V группа –аксиомы параллельности.

V₁ – в плоскости через произвольную точку А, не лежащую на произвольной прямой а, можно провести не более одной прямой, не пересекающей прямую а.

При изучении процесса полного развертывания геометрии следует за множеством фактов в каждой группе аксиом системы ∑_н не упустить из виду наиболее существенные определения, понятия, теоремы:

• в I группе аксиом важно понять взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в евклидовом пространстве.

• во II группе аксиом возникает такие возможные понятия; как отрезок, луч, полуплоскость, угол, внутренность угла, треугольник, полупространство.

• в III группе аксиом из следствий и понятий наиболее важными являются: признаки конгруэнтности треугольника, понятие перпендикулярности на плоскости и в пространстве, которое в свою очередь опирается на определение прямого угла; понятие середины отрезка, биссектрисы угла, медианны, высоты треугольника; теоремы о частных видах треугольника, понятия окружности; сравнение отрезков и углов; понятие движений на плоскости и в пространстве, его свойства, в частности, групповые, классификация движения.

Определение. В системе аксиом ∑_н две фигуры F и F’ называются конгруэнтными, если существует движение s: F→F’.

Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.

Второй классификационной системой аксиом является аксиоматика Вейля: ∑_W. Многие известные математики считают самым доступным векторный способ изложения геометрии.

Основными понятиями аксиоматики Вейля является точка, вектор, действительное число. Основные отношения аксиоматики – сложение векторов, умножение вектора на число, отношение связи векторов и точек, скалярное умножение векторов. Исходя из отношений, выделяют 5 групп аксиом Вейля.

I группа сложение векторов

1. ,+=+

2. ,,+(+)=(+)+

3. +=+=

4. ,(-)+(-)=

II группа аксиом умножения вектора на число

1. ,1,1*=

2. ,и

3. и =+

4. ,и(+)=+

III группа аксиома связи векторов

1. =(аксиома однозначности отложения вектора от точки)

2. =+

IV группа аксиом конечной размерности

1. Существуют три (в планиметрии два) линейно независимых вектора. Любые четыре (в планиметрии три) вектора линейно зависимы

V группа аксиомы скалярного умножения

1. ,()=()

2. ,и)=()

3. ,,(+)=+

4. =²

²=0=

Первая аксиома V группы называется аксиомой симметричности скалярного произведения, четвертая аксиома - аксиомой положительной определенности скалярного произведения.

В аксиоматике Вейля прямая и плоскость определяются с помощью векторов, Например, прямая, проходящая через М₀ и параллельная вектору - множество точекМ, для каждой из которых вектор , где. В аксиоматике Гильберта прямая является неопределяемым понятием.

Из аксиоматики Вейля вытекают метрические понятия - расстояние между точками, угол между прямыми, площадь параллелограмма и параллелепипеда, также вводятся движение с помощью пары ортонормированных реперов.