Билет №1

1)Комплексные числа в алгебраической форме.

Действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.

Вспомним о едином принципе расширения числовых систем и поступим в соответствии с этим принципом.

Если множество A расширяется до множества B, то должны быть выполнены следующие перечисленные далее четыре условия:

1. Множество А есть подмножество В.

2. Отношения элементов множества A (в частности, операции над ними) определяются также и для элементов множества B; смысл этих отношений для элементов множества A, рассматриваемых уже как элементы множества B, должен совпадать с тем, какой они имели в A до расширения.

3. В множестве B должна выполняться операция, которая в A была невыполнима или не всегда выполнима.

4. Расширение B должно быть минимальным из всех расширений данного множества A, обладающих первыми тремя свойствами, причем это расширение B должно определяться множеством A однозначно (с точностью до изоморфизма).

Итак, расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы:

а) комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел, в частности, коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам; б) в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения.

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действий чисел (x;y), первое из которых x называется его действительной частью, а второе y-мнимой частью. Обозначение: z=x+iy. Символ i называется мнимой единицей.

Комплексным числом называется выражение вида x + iy, где x , y — действительные числа ( x , y ∈ R);

i — число, квадрат которого равен минус единице ( i2 = −1);

число обозначается z = x + iy.

Числа x и y при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются x = Re z , y = Im z; i — мнимая единица.

Выражение z = x + iy называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа — обычные знаки операций сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и в действительной области.

Множество комплексных чисел обозначается C, а z ∈ C — элемент данного множества.

Из определения следует, что действительные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, т. е. R ⊂ C, а именно при y = 0 получаем z = x — действительное число. Число z = iy называется чисто мнимым.

Комплексные числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называются равными, если у них соответственно равны действительные и мнимые части.

Определение сопряженных комплексных чисел

Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные части, и мнимые противоположны по знаку. Число, сопряженное числу z=x+iy, обозначается z = x − iy

Re z = Re z , Im z = − Im z .

Из определения, в частности, следует, что число, сопряженное действительному числу, совпадает с ним: x = x, x ∈ R .