БИЛЕТ №12

1. Предел функции.

1-е Определение. Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b), кроме, может быть, точки x0 ∈ (a, b). Число A называется пределом функции f при x → x₀, если для любой последовательности {x_n}, x_n ∈ (a, b), x_n 6= x₀, n = 1, 2, . . ., сходящейся к точке x₀:

= x₀,

последовательность {f (x_n)} сходится к числу A:

= A,

Если такое число A существует, то говорят также, что оно является пределом функции f (x) в точке x₀, и пишут

A =

или

f (x) → A при x → x₀.

Замечание.

Первое. Функция не может иметь двух разных пределов в одной точке.

Второе. Существование предела функции и его значение в точке x0 не зависит от выбранного интервала (a, b)

Предел слева и справа

Пусть функция f определена на полуинтервале (a, x₀], кроме, быть может, точки x₀. Число B называется пределом слева функции f в точке x₀, если какова бы ни была такая последовательность {x_n}, что

= x₀, a < x_n < x₀, n = 1, 2, . . .

( в частности, это означает, что последовательность {x_n} сходится слева к точке x₀), последовательность {f (x_n)} сходится к числу B:

= B.

Если такое число B существует, то пишут

B =

или

B = f (x0 − 0).

Аналогично определяется предел справа f (x0 + 0) = lim_x→x0+0 f (x).

2-e ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Число A называется пределом функции f (x) в точке x₀, то есть

A =,

если для любого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию

|x − x₀| < δ, x x₀,

выполняется неравенство |f (x) − A| < ε.

Второе определение предела функции слева и справа

Пусть функция f (x) определена на полуинтервале (a, x0] (соотвественно на полуинтервале [x0, b)) кроме, быть может, точки x0.

Определение. Число B называется пределом слева (справа) функции f (x) в точке x₀, если для любого ε > 0 существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию

x₀ − δ < x < x₀

(соответственно x₀ < x < x₀ + δ) выполняется неравенство

|f (x) − B| < ε.

Связь между односторонними пределами и двухсторонним пределом устанавливает следующая:

Теорема. Функция f имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как слева, так и справа и они равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции f в этой точке.

ВТОРАЯ ГРУППА СВОЙСТВ.

Теорема Вейерштрасса

В теории сходимости последовательностей одно из центральных мест занимает вопрос о существовании предела у данной последовательности

Обычная формулировка теоремы Вейерштрасса

Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Ещё одна формулировка теоремы Вейерштрасса

Неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), имеет предел.

Итак, понятие монотонности, ограниченности и сходимости последовательности тесно связаны между собой.

Теорема Вейерштрасса для пределов функций

Обычная формулировка теоремы Вейерштрасса для предела функций

Если функция монотонна и ограничена, то она имеет предел в любой точке. Более того она имеет предел слева и справа в любой точке.

Ещё одна формулировка теоремы Вейерштрасса для предела функции

Неубывающая (невозрастающая) функция, ограниченная сверху (снизу), имеет предел. Более того она имеет предел слева и справа в любой точке.

Итак, понятие монотонности, ограниченности и существования предела функции тесно связаны между собой.

Критерий Коши сходимости последовательностей

Начнем с определения.

Определение. Последовательность {a_n} называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого ε > 0 найдется такой номер N ∈ N, что из n > N и m > N следует, что |a_m − a_n| < ε.

Теорема (Критерий Коши)

Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Критерий Коши существования предела функции

Начнем с определения.

Определение.

Функция f называется функцией, удовлетворяющей условию Коши при x → x₀, если для любого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε) > 0, что, каковы бы ни были x ∈ O(x₀, δ), x x₀ и x’ ∈ O(x₀, δ), x’ x₀, для значений функции f в этих точках выполняется неравенство |f (x) − f (x’)| < ε.

Теорема (Критерий Коши)

Для того чтобы функция f имела предел при x → x₀ необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяла условию Коши при x → x₀.