Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

РГР матрицы

.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
828.93 Кб
Скачать

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Башкирский государственный аграрный университет»

Кафедра математики

Математика

Методические указания

и варианты заданий к расчетно-графической работе по теме

«Матрицы, определители и их приложение к исследованию и решению

систем линейных алгебраических уравнений»

Для студентов направлений бакалавриата

Уфа 2012

УДК 378.147:51

ББК 74.58:22.1

М34

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года ) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)

Составители: ст. преподаватель, к.т.н. Валиахметова Ю.И.

ст. преподаватель Карамов В.И.

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики

доцент Лукманов Р.Л.

Предварительно приведем вопросы по разделу, на которые следует ответить перед решением задач и на зачете.

1. Основные понятия, связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец, определитель квадратной матрицы и т.п.)

2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих действий.

3. Умножение матриц и его свойства.

4. Вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

5. Обратная матрица, ее строение.

6. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений, решение ее с помощью обратной матрицы.

7. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса.

8. Исследование системы уравнений первой степени общего вида; основная и расширенная матрицы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли.

Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач.

Задача 1. Вычислить определитель

Решение. По формуле получим:

Ответ. 59.

Задача 2. Вычислить определитель

Решение. Используя формулу треугольников

получим:

Ответ. -25.

Задача 3. Вычислить определитель .

Решение. Третий столбец определителя содержит два нулевых элемента. Используя теорему Лапласа, разложим определитель по этому столбцу:

.

Ответ. -36.

Задача 4. Вычислить определитель .

Решение. Упростим определитель:

Раскладываем определитель по первому столбцу:

Вынесем общий множитель (5) первого столбца за знак определителя. Получим:

Ответ. -150.

Задача 5. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как , то система совместна и является неопределенной.

Количество главных переменных равно , количество свободных переменных равно .

Выберем какой-нибудь отличный от нуля минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Его столбцы – первый и второй столбцы матрицы - соответствуют переменным и - это будут главные переменные, а и - свободные переменные.

Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару и , т.к. любой соответствующий им минор равен нулю:

, , .

Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Перепишем ее в виде:

или

Обозначим свободные переменные: через , через . Запишем общее решение системы:

; частное решение при .

Ответ. – общее решение, – частное решение системы уравнений.

Задача 6. Исследовать систему линейных уравнений:

Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

Так как , то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение , не имеющее решений.

Ответ: система несовместна.

Задача 7. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений:

Решение. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как , то система является неопределенной. В качестве главных переменных можно выбрать и , соответствующие столбцам ненулевого минора второго порядка: ; в качестве свободных переменных – и .

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

Из второго уравнения получим . Подставляя это выражение в первое уравнение, получим .

Обозначая свободные переменные: через , через , запишем общее решение системы:

или

.

Ответ. .

Задача 8.

Найти матрицу С, если

Решение. ,

.

Ответ.

Задача 9. Решить матричное уравнение

Решение. Если матричное уравнение имеет вид , где - матрицы, заданные по условию, а - искомая матрица, то решение уравнения ищется в виде .

Найдем обратную матрицу:

, где - алгебраические дополнения элементов матрицы .

Так как определитель матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует и единственна.

, ,

, .

Тогда

.

.

Проверка. .

Ответ. .

Задача 10. Решить матричное уравнение

Решение. Если матричное уравнение имеет вид , где - матрицы, заданные по условию, а - искомая матрица, то решение уравнения ищется в виде , где - обратная матрица.

Найдем обратную матрицу: , где - алгебраические дополнения элементов матрицы .

, значит обратная матрица существует и единственна.

,

.

Проверка.

Ответ. .

Задача 11. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение. Найдем определитель матрицы системы:

.

Так как , то система имеет единственное решение.

Найдем определители , заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов.

, , .

Ответ. , , .

Задание 1. Вычислить определители матриц:

а) б)

где – последняя цифра шифра, – предпоследняя цифра шифра.

Задание 2. Найдите матрицу , если:

1) ;

2) ;

3);

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11);

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

Задание 3. Решите матричные уравнения и проверьте подстановкой:

1 a) ; б) ;

2 а) ; б) ;

3 а) ; б) ;

4 a) ; б) ;

5 а) ; б) ;

6 а) ; б) ;

7 a) ; б) ;

8 а) ; б) ;

9 а) ; б) ;

10 а) ; б) ;

11 а) ; б) ;

12 а) ; б) ;

13 а) ; б) ;

14 а) ; б) ;

15 а) ; б) ;

16 а) ; б) ;

17 а) ; б) ;

18 а) ; б) ;

19 а) ; б) ;

20 а) ; б) ;

21 а) ; б) ;

22 а) ; б) ;

23 а) ; б) ;

24 а) ; б) ;

25 а) ; б) ;

26 а) ; б) ;

27 а) ; б) ;

28 а) ; б) ;

29 а) ; б) ;

30 а) ; б) .

Задание 4. Решите систему уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы:

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

Задание 5. Исследуйте следующие системы уравнений и найдите их решения:

1 а) б)

2 а) б)

3 а) б)