2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг
Задача 2. На финансовом рынке имеются три вида ценных бумаг: бумаги первого вида – безрисковые ожидаемой эффективности , а бумаги второго и третьего видов – некоррелированные рисковые ожидаемых эффективностей и с рисками и соответственно.
Требуется решить задачу Тобина о формировании оптимального портфеля ценных бумаг минимального риска заданной эффективности . Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в проведении операции "короткая продажа" ("short sale")?
Решение:
Введем переменные, обозначив через долю капитала, вложенного в безрисковые ценные бумаги, через - долю капитала, вложенного в рисковые ценные бумаги 1-го вида, через - долю капитала, вложенного в рисковые ценные бумаги 2-го вида.
Для удобства записи применяемых при решении задачи формул примем следующие векторно-матричные обозначения:
- вектор-столбец долей рисковых составляющих портфеля;
- вектор-столбец эффективностей рисковых ценных бумаг;
- ковариационная матрица доходностей рисковых ценных бумаг;
.
Так как в данной конкретной задаче доходности рисковых ценных бумаг являются некоррелированными, то ковариационная матрица диагональная и имеет вид:
.
Вектор эффективностей рисковых ценных бумаг .
Оптимальное решение задачи Тобина о формировании портфеля минимального риска выражается формулами ([1], [2]):
, ;
где - матрица, обратная к ковариационной матрице .
Зададимся эффективностью портфеля . Сначала найдем обратную матрицу по известной формуле , где , – алгебраическое дополнение элемента ковариационной матрицы . В нашем случае , , , , ;
. Заметим, что в случае диагональной матрицы справедлива формула , и нахождение обратной матрицы существенно упрощается.
Далее находим векторы-столбцы
, ;
вычисляем знаменатель основной формулы
.
Затем применим основную формулу и найдем вектор-столбец оптимальных долей рисковых ценных бумаг
.
Таким образом, в данной конкретной задаче , , т.е. рисковые доли оптимального портфеля должны быть одинаковыми. Здесь - заданная эффективность оптимального портфеля.
Используя долевое соотношение , находим безрисковую долю оптимального портфеля
.
Необходимость в проведении финансовой операции "short sale" ("короткая продажа") возникает если , т.е. при условии . Следовательно, если желаемый уровень эффективности оптимального портфеля мы зададим большим 7, то для обеспечения минимального риска всего портфеля надлежит организовать быструю продажу государственных безрисковых ценных бумаг.
-
Задача линейного программирования
Задача 3. Для изготовления двух видов продукции и используют четыре вида ресурсов , , , . Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице (цифры условные)
Ресурсы |
Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции |
Запасы ресурсов |
|
2 |
6 |
36 |
|
2 |
1 |
16 |
|
- |
1 |
5 |
|
3 |
- |
21 |
|
Прибыль от единицы продукции (усл. ден. ед.) |
2 |
3 |
|
Найти такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.
Требуется:
1) Составить математическую модель данной задачи.
2) Решить полученную задачу линейного программирования графическим методом.
3) Решить задачу симплекс-методом.
Решение:
1) Для составления математической модели поставленной задачи сначала введем переменные:
- количество единиц продукции , планируемое к выпуску;
- количество единиц продукции , планируемое к выпуску.
Затем запишем выражение целевой функции, имеющей смысл суммарной прибыли от реализации, выпущенной продукции: .
Далее составим систему ресурсных ограничений (затраты соответствующего ресурса не должны превышать его запаса):
По смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными:
, .
В результате получаем математическую модель стандартной задачи линейного программирования в нормальной форме ([3]):
Найти такие значения переменных и , которые удовлетворяют системе линейных неравенств
и доставляют наибольшее значение целевой функции
.
2) при решении поставленной выше задачи линейного программирования графическим методом будем следовать приведенному в работе [4] алгоритму графического метода.
В системе координат на плоскости переменных построим выпуклый многоугольник допустимых значений переменных. Для этого сначала построим ограничивающие этот многоугольник прямые, уравнения которых получаются заменой в ограничениях на переменные знаков неравенств на соответствующие равенства:
, опорные точки (0; 6) и (18, 0);
, опорные точки (0; 16) и (8, 0);
(горизонтальная прямая);
(вертикальная прямая);
(ось );
(ось ).
Затем определим полуплоскости, задаваемые каждым из неравенств системы ограничений, и находим пересечение выделенных полуплоскостей. В результате получаем многоугольник .
