g2

Сумма денег, которую Q в среднем выплатит R, равна

Из (6) следует

перпендикулярно падает луч света. Найти вероятность поглощения света, плотность распределения случайной величины r , средний размер комаров. Решение. Выделим в слое воздуха вертикальный цилиндрический объем высоты H и радиуса R , решим задачу для такого объема, а затем устремим R в бесконечность. Введем обозначения: A1– событие, состоящее в том, что луч

света пронзит одного комара в цилиндре, AN – событие, состоящее в том, что

луч света не пронзит ни одного из N комаров в цилиндре, A – событие, состоящее в том, что луч света не пронзит ни одного комара в слое воздуха, ρ – (СВ) размера комара.

Тогда по формуле геометрической вероятности

По теореме умножения независимых событий

так что согласно второму замечательному пределу

P(A)= lim P(AN )= exp − λπr2H . R→∞

Очевидно функция распределения (СВ) ρ равна

Fρ (r)= P(ρ < r)= P(A)=1 − P(A)=1 − e−λπHr2 ,

и, следовательно, плотность распределения этой (СВ) имеет вид

fρ (r)= 2πλHr exp −λπHr2 , r > 0.

Учитывая найденную плотность распределения, найдем средний размер комара

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называют величину

n

D(ξ)= M (ξ − M (ξ))2 = ∑(xi − M (ξ))2 pi .

i=1

Определение. Дисперсией непрерывной (СВ) с плотностью распределения вероятностей f (x), называется величина D(ξ), равная

∞

D(ξ)= M (ξ − M (ξ))2 = −∫∞(x − M (ξ))2 f (x)dx .

Замечание 4. Дисперсия является характеристикой рассеяния возможных значений (СВ) вокруг ее математического ожидания.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой:

D(ξ)= M ξ2 −(M (ξ))2 .

Вывод формулы основывается на доказанных выше свойствах математического ожидания. Действительно,

D(ξ)= M (ξ − M (ξ))2 = M ξ2 + (M (ξ))2 − 2ξM (ξ) = M ξ2 + (M (ξ))2 − 2(M (ξ))2 .

Свойства дисперсии

Так как по определению дисперсия является математическим ожиданием квадрата отклонения (СВ) от ее среднего значения, то все свойства дисперсии являются следствием соответствующих свойств математического ожидания.

Свойство 1. Дисперсия константы равна нулю, т.е.

D(C)= 0 .

D(C)= M (C − M (C))2 = M (C −C)2 = M (0)= 0 ,

что и требовалось показать.

Свойство 2. Константу можно выносить за знак дисперсии следующим образом:

Свойство 3. Если ξ и η независимые (СВ), то

D(ξ ±η)= D(ξ)+ D(η).

D(ξ ±η)= M (ξ ±η)2 − (M [ξ ±η])2 = M ξ2 ± 2ξη +η2 −[M (ξ)± M (η)]2 =

=M ξ2 + M η2 ± 2M (ξ)M (η)− (M (ξ))2 − (M (η))2 m 2M (ξ)M (η)=

=M ξ2 − (M (ξ))2 + M η2 − (M (η))2 = D(ξ)+ D(η)

что и требовалось показать.

По определению дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности (СВ) ξ . В тех случаях, когда необходимо, чтобы оценка рассеяния имела размерность (СВ) ξ вместо дисперсии используют среднеквадратичное отклонение, размерность которого совпадает с размерностью ξ

σ(ξ)= D(ξ).

Мода и медиана, асимметрия и эксцесс

Модой Mo дискретной (СВ) называют ее наиболее вероятное значение. Модой Mo непрерывной (СВ) называют то ее значение, при котором плотность распределения максимальна.

Медианой Me непрерывной (СВ) называется такое ее значение, для которого

P(ξ < Me )= P(ξ > Me )= 0.5.

Начальным моментом порядка k случайной величины ξ называют величину

νk = M ξk .

Центральным моментом порядка k случайной величины ξ называют величину

μk = M (ξ − M (ξ))k .

Для центральных моментов справедливы следующие формулы

μ1 = 0, μ2 =ν2 −ν12 = D(ξ), μ3 =ν3 −3ν1ν2 + 2ν13, μ4 =ν4 − 4ν1ν3 + 6ν12ν2 −3ν14 .

