РГР матрицы
.doc
|
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный аграрный университет» |
Кафедра математики
Математика
Методические указания
и варианты заданий к расчетно-графической работе по теме
«Матрицы, определители и их приложение к исследованию и решению
систем линейных алгебраических уравнений»
Для студентов направлений бакалавриата
Уфа 2012
УДК 378.147:51
ББК 74.58:22.1
М34
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года ) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)
Составители: ст. преподаватель, к.т.н. Валиахметова Ю.И.
ст. преподаватель Карамов В.И.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики
доцент Лукманов Р.Л.
Предварительно приведем вопросы по разделу, на которые следует ответить перед решением задач и на зачете.
1. Основные понятия, связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец, определитель квадратной матрицы и т.п.)
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих действий.
3. Умножение матриц и его свойства.
4. Вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.
5. Обратная матрица, ее строение.
6. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений, решение ее с помощью обратной матрицы.
7. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса.
8. Исследование системы уравнений первой степени общего вида; основная и расширенная матрицы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли.
Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач.
Задача 1.
Вычислить определитель
Решение.
По формуле
получим:
Ответ. 59.
Задача 2.
Вычислить определитель
Решение. Используя формулу треугольников
получим:
Ответ. -25.
Задача 3.
Вычислить определитель
.
Решение. Третий столбец определителя содержит два нулевых элемента. Используя теорему Лапласа, разложим определитель по этому столбцу:
.
Ответ. -36.
Задача 4.
Вычислить определитель
.
Решение.
Упростим определитель:
Раскладываем определитель по первому столбцу:
Вынесем общий множитель (5) первого столбца за знак определителя. Получим:
Ответ. -150.
Задача 5. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение.
Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
Так как
,
то система совместна и является
неопределенной.
Количество главных
переменных равно
,
количество свободных переменных равно
.
Выберем какой-нибудь
отличный от нуля минор второго порядка
полученной матрицы
,
например, минор
.
Его столбцы – первый и второй столбцы
матрицы
- соответствуют переменным
и
- это будут главные
переменные, а
и
- свободные переменные.
Заметим, что в
качестве главных переменных в данном
примере нельзя выбрать пару
и
,
т.к. любой соответствующий им минор
равен нулю:
,
,
.
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Перепишем ее в виде:
или
Обозначим свободные
переменные:
через
,
через
.
Запишем общее решение системы:
;
частное решение при
.
Ответ.
– общее решение,
– частное решение системы уравнений.
Задача 6. Исследовать систему линейных уравнений:
Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:
Так
как
,
то система несовместна (не имеет решений).
В самом деле, последней строке полученной
расширенной матрицы соответствует
уравнение
,
не имеющее решений.
Ответ: система несовместна.
Задача 7. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений:
Решение. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:
Так как
,
то система является неопределенной. В
качестве главных переменных можно
выбрать
и
,
соответствующие столбцам ненулевого
минора второго порядка:
;
в качестве свободных переменных –
и
.
Запишем систему, соответствующую полученной матрице:
Из второго уравнения
получим
.
Подставляя это
выражение в первое уравнение, получим
.
Обозначая свободные
переменные:
через
,
через
,
запишем общее решение системы:
или
.
Ответ.
.
Задача 8.
Найти матрицу С, если
Решение.
,
.
Ответ.
Задача 9. Решить матричное уравнение
Решение.
Если матричное уравнение имеет вид
,
где
- матрицы, заданные по условию, а
- искомая матрица, то решение уравнения
ищется в виде
.
Найдем обратную матрицу:
,
где
- алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
Так как определитель
матрицы
отличен от нуля, то обратная матрица
существует и единственна.
,
,
,
.
Тогда
.
.
Проверка.
.
Ответ.
.
Задача 10. Решить матричное уравнение
Решение.
Если матричное уравнение имеет вид
,
где
- матрицы, заданные по условию, а
- искомая матрица, то решение уравнения
ищется в виде
,
где
- обратная матрица.
Найдем обратную
матрицу:
,
где
- алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
,
значит обратная матрица существует и
единственна.
,
.
Проверка.
Ответ.
.
Задача 11. Решить систему уравнений методом Крамера:
Решение. Найдем определитель матрицы системы:
.
Так как
,
то система имеет единственное решение.
Найдем определители
,
заменив в матрице коэффициентов
соответственно первый, второй, третий
столбцы столбцом свободных членов.
,
,
.
Ответ.
,
,
.
Задание 1. Вычислить определители матриц:
а)
б)
где
– последняя цифра шифра,
– предпоследняя цифра шифра.
Задание 2. Найдите
матрицу
,
если:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
.
Задание 3. Решите матричные уравнения и проверьте подстановкой:
1 a)
;
б)
;
2 а)
;
б)
;
3 а)
;
б)
;
4 a)
;
б)
;
5 а)
;
б)
;
6 а)
;
б)
;
7 a)
;
б)
;
8 а)
;
б)
;
9 а)
;
б)
;
10 а)
;
б)
;
11 а)
;
б)
;
12 а)
;
б)
;
13 а)
;
б)
;
14 а)
;
б)
;
15 а)
;
б)
;
16 а)
;
б)
;
17 а)
;
б)
;
18 а)
;
б)
;
19 а)
;
б)
;
20 а)
;
б)
;
21 а)
;
б)
;
22 а)
;
б)
;
23 а)
;
б)
;
24 а)
;
б)
;
25 а)
;
б)
;
26 а)
;
б)
;
27 а)
;
б)
;
28 а)
;
б)
;
29 а)
;
б)
;
30 а)
;
б)
.
Задание 4. Решите систему уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Задание 5. Исследуйте следующие системы уравнений и найдите их решения:
1 а)
б)
2 а)
б)
3 а)
б)
