I группа- аксиомы принадлежности:

I₁ - каковы бы ни были две точки А и В существует прямая, проходящая через эти точки;

I₂ - каковы бы ни были две точки А и В существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.

I₃ – на каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существует по крайней три точки, не лежащие на одной прямой.

I₄ – каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует плоскость α, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.

I₅ – каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.

I₆ – если две точки А и В прямой а, лежат в плоскости α, то каждая точка прямой а лежит в плоскости α.

I₇ – если две плоскости α и β имеют точку А, то плоскости имеют по крайней мере ёще одну любую точку В.

I₈ – существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

С помощью этой группы доказываются теоремы:

1. Две прямые имеют не более одной точки пересечения.

2. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на не точку так же как из двух пересекающихся прямых проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существует 3 точки, не лежащие на одной прямой.

II группа аксиомы порядка:

II₁ – если точки А-В-С, то они являются разными точками одной прямой и точка В лежит между С и А.

II₂ – каковы бы ни были точки А и В существует не более одной точки, лежащей между другими.

II₃ –среди любых трех точек прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

II₄ – (аксиома Паша): Пусть А,В,С три точки, не лежащие на одной прямой, а- прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из них, тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она также проходит через точки отрезка АС или ВС.

III группа – аксиомы конгруэнтности

III₁ –отношение равенства отрезков и углов является отношениями эквивалентности.

III₂ – на каждом луче от его начала можно отложить отрезок равный данному, при том только один.

III₃ – если В внутренняя точка отрезка АС, а B’- внутренняя точка отрезка A’C’ выполняется равенство АВ=А’В’, ВС=В’С’, то АС=А’С’.

III₄ – каждый угол можно отложить и притом единственным образом в данной плоскости по данную сторону от данного луча.

III₅ – если заданы два треугольника АВС и А’В’С’ такие, что АВ=А’В’, АС=А’С’ и угол ВАС равен углу В’А’С’, то угол АВС равен А’В’С’ и угол АСВ равен А’С’В’.

Следствие из аксиом.

1.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2.Признаки равенства треугольников.

3.Если два угла равны, то и смежные с ними углы тоже равны.

4.Теорема о построении треугольника, равного данному.

IV группа- аксиом непрерывности.

IV₁ – аксиома Архимеда заключается в том, что, отложив достаточное число раз меньший из двух заданных отрезков, всегда можно получить отрезок, превосходящий больший из них.

IV₂ – аксиома Кантора: любая последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю, имеет одну общую точку

Определение. Геометрию, построенную на группах аксиом I-IV системы ∑_н, называют абсолютной геометрией, а теоремы – теоремами абсолютной геометрии.

Для обоснования евклидовой геометрии Гильберт добавляет еще одну группу аксиом.