3. Транспортная задача

Задача 4. В таблице даны запасы (в тоннах) однородного сыпучего груза у поставщиков (, , ), спрос на него потребителей (, , , ), а также матрица тарифов перевозок, элементы которой равны стоимостям перевозок одной тонны груза из пункта отправления в пункт назначения (в условных денежных единицах)

		450			250		100			100
	200		6			4			4			5
	300		6			9			5			8
	400		8			2			10			6

Требуется:

1) Составить математическую модель транспортной задачи, заданной таблицей.

2) Найти оптимальный план перевозок груза, минимизирующий общую стоимость всех перевозок.

Решение:

1) Для составления математической модели данной транспортной задачи сначала введем переменные:

- количество единиц (тонн) груза, планируемое к перевозке из пункта отправления в пункт назначения ().

Затем запишем выражение целевой функции, имеющей смысл суммарной стоимости всех перевозок:

.

Далее составим систему ограничений на переменные, исходя из следующих требований:

- все запасы груза должны быть вывезены;

- все потребности в грузе должны быть удовлетворены. Получаем следующую систему уравнений:

По смыслу задачи все переменные должны быть неотрицательными:

()

Таким образом, приходим к следующей математической формулировке данной транспортной задачи:

Найти такие значения переменных , которые удовлетворяют составленной выше системе линейных уравнений и неравенств и доставляют наименьшее значение линейной целевой функции .

Задача имеет решение, так как выполнено условие баланса: суммарные запасы груза равны суммарным потребностям.

2) Основными этапами решения поставленной транспортной задачи являются следующие:

- определение начального опорного плана;

- проверка полученного начального опорного плана на оптимальность;

- построение последовательных приближений к оптимальному решению (в случае, если начальный опорный план не является оптимальным).

Для нахождения начального опорного плана применим метод Фогеля. Приведем алгоритм метода Фогеля, следуя работе [4].

"По каждой строке и по каждому столбцу начальной транспортной таблицы определяют разность между двумя наименьшими тарифами и записывают ее соответственно справа и снизу от транспортной таблицы. Из этих разностей выбирают наибольшую, и отмечают ее, заключая в квадрат.

В строке или столбце, где имеется наибольшая разность, находят клетку с наименьшим тарифом и загружают ее значением . В строке или столбце с нулевым остатком груза подчеркивают все незанятые клетки.

Далее описанный процесс повторяют, при этом учитывают только оставшиеся запасы и потребности (заявки). Занятые и прочеркнутые клетки не учитываются при последующих шагах".

Обычно начальный опорный план, полученный методом Фогеля. Будет оптимальным, или близким к оптимальному.

Используя описанный алгоритм, получим следующий начальный опорный план:

		450		250		100			100
	200	100	6	-	4		100	4	-	5
	300	300	6	-	9		-	5	-	8
	400	50	8	250	2		-	10	100	6

***

В результате реализации метода Фогеля все переменные оказываются разбитыми на 2 группы:

- базисные переменные : , , , , , , которые соответствуют ненулевым (загруженным) клеткам;

- свободные переменные : , , , , ,, которые соответствуют нулевым (прочеркнутым) клеткам.

Проверим полученный методом Фогеля начальный опорный план на оптимальность. Для этого применим метод потенциалов, краткое изложение которого содержится, например, в работе [5].

Введем так называемые потенциалы пунктов отправления () и потенциалы пунктов назначения (). Потенциалы найдем, решая систему линейных уравнений

,

где индексы и соответствуют группе базисных переменных .

В данном случае система уравнений для потенциалов имеет вид:

Составленная система содержит 6 уравнений и 7 неизвестных. Ранг системы равен . Следовательно, одна из неизвестных является свободной. Выберем в качестве этой переменной и примем ее равной нулю: .

Последовательно решая систему, найдем потенциалы всех поставщиков и потребителей:

, , , , , , .

Далее найдем так называемые косвенные стоимости в соответствии с формулой

,

где индексы и соответствуют группе свободных переменных :

, , ,

, , .

Затем вычисляем разности стоимостей (оценки свободных клеток) по формуле

.

Получим следующие значения оценок6

, ,

, ,

, .

Так как все оценки свободных клеток являются неотрицательными, то начальный опорный план, полученный методом Фогеля, является оптимальным.

Таким образом, искомый оптимальный план перевозок выражается равенствами

, , , ,

, , , ,

, , , .

Наименьшая суммарная стоимость всех перевозок, соответствующая найденному оптимальному плану, равна

(усл. ден. ед.)

5. Условный экстремум. Метод Лагранжа

Задача 5.

