмотрим случай, когда систематические ошибки отсутствуют, а имеют место лишь случайные погрешности. Предположим, что нами произведено n измерений некоторой величины х, при этом получены n значений этой величины х₁ х₂ х_i….х_n. Округлим эти величины с учетом приборной ошибки и расположим в порядке возрастания. Определим в полученном множестве значений количество повторов (выпадений) отдельных результатов – ∆n_i и вычислим вероятности их выпадения по формуле:

(2)

Полученные результаты также внесем в таблицу и построим на их основе график (рис.1) зависимости вероятности повторов отдельных результатов измерения от их величины – х_i, т.е. функцию .

P_max

х_i

х_в .

Рис. 1.

Из полученного рис.1 видно, что наиболее вероятным является некоторый результат х_i= х_в, которому соответствует максимальное значение вероятности выпадения P_max.

Если этот результат (х_в) принять за истинный (Хв = Хи), то абсолютную ошибку каждого измерения ∆х_i, можно найти из выражения: ∆х_i= х_i,– х_в и более того истинный результат измерения, очевидно, должен удовлетворять условию:

∆х_i= х_i,– х_в=0 (3)

В этом можно убедиться, рассчитав абсолютные ошибки всех измерений, числа повторов каждой ошибки ∆n₀ и вероятности выпадения ошибок

Кроме того, как следует из работ немецкого математика Г. Гаусса, все обсуждаемые выше закономерности наблюдаются на рис 2.

-∆x 0 +∆x_i

Рис. 2.

Для повышения точности и снижения трудоемкости Гаусс предложил для нахождения истинного значения измеряемой величины использовать квадратичную функциональную зависимость вероятности ошибок в виде (4) изображенную на рис.3.

(4)

y

0 (∆х_j)²

Рис. 3.

Известно, что для нахождения экстремума функции необходимо приравнять нулю ее производную. Используем для этого новую функцию (4):

Возьмем производную от этой функции и приравняем её нулю.

(5)

После несложных преобразований получаем:

(6)

Таким образом, наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое , получаемое от нескольких идентичных измерений. И этот же результат соответствует истинному значению многих измерений, представленных на Рис. 1.

2.2 Обработка результатов прямого измерения

Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений:

1. Из-за наличия погрешностей никогда не следует ограничиваться одиночным измерением, а всегда следует проводить несколько опытов желательно нечетное число (три, пять).

2. Определить наилучшее значение измеряемой величины х, как среднее арифметическое из всех результатов измерений: х₁, х₂ ... х_i ... х_n по формуле:

(7)

3. Вычислить случайную абсолютную ошибку каждого измерения по уравнению (3):

а затем среднюю абсолютную погрешность:

(8)

4. Определить приборную погрешность, используя паспортные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелочного прибора или наименьший разряд цифрового прибора.

5. Сравнить приборную и среднюю абсолютную погрешность, выбрать большую из них, приняв за полную погрешность результаты измерения.

Окончательный результат можно представить в виде: Этоозначает, что истинное значение лежит в интервале.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность проведенных измерений. Например, абсолютная ошибка в 1 мм при измерении отрезков длиной 5 м и 5 мм в относительных единицах будет существенно разной. Поэтому кроме абсолютной ошибки используют и относительную погрешность

, (9)

В этом виде ε это безразмерная величина. Часто её выражают в процентах. Тогда вместо (9) запишем

(10)

В приведенном примере относительные ошибки составят 0,1% и 20%. Это, безусловно, большое различие, хотя абсолютная ошибка одинакова. Относительная ошибка дает больше информации о точности и позволяет сравнивать погрешности измерений разных величин.