1.2 Для балки на шарнирных опорах требуется:

1 Определить опорные реакции;

2 Построить эпюры Q_y, M_x;

3 Подобрать по M_max размеры двутаврового сечения;

4 Произвести полную проверку прочности (по нормальным, касательным и эквивалентным напряжениям) для двутаврового сечения.

Исходные данные: [σ] = 160 МПа, [τ] = 80 МПа.

Дано: Балка на шарнирных опорах; L = 1 м; M = 30 кН*м; q= 40 кН/м; F = 50 кН (см. приложение Б).

1 Определение опорных реакций

Так как в данной задаче балка закреплена при помощи двух опор – шарнирно-неподвижной и шарнирно-подвижной, то для начала необходимо будет определить величины и направления реакций, возникающих в этих опорах: H_B, R_B и R_C.

Для этого надо составить уравнения равновесия, определив из них значения опорных реакций. При этом из расчетной схемы балки видно, что реакция H_B = 0, так как на балку не действует ни одна продольная сила.

ΣM_B = 0: - q*2L*5L – M - F*5L + R_C*4L = 0

Отсюда R_C = (q*2L*5L + M + F*5L) /(4L) = (40*2*5 + 30 + 50*5*1) /(4*1) = + 170 кН

ΣM_C = 0: q*L*2L + M + F*L + R_B*4L = 0

Отсюда R_B = - (q*L*2L + M + F*L) /(4*L) = - (40*1*2 + 30 + 50*1) /(4*1) = - 40 кН

Положительные значения свидетельствуют о том, что первоначальное направление реакций выбрано верно. Отрицательные означают, что необходимо поменять первоначально выбранное направление данной реакции на противоположное.

Итак, проверим, правильно ли найдены непосредственно значения реакций R_B и R_C:

ΣF_Y = 0: - q*2L – F - R_B + R_C = 0

- 40*2 – 50 - 40 + 170 = 0

- 170 + 170 = 0

0 = 0

Отсюда вино, что, раз проверка сходится, то значения и направления реакций R_B и R_C найдены верно.

2 Построение эпюр Qy, Mx

Теперь можно переходить к рассмотрению каждой из составных частей балки. Необходимо будет сделать разрезы в каждой из них. Затем, отбросив одну из частей, заменить ее действие соответствующим изгибающим моментом M_x и поперечной силой Q_y – разумеется, следуя общепринятому правилу знаков.

Итак, рассмотрим каждый из участков – всего их будет 3 (см. приложение Б), и составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на каждом из них:

I участок: 0 ≤ z₁ ≤ 4L

Q_y(z₁) = - R_B = - 40 кН = const

M_x(z₁) = + M – R_B*z₁ (линейное уравнение)

Тогда M_x(z₁ = 0) = + 30 - 40*0 = 30 кНм

M_x(z₁ = 4L = 4) = + 30 - 40*4 = - 130 кНм

II участок: 0 ≤ z₂ ≤ L

Q_y(z₂) = R_C - R_B - q*z₂ (линейное уравнение)

Тогда Q_y (z₂ = 0) = 170 – 40 – 40*0 = 130 кН

Q_y (z₂ = L = 1) = 170 – 40 – 40*1 = 90 кН

M_x(z₂) = R_C*z₂ - - R_B*(z₂ + 4) + M (квадратное уравнение)

Тогда M_x(z₂ = 0) = 170*0 - - 40*(0 + 4) + 30 = - 130 кНм

M_x(z₂ = L = 1) = 170*1 - - 40*(1 + 4) + 30 = - 20 кНм

III участок: 0 ≤ z₃ ≤ L

Q_y(z₃) = R_C - R_B - F – q*(z₃ + 1) (линейное уравнение)

Тогда Q_y (z₃ = 0) = 170 - 40 - 50 – 40*(0 + 1) = 40 кН

Q_y (z₃ = L = 1) = 170 - 40 - 50 – 40*(1 + 1) = 0

M_x(z₃) = R_C*(z₃ + 1) - F*z₃ – q*–R_B*(z₃ + 5) +M (квадратное уравнение)

Тогда M_x(z₃ = 0) = 170*(0 + 1) - 50*0 – 40*– 40*(0 + 5) +30 = - 20 кНм

M_x(z₃ = L = 1) = 170*(1 + 1) - 50*1 – 40*– 40*(1 + 5) +30 = 0

По полученным значениям строятся соответственно эпюры Q_y и M_x (см. приложение Б).