4. Постоянный электрический ток

4.1 Основные законы и формулы

1. Сила и плотность электрического тока

; .

2. Плотность тока в проводнике

,

где <u> - средняя скорость упорядоченного движения зарядов; n – концентрация зарядов.

3. Сопротивление проводника

,

где ρ – удельное сопротивление;

- удельная проводимость проводника.

4. Обобщенный закон Ома в дифференциальной и интегральной формах

, ,

где - напряженность поля сторонних сил; ()- разность потенциалов на концах участка цепи;ε₁₂ - ЭДС источников тока, входящих в участок.

5. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной формах

; ,

где ω – удельная тепловая мощность тока.

6. Правила Кирхгофа

; .

4.2 Качественные задачи

1. Сравнить сопротивления участков между точками А и С, и между В и С.
2. Однородное проволочное кольцо включено в цепь через неподвижный контакт А и подвижный В. Как будет изменяться сопротивление между контактами, если контакт В перемещать в положение С?
3. Участок цепи представляет собой тело вращения из однородного материала с удельным сопротивлением ρ. Площадь поперечного сечения зависит от х по закону S(x). Написать выражение для сопротивления R этого участка
4. Как изменится ток короткого замыкания, если параллельное соединение двух одинаковых источников тока заменить на последовательное соединение?
5. Лампа, включенная по схемам а) и б), горит в нормальном режиме. Сравнить КПД схем. В обоих случаях движок располагается посередине реостата.
6. Можно ли, перемещая движок потенциометра, добиться компенсации ЭДС ε1 напряжением на потенциометре, если а) ε1 > ε2, б) ε1 < ε2?

4.3 Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

1. Расчет сопротивлений, падений напряжения, токов утечки в сплошной проводящей среде.

Метод решения. Непосредственное интегрирование выражения . Использование закона Ома в дифференциальной и интегральной форме.

2. Расчет электрических цепей (нахождение токов, падений напряжений и т.д.).

Метод решения. Использование обобщенного закона Ома, правил Кирхгофа. При их использовании рекомендуется придерживаться следующего правила знаков: ток берется со знаком плюс, если его направление (заданное или предлагаемое) совпадает с выбранным направлением обхода контура или участка цепи; ЭДС источника берется со знаком плюс, если направление сторонних сил совпадает с выбранным направлением обхода.

3. Расчет работы, тепловой мощности, КПД источника тока.

Метод решения. Использование закона сохранения энергии, закона Джоуля-Ленца.

4. Переходные процессы в цепи с конденсатором (зарядка и разрядка конденсатора).

Метод решения. В процессах разрядки и зарядки конденсатора ток можно считать квазистационарным, т.к. его изменение происходит не слишком быстро. Квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только их применять к мгновенным значениям величин.

б) Примеры решения задач

1. Цилиндрический воздушный конденсатор с внутренним (R₁) и внешним (R₂) радиусами заряжен до разности потенциалов . Пространство между обкладками заполняют слабопроводящей средой с удельным сопротивлениемρ. Определить силу тока утечки, если высота конденсатора равна h.

Решение.

В случае слабопроводящей среды изменением разности потенциалов можно пренебречь, считая= соnst. Так как участок однородный, то

,

где R– полное сопротивление участка.

Величину Rопределим путем интегрирования. Элементарное сопротивление тонкостенного цилиндрического слоя толщинойdrи радиусомrсоставляет

,

откуда

.

Следовательно,

.

2. Определить сопротивление изоляции на один погонный метр длины провода диаметром d= 2 мм, если диаметр наружной проводящей оболочки равенD= 4 мм, а удельное сопротивление фарфоровой изоляции равноρ=10¹³Ом·м.

Решение.

По закону Ома в дифференциальной форме

.

Напряженность электрического поля Евыразим через потенциал

,

где U₀– напряжение между проводом и наружной оболочкой изоляции.

С учетом получененного выражения

,

а полный ток, отнесенный к длине провода l, будет

.

Таким образом, в соответствии с законом Ома сопротивление изоляции на единицу длины будет

Ом.

3. Определить силу тока, текущего через элемент ε₂, еслиε₁= 1 В,ε₂= 2 В,ε₃= 3 В,r₂= 1 Ом,r₂= 0,5 Ом,r₃= 1/3 Ом,R₄= 1 Ом,R₅= 1/3 Ом.

Решение.

Д

ля расчета цепи воспользуемся правилами Кирхгофа. Сначала выберем произвольно направление токов в ветвях так, как показано на рисунке. В соответствии с первым правилом Кирхгофа для узлаАполучим

I₁+I₂+I₃= 0.

Для узла Спервое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Выберем теперь за положительное направление обхода замкнутых контуров направление по часовой стрелке. По второму правилу Кирхгофа для контуровАВСАиACDAбудем иметь

-ε₁ +ε₂ = -I₁ (R₄ +r₁) + I₂r₂;

-ε₂ +ε₃ = I₃ (r₃ +R₅) – I₂r₂.

Решая полученную систему уравнений, находим

А,А,А.

Знак “-” в значениях сил токов I₁иI₂показывает, что выбранное направление ошибочно. В действительности токиI₁иI₂текут в обратном направлении.

4

. К источнику с электродвижущей силойεподключены последовательно конденсатор емкостьюСи резисторR. Найти закон изменения со временем заряда на обкладках конденсатора. Определить работу, совершаемую источником при заряде конденсатора, и количество теплоты, выделяющейся при этом в цепи.

Решение.

На основании обобщенного закона Ома получим

.

После разделения переменных уравнение примет вид

.

Интегрируя данное выражение в пределах от 0 до tи от 0 доq, после потенцирования получим закон изменения со временем заряда на обкладках конденсатора

.

Работа, совершаемая источником за все время зарядки конденсатора,

,

где q_к = Сε– конечный заряд конденсатора.

Количество теплоты, выделившейся за все время зарядки на сопротивление R, может быть найдено из закона сохранения энергии

где - энергия заряженного конденсатора.

С учетом найденного значения А_истполучим

.

Это выражение может быть получено и независимым путем из закона Джоуля-Ленца:

;

.