g2

Так как (СВ) R и Φ независимы, то

fRΦ(r,ϕ)= fR (r)fΦ(ϕ)= 4πr .

По теореме Пифагора длина хорды ВС равна

L = 2 1 − H 2 = 2 1 − r2 sin2(ϕ),

так что средняя длина хорды ВС

(СВ) η .

Определение. Условным распределением составляющей ξ при условии, что (η = y j ), называют совокупность условных вероятностей

P(ξ = x1 /η = y j ), P(ξ = x2 /η = y j ), P(ξ = x3 /η = y j )....P(ξ = xn /η = y j ),

вычисленных в предположении, что событие (η = y j )уже наступило.

Аналогично определяется условное распределение составляющей η . По теореме умножения эти вероятности можно представить в виде

Определение. Условной плотностью распределения составляющей ξ при условии, что (η = y), называют функцию вида

ϕξ (x / y)= ffη(x(,yy)), fη(y)= −∞∫∞f (x, y)dx .

Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей η при условии, что (ξ = x)

ϕη(y / x)= ff(ξx(,xy)), fξ (x)= ∞∫ f (x, y)dy .

−∞

Основное свойство функции регрессии

Определение. Условным математическим ожиданием дискретной (СВ) η при условии, что (ξ = x), называют величину

M (η / ξ = xi )= m y j P(y j / ξ = xi ).

∑

j=1

Определение. Условным математическим ожиданием непрерывной (СВ) η при условии, что (ξ = x), называют величину

является функцией от x, которую называют функцией регрессии величины η на ξ . Обозначим ее следующим образом M (η / ξ = x)= f (x). Уравнение y = f (x) называется уравнением регрессии η на ξ , а график функции регрессии – линией регрессии η на ξ . Линия регрессии η на ξ показывает, как в среднем изменяется величина η при изменении величины ξ . Аналогично определяется регрессия ξ на η : M (ξ /η = y)= g(y). Функции регрессии

g(x) в общем случае не являются взаимно обратными. Основное свойство

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. Сначала докажем, что для любой функции u(ξ)

По формуле для математического ожидания функции (СВ) имеем

Линейная регрессия

Если обе функции регрессии f (x) и g(y) линейны, то говорят, что между величинами ξ и η существует линейная корреляционная зависимость. В этом случае линии регрессии являются прямыми. Выведем уравнения прямых линий регрессии. Для этого введем обозначения:

a = M (ξ), b = M (η), D(ξ)=σ 2(ξ), D(η)=σ 2(η), μ = M [(ξ − a)(η −b)].

В соответствие с постановкой задачи представим функцию регрессии в линейном виде

f (x)= A(x − a)+ B .

Найдем параметры А и В. По формуле предыдущего раздела

M (η)= M (f (ξ))= M [A(ξ − a)+ B]= AM (ξ − a)+ B = B = b,

μ = M [(ξ − a)(η −b)]= M [(ξ − a)(f (ξ)−b)]= AM (ξ − a)2 = Aσ 2(ξ).

откуда следует, что

Свойства коэффициента корреляции

Свойство 1. Коэффициент корреляции не изменяется ни при изменении начала отсчета, ни при изменении масштаба измерения (СВ) ξ и η . Доказательство. Изменение масштаба и начала отсчета (СВ) ξ означает линейное преобразование вида

ξ = x0 + hξ′,

где h > 0 . При таком преобразовании

M (ξ)= M (x0 + hξ′)= x0 + hM (ξ′),σ(ξ)= hσ(ξ′)

что и требовалось показать.

Свойство 2. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превышает единицы, т.е.

r ≤1 .

Доказательство. Представим величину η в виде

приближения величины η линейной функцией [A(ξ − a)+ B] . Константы А и В

M χ2 = M {[(η −b)− A(ξ − a)− (B −b)]2}= M (η −b)2 + A2M (ξ − a)2 − (1)

− 2AM [(η −b)(ξ − a)]+ (B −b)2 = D(ξ)+ A2D(η)+ (B −b)2 − 2Arσ(ξ)σ(η)

Решая уравнения экстремума,

Применим неравенство Чебышева к случайной величине A(ξ − a):

Это означает, что (СВ) ξ и η независимы.

Свойство 4. Коэффициент корреляции принимает крайние значения ±1тогда и только тогда, когда между величинами ξ и η имеется линейная функциональная зависимость.

Доказательство. Если r = ±1, то по формуле (4) второго свойства D(χ)= 0 , Тогда из неравенства Чебышева

P[χ − M (χ) < ε]≥1 − D(χ)

ε2

следует

P[χ < ε]=1,

т.е. с единичной вероятностью остаток χ = 0 и, следовательно, (СВ) η есть линейная функция от ξ : η = A(ξ − a)+ B . Верно и обратное утверждение: если η = A(ξ − a)+ B , то χ = 0 , D(χ)= 0 и, следовательно, r = ±1.

Следствие. Из доказанных свойств коэффициента корреляции следует, что коэффициента корреляции является мерой линейной корреляционной зависимости между (СВ): с возрастанием абсолютной величины r линейная корреляционная зависимость становится более тесной и при r = ±1 переходит в линейную функциональную зависимость.

Пример. В клетке 50 попугаев, из них 25 розовых. На обед удаву наугад последовательно выбирают двух попугаев. Пусть ξ – случайная величина числа розовых попугаев, появившихся при случайном выборе первого

попугая, а η – при выборе второго попугая. Найти коэффициент корреляции

ξ и η .

Решение. Построим ряды распределении для (СВ) ξ , η и их произведения

(ξ η)