На развитие двух предприятий, входящих в производственное объединение, выделено2 млн.долл. Если первому предприятию выделить млн.долл, то прибыль, полученная от этого предприятия, будет равна млн.долл; если млн.долл. выделить ворому предприятию, по прибыль от него будет равна млн.долл.

Как следует распределить денежные средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

Решить задачу методом множителей Лагранжа.

Решение.

Составим математическую модель данной задачи. Для этого сначала введем переменные:

(млн.долл.) – количество денежных средств, выделяемых первому предприятию;

(млн.долл.) – количество денежных средств, выделяемых второму предприятию.

Затем запишем выражение целевой функции, имеющей смысл суммарной прибыли производственного объединения:

.

Далее составим уравнение связи: и представим его в стандартной форме .

В результате получаем задачу условного максимума функции двух переменных при ограничении типа равенства. Для решения этой задачи применим метод Лагранжа ([4], [5]).

Составим функцию Лагранжа

,

где - числовой параметр, называемый множитель Лагранжа.

Суть метода Лагранжа состоит в том, что задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функции трех переменных.

Сначала найдем точки, подозрительные на условный экстремум (стационарные точки функции Лагранжа). Для этого находим частные производные первого порядка от функции Лагранжа, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений:

, , ;

, , , .

Корень является посторонним; поэтому , , .

Получаем единственную стационарную точку функции Лагранжа .

Проверка полученной стационарной точки на выполнение достаточных условий условного экстремума производится с помощью дискриминанта функции Лагранжа

Находим: , ;

; ;

;

, , , , ;

.

Так как дискриминант функции Лагранжа в стационарной точке отрицателен, то в соответствии с достаточным условием условного максимума функция имеет при , условный максимум. Значение целевой функции в точке условного максимума

.

Таким образом, наибольшая суммарная прибыль производственного объединения (млн.долл.) достигается при следующем распределении денежных средств между предприятиями:

млн.долл. и млн.долл.

6. Оптимальное распределение капиталовложений. Метод динамического программирования

Задача 6. В производственное объединение входят при предприятия. Прирост продукции каждого из них в зависимости от величины выделенных предприятию капиталовложений указан в приведенной ниже таблице.

	предпр. 1	предпр. 2	предпр. 3
0	0	0	0
20	3	2	1
40	3	4	6
60	8	4	7
80	9	7	10
100	10	12	11

Требуется составить оптимальный план распределения капиталовложений между тремя предприятиями, обеспечивающий максимальное увеличение выпуска продукции всего производственного объединения.

Капиталовложения (в усл.ден.ед.) каждому предприятию могут быть выделены только в размерах кратных 20 (усл.ден.ед.), и общий объем капиталовложений составляет (усл.ден.ед.).

Решить задачу о распределении денежных ресурсов методом динамического программирования

Решение.

Составим математическую модель данной задачи оптимального распределения ресурсов. Для этого сначала введем переменные:

- количество денежных средств, выделяемых -му предприятию ;

- соответствующий прирост выпуска продукции -го предприятия .

Затем запишем выражение целевой функции, имеющей смысл суммарного прироста выпуска продукции всего производственного объединения.

(1)

Далее запишем ресурсное ограничение

(2)

по смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными:

, , . (3)

В результате получаем математическую формулировку задачи:

Найти такие значения переменных , , , которые удовлетворяют ограничениям (2), (3) и доставляют наибольшее значение целевой функции (1).

Решение поставленной задачи методом динамического программирования Беллмана содержит следующие основные этапы ([6]):

1) Вложение данной конкретной задачи в семейство подобных задач (инвариантное погружение задачи);

2) составление уравнения Беллмана, исходя из принципа оптимальности Беллмана;

3) Решение уравнения Беллмана4

4) Выделение решения исходной задачи из найденной функции Беллмана.

Перейдем к реализации указанных этапов.

1) Вместо одной исходной задачи (1)-(3) с заданным значением суммарного ресурса и числом предприятий рассмотрим семейство подобных задач с изменяющимся значением суммарного ресурса и изменяющимся числом предприятий :

, (4)

, (5)

. (6)

Введем функцию 2-х переменных - функцию Беллмана

,

которая имеет смысл наибольшего суммарного прироста продукции, достигаемого на предприятиях при использовании ресурса в количестве .

2) Принцип оптимальности многошагового процесса впервые был сформулирован Р. Беллманом и заключается в следующем: завершающая часть процесса должна быть оптимальной относительно текущего реализовавшегося состояния. Математическим выражением для данной задачи является уравнения Беллмана ([6]):

, (8)

где , .