Асимметрией распределения (СВ) ξ называют величину, равную

As = μ3 ,

σ3

которая служит для характеристики «скошенности» распределения. Эксцессом распределения (СВ) ξ называют величину, равную

Ek = σμ44 −3 ,

которая служит для характеристики «крутости» распределения. Отметим, что для нормального распределения As = 0, Ek = 0 , так что нормальное

распределение служит эталоном.

Пример. Найти среднюю скорость молекул газа и дисперсию скорости, распределенной по закону Максвелла:

Решение. Среднее значение непрерывной случайной величины скорости молекул определяется ее математическим ожиданием

Используя метод интегрирования путем дифференцирования по параметру h, нетрудно получить

Пусть y =ϕ(x) – монотонная функция действительного аргумента. Тогда ряд распределения дискретной (СВ) η =ϕ(ξ) определяется таблицей вида:

объединяют в один столбец, а соответствующие вероятности складывают.

Решение такой задачи содержится в следующих теоремах.

Теорема 1. Если в интервале возможных значений x непрерывной (СВ) ξ функция y =ϕ(x) строго возрастает и ϕ(x),ϕ′(x) – непрерывны, то

равносильны следующие события

(η < y)= (ϕ(ξ)< y)= (ξ < g(y)).

Откуда следует

P(η < y)= P(ξ < g(y)),

так что по определению функции распределения

Дифференцируя равенство (1) по переменной y , получим

что и требовалось получить.

Теорема 2. Если в интервале возможных значений x непрерывной (СВ) ξ функция y =ϕ(x) строго убывает и ϕ(x),ϕ′(x) – непрерывны, то

Fη(y)=1 − Fξ (g(y)), fη(y)= − fξ (g(y))dgdy(y).

Доказательство. Для убывающей функции ϕ(x)

(η < y)= (ϕ(ξ)< y)= (ξ > g(y)).

Так как (ξ > g(y))+ (ξ < g(y))+ (ξ = g(y))= Ω, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий

P(ξ > g(y))+ P(ξ < g(y))+ P(ξ = g(y))= P(Ω)=1,

где для непрерывной случайной величины P(ξ = g(y))= 0 . Откуда следует

P(ξ > g(y))=1 − P(ξ < g(y)),

так что

что и требовалось получить. Функция двух случайных величин будет определена в дальнейшем.

§6. Системы случайных величин

Если на одном и том же пространстве событий Ω заданы n (СВ) ξi , i =1,2,3...n , то говорят, что задана n – мерная (СВ) {ξ1,ξ2,ξ3,...ξn}. Изучение

системы (СВ) проведем на примере системы двух (СВ). Все результаты распространяются на систему n (СВ).

Двумерную (СВ) {ξ,η} геометрически можно интерпретировать либо

→

как случайную точку M (ξ,η) на плоскости, либо как случайный вектор OM .

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины

Определение. Законом распределения двумерной дискретной (СВ) называют перечень возможных значений этой величины {xi , y j } и их вероятностей

Pij ≡ P(ξ = xi ,η = y j ), i =1,2,...n, j =1,2,....m .

Обычно закон распределения двумерной дискретной (СВ) задают в виде таблицы с двойным входом:

F(x, y)= P(ξ < x,η < y), а всякая вероятность 0 ≤ P ≤1, так что и 0 ≤ F(x, y)≤1, что и требовалось показать.

Свойство 2. Двумерная функция распределения является неубывающей функцией, т.е.

F(x2, y)≥ F(x1, y), если x2> x1,

F(x, y2 )≥ F(x, y1), если y2> y1.

Доказательство. Так как (ξ < x2,η < y)= (ξ < x1,η < y)+ (x1 ≤ ξ < x2,η < y), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий

P(ξ < x2,η < y)= P(ξ < x1,η < y)+ P(x1 ≤ ξ < x2,η < y),

откуда следует

P(x1 ≤ ξ < x2,η < y)= P(ξ < x2,η < y)− P(ξ < x1,η < y)= F(x2, y)− F(x1, y).

Так как P(x1 ≤ ξ < x2,η < y)≥ 0 , то F(x2, y)≥ F(x1, y), что и требовалось доказать.

Аналогично, F(x, y2 )≥ F(x, y1), если y2> y1.

Свойство 3. При бесконечном значении переменных двумерная функция распределения принимает следующие значения:

F(− ∞, y)= 0, F(x,−∞)= 0, F(− ∞,−∞)= 0, F(∞, ∞)=1,

Fξη(x, ∞)= Fξ (x), Fξη(∞, y)= Fη(y).