Стоячие волны.

Особый интерес представляет собой результат интерференции двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате сложения (интерференции) падающей и отраженной волн возникнет так называемая стоячая волна.

Пусть падающая волна описывается уравнением (22), а отраженная – уравнением (23). По принципу суперпозиции суммарное смещение равно сумме смещений, создаваемых обеими волнами. Сложение выражений (22) и (23) дает

(24)

Это уравнение, называемое уравнением стоячей волны, удобно в дальнейшем анализировать в виде:

, (25)

где множитель

(26)

является амплитудой стоячей волны. Как видно из выражения (26), амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки, но не зависит от времени. У бегущей плоской волны амплитуда не зависит ни от координаты, ни от времени (при отсутствии затухания).

Множитель cosωt показывает, что в точках среды возникает колебание с той же частотой, что и колебания встречных волн. Так как функция может принимать значения от 0 до 1, то амплитуда стоячей волны в зависимости от координаты точки может принимать значения от А_s = 0 до А_s = 2А.

Точки стоячей волны, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами, а точки, в которых она максимальна, называют пучностями. Координаты пучностей стоячей волны можно определить из равенства =1 или . Тогда для координат пучностей имеем

, (27)

где m = 0, 1, 2,... Координаты узлов определяются из равенства =0, откуда следует, что или они удовлетворяют условию:

(28)

Из (27) и (28) следует, что расстояние между соседними узлами, как и расстояние между соседними пучностями равно , а расстояние между соседними узлом и пучностью равно .

Из уравнения (25) следует, что все точки среды, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе, причем значение фазы определяется только временем. В частности, они достигают максимального отклонения в один и тот же момент времени. Для бегущей волны как следует из (16), фаза определяется как временем, так и пространственной координатой. В этом еще одно отличие между стоячими и бегущими волнами. При переходе через узел фаза стоячей волны скачкообразно изменяется на 180^о.

Смещение от положения равновесия для различных моментов времени в стоячей волне приведено на рис. 4. За начальный момент времени принят момент, когда частицы среды максимально отклонены от исходного положения равновесия (кривая 1).

Рис. 4

Кривая 2 соответствует моменту. В моментотклонения всех частиц равны нулю (кривая 3). Далее припроисходит отклонение в противоположном направлении. Так, для частиц, находящихся между узлами А₁ и А₃, смещение становится отрицательным, а для частиц, расположенных между узлами А₃ и А₅ –положительным. Кривая 4 соответствует моменту, а кривая 5 –моменту.

В данный момент времени достигается максимальное отклонение в противоположном направлении. Далее отклонения в моменты времени ,,и, представленные кривыми 6, 7, 8 и 9, совпадают с отклонениями в соответствующие моменты первого полупериода (т. е. кривая 6 совпадает с кривой 4 и т.д.). Как видно, с моментасмещение частиц снова изменяет знак.

При отражении волн на границе двух сред возникает либо узел, либо пучность (в зависимости от так называемых акустических сопротивлений сред). Акустическим сопротивлением среды называют величину, где. – плотность среды,- скорость упругих волн в среде. Если среда, от которой отражается волна, обладает более высоким акустическим сопротивлением, чем та, в которой эта волна возбуждается, то на границе раздела образуется узел (рис. 5). В этом случае фаза волны при отражении меняется на противоположную (на 180°). При отражении волны от среды с меньшим акустическим сопротивлением изменение фазы колебаний не происходит.

Рис.5.

В отличие от бегущей волны, которая переносит энергию, в стоячей волне никакого переноса энергии нет. Бегущая волна может двигаться вправо или влево, а у стоячей волны нет направления распространения. Под термином "стоячая волна" нужно понимать особое колебательное состояние среды, образованное интерферирующими волнами.

В момент, когда частицы среды проходят положение равновесия, полная энергия частиц, захваченных колебанием, равна кинетической. Она сосредоточена в окрестностях пучностей. Напротив, в момент, когда отклонение частиц от положения равновесия максимально, их полная энергия является уже потенциальной. Она сосредоточена вблизи узлов. Таким образом, два раза за период происходит переход энергии от пучностей к соседним узлам и наоборот. В результате средний по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.

Аналогичный вывод можно сделать, приняв во внимание, что бегущие в противоположных направлениях волны переносят энергию в противоположных направлениях.

Стоячие волны различной природы (упругие, электромагнитные) проявляются во многих физических явлениях (например, колебания струн музыкальных инструментов, камертонов, колебания электрического тока в вибраторах антенн, голография).

Пусть плоская звуковая волна распространяется вдоль оси цилиндра, при этом один из краев цилиндра открыт, а другой закрыт поршнем. В столбе воздуха, ограниченном его стенками и поршнем в результате сложения падающей и отраженной от поршня волн образуется стоячая волна. Вследствие разности акустических сопротивлений поршня и воздуха на границе с поршнем всегда будет находиться узел стоячей волны. На открытом же конце цилиндра будет находиться пучность.

В этом случае в цилиндре буду устойчивыми лишь такие колебания, для которых на длине столба L укладывается нечетное число четвертей длин волн , т.е. выполняется условие:

(29)

где n - любое целое число, большее нуля.

Из этого условия можно выразить длину волны

, (30)

или частоту колебаний

υ. (31)

Возникающие колебания частотами, удовлетворяющими условию (31), называются собственными колебаниями системы. Колебания с наименьшей частотой υ₀ называют основным тоном, а остальные, с частотами 3, 5, 7, … - обертонами.

Если частота фиксирована, то устойчивых колебаний можно добиться, изменяя L путем перемещения поршня и добиваясь, таким образом, выполнения условия (29). Расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых возникают устойчивые колебания, равно . На эту величину отличаются и соответствующие длины столбов воздуха в трубе.