3) Уравнение Беллмана имеет очевидное краевое условие

(9)

Зная , из уравнения (8) последовательно находим:

,

где в силу краевого условия (9);

.

При этом на каждом шаге решается стандартная задача нахождения функции одной переменной на отрезке .

Приведем табличную реализацию изложенного выше решения уравнения Беллмана.

4) Выделим решение исходной задачи из найденной выше функции Беллмана , организовав так называемую "попятную" процедуру.

Сначала найдем оптимальное значение переменной . Для этого в последнем соотношении для положим :

(10)

и найдем то значение на котором достигается максимум правой части отношения (10). По таблице 2 определим , и это наибольшее значение достигается при .

После выделения единиц ресурса третьему предприятию на остальные два предприятия (второе и первое) следует распределить оставшийся ресурс .

Положим в предпоследнем соотношении для :

(11)

и найдем то значение , на котором достигается максимум в правой части соотношения (11). По таблице 1 определяем , и это наибольшее значение достигается при .

Оптимальное значение первой переменной найдем из условия

, (12)

т.е. .

Таким образом, оптимальное решение исходной задачи о распределении ресурсов выражается равенствами

, , (усл.ден.ед.)

7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса

Задача 7. Некоторая экономическая система задана матрицей прямых затрат , вектором прямых потребностей в труде и вектором конечного потребления .

Требуется:

1) Проверить продуктивность модели Леонтьева ;

2) Вычислить косвенные потребности во всех продуктах, включая труд, для чистого выпуска единицы каждого продукта;

3) Найти нормализованный вектор равновесных цен и соответствующую ему ставку заработной платы;

4) Определить суммарный выпуск каждой отрасли и суммарную потребность в труде для производства ассортиментного набора продуктов .

Решение.

Развернутое изложение модели Леонтьева содержится в монографиях [2], [7]. Краткое описание этой модели приведено в методической разработке [8], терминологию и обозначения которую мы будем использовать в дальнейшем.

Матричная форма записи модели Леонтьева (для рассматриваемого в данной задаче случая двухотраслевой экономики) имеет вид: , где вектор (столбец) валового выпуска продуктов, - заданный вектор (столбец) конечного потребления продуктов, - заданная матрица прямых затрат продуктов.

1) Для проверки продуктивности модели Леонтьева применим следующий критерий продуктивности:

модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда выполнено условие ; где наибольшее положительное собственное значение матрицы прямых затрат .

Найдем собственные значения матрицы , т.е. корни характеристического уравнения :

, , , .

Таким образом , и условие выполнено, т.е. модель Леонтьева является продуктивной.

2) Для нахождения матрицы косвенных затрат продуктов применим формулу , где - так называемая матрица полных затрат продуктов.

Последовательно находим:

; ,

, , , ;

;

.

В результате получаем:

(косвенные затраты 1-го продукта для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);

(косвенные затраты 1-го продукта для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта);

(косвенные затраты 2-го продукта для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);

(косвенные затраты 2-го продукта для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта).

Далее найдем вектор косвенных потребностей в труде для чистого выпуска единицы соответствующего конечного продукта. Применим формулу , где - вектор (строка) полных потребностей в труде.

Последовательно находим:

, .

Следовательно,

(косвенные затраты труда для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);

(косвенные затраты труда для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта);

3) Для нахождения нормализованного вектора равновесных цен на продукты и соответствующей ему ставки заработной платы применим следующие формулы:

, , ,

где , координаты вектора полных потребностей в труде.

Получаем:

; , .

4) Вектор валового выпуска продуктов найдем по формуле

: .

Таким образом,

(количество продукта, выпускаемое 1-ой отраслью);

(количество продукта, выпускаемое 2-ой отраслью).

Суммарная потребность в труде для производства заданного конечного продукта (трудоемкость производства) выражается скалярной величиной .

Рекомендуемая литература

1. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб и доп. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2003. – 237 с.

2. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов.– М.: ЮНИТИ, 1998. –240 с.

3. исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 407 с.

4. Исследование операций: основы теории и экономические приложения: Учеб. пособие.– Екатеринбург: Изд-во Урал.гос.проф.-пед.ун-та, 1996,–112 с.

5. Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине "Математическое программирование" для студентов заочного обучения. – Екатеринбург, 2003.–27 с.

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. -Мн.: Изд-во БГУ, 1975.– 280 с.

7.Ланкастер К. Математическая экономика.–М.: Сов. радио, 1972.

8. Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине "Математическое моделирование экономических систем" для студентов заочного обучения.– Екатеринбург, 2003.–27 с.