1.3. Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

1. Определение напряженности и потенциала заданного распределения точечных зарядов.

Метод решения. Прямое суммирование выражений для потенциала и напряженности электростатического поля каждого заряда из заданного распределения точечных зарядов:

;

2.Определение потенциала и напряженности электростатическо­го поля заданного непрерывного распределения линейных, поверхност­ных или объемных зарядов.

Метод решения. Интегрирование выражений для потенциала и на­пряженности поля заданного непрерывного распределения заряда:

; ,

где ,или.

3. Определение напряженности электростатического поля и потенциала заданного непрерывного распределения зарядов, обладающих плоской, осевой или центральной симметрией.

Метод решения. Применение теоремы Гаусса и формулы, связывающей напряженность поля и потенциал:

; .

б) Примеры решения задач

I. В вершинах квадрата со стороной находятся точечные зарядыОпределить напряженность электро­статического поля и потенциал в центре квадрата. Рассмотреть слу­чаи, когда:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

Напряженность поля и потенциал системы точечных зарядов опре­деляются соотношениями

;

Учитывая, что :

, ,

, ,

получаем ,

,

, ;

а) если , то

, ;

б) если , то

, ,;

в) если ; , то

, , .

2. Положительный заряд равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом с линейной плотностью. Найти напряжен­ность электрического поля на оси кольца как функцию рассто­яния x от его центра. Исследовать случаи:

а

), б) .

Решение.

Выделим на кольце около точки А элемент . Выражение для от этого элемента в точке С:

.

В силу симметрии вектор направлен по оси x, следовательно,

.

Учитывая, что и,

получаем .

а) Если , тоб) если>>a, то ,

т.е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд.

3. Тонкая прямая нить длиной 2заряжена равномерно с линейной плотностью. Найти напряженностьполя в точке, отстоящей на расстоянииx от центра нити и расположенной симметрично относительно ее концов. Исследовать случаи: a) x>>; б) .

Решение.

Н

апряженность поля, создаваемого элементом, равна

.

Из соображений симметрии ясно, что

.

Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. Из рисунка видно, что

;

Поэтому ,

где .

Окончательно имеем

.

а) Если х>>, то какполе точечного заряда; б) Если , то.

4. Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью >0. Найти напряженность электрического поля на оси этого диска в точке, из которой диск виден под телесным углом .

Решение.

Из соображений симметрии ясно, что вектор на оси диска должен совпадать с направлением этой оси. Поэтому достаточно найти составляющую в точке А от элемента заряда на площади и затем проинтегрировать это выражение по всей поверхности диска:

.

В данном случае - телесный угол, под которым площадка видна из точки А, и с учетом этого

; .

Заметим, что на больших расстояниях от диска

,

где - площадь диска. Тогда как поле точечного заряда .

В непосредственной же близости от точки 0 телесный угол и.

5. Две концентрические сферы с радиусамии(>) равномерно заряжены с поверхностными плотностямии. Найти выражение для напряженности и потенциала электростатическо­го поля как функции расстоянияот центра сфер.

Р

ешение.

Поле такой системы центрально-симметричное, поэтому использу­ем теорему Гаусса и в качестве замкнутой поверхности выберем концентрическую сферу радиусом .

Для < : и.

Для < <: и .

Для >: .

и .

Для определения потенциала используем связь между и в сферических координатах:

и .

Для > : , ,

.

Для < <

,

; .

Для <₁: .