***
Далее находим вектор-градиент целевой функции и строим его, прикладывая в начале координат. Заметим, что целевая функция возрастает в направлении вектора-градиента. После этого строим нулевую линию уровня целевой функции , которая проходит через начало координат и перпендикулярна вектору-градиенту .
Затем передвигаем нулевую линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора-градиента до тех пор, пока она не займет предельное крайнее положение по отношению к выпуклому многоугольнику . Этим положением является точка (см. рис.).
Наконец, определяем на пересечении, каких ограничивающих прямых лежит угловая точка : ; находим координаты этой точки, решая соответствующую систему уравнений
имеем (6; 4), т.е. , ; и вычисляем значение целевой функции в этой точке:
.
Примечание. В случае решения задачи минимизации целевой функции целевую линию уровня следует передвигать до первого соприкосновения с выпуклым многоугольником допустимых значений переменных.
3) Симплекс-метод решения задачи линейного программирования работает применительно к канонической форме. Поэтому предварительно перейдем от указанной выше нормальной формы рассматриваемой задачи к канонической форме с помощью надлежащего преобразования целевой функции и введения дополнительных неотрицательных (слабых) переменных , , , :
;
где .
Краткое описание алгоритма симплекс-метода содержится в работе [5], схему и терминологию которого мы будем использовать ниже.
Включим выражение целевой функции в систему уравнений канонической формы задачи и представим ее в специальном виде:
Составим расширенную матрицу этой специальной системы и назовем ее начальной симплекс-таблицей. Для удобства в таблице выделены первая строка и первый столбец для целевой функции, а также последний столбец свободных членов.
СТ-0
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
18 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
16 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
7 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
Все переменные специальной системы оказались разбитыми на две группы:
- базисные переменные , , , ( в СТ-0 им соответствуют "единичные" столбцы) и
- свободные переменные , (им соответствуют не "единичные" столбцы в СТ-0).
Отметим, что в данной задаче специальная система имеет опорное (неотрицательное базисное) решение: , , , , , , которое получается, если в специальной системе все свободные переменные положить равными нулю. Соответствующие этому опорному решению базисное значение целевой функции .
Суть симплекс-метода заключается в упорядоченном переходе от одного опорного решения специальной системы уравнений к другому ее опорному решению, имеющему меньшее (не большее) значение целевой функции . Для нахождения нового опорного решения одну из свободных переменных переводят в разряд базисных, а соответствующую базисную переменную переводят в разряд свободных переменных. Такая процедура называется процедурой однократного замещения. Требования в выбору этих переменных указаны в алгоритме симплекс-метода ([4], [5]).
Опишем подробно первый шаг применения симплекс-метода, т.е. процедуру однократного замещения.
В первой строке для целевой функции начальной симплекс таблицы (СТ-0) находим наибольший положительный коэффициент , который и определяет так называемый разрешающий столбец и ту свободную переменную , которую следует перевести в разряд базисных.
Далее находим отношения свободных членов СТ-0 к соответствующим положительным коэффициентам выделенного разрешающего столбца:
; ;
и среди этих отношений выбираем наименьшее . Оно и определяет так называемую разрешающую строку. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца расположен разрешающий элемент (в данном случае ).
Далее вычисления организуются в следующем порядке:
- разрешающая строка делится на разрешающий элемент и переписывается в новую симплекс-таблицу СТ-1;
- методом Гаусса с помощью преобразованной разрешающей строки получаем нули во всех элементах разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента.
Этим заканчивается процедура однократного замещения, и в результате получаем новую симплекс-таблицу
СТ-1
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-3 |
-15 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-3 |
3 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
11 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
7 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
Новое опорное решение: , , , , , , а соответствующее ему базисное значение целевой функции .
Далее описанная процедура однократного замещения повторяется. Процесс последовательных приближений (итераций) к оптимальному решению следует повторять до тех пор, когда все коэффициенты в первой строке для целевой функции окажутся неположительными. Тогда будет достигнуто оптимальное решение.
Приведем последующие шаги табличной реализации симплекс-метода решения поставленной задачи:
СТ-2
1 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
3 |
-21 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-3 |
3 |
0 |
0 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
5 |
5 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
СТ-3
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-24 |
||
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
6 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
Таким образом, оптимальное решение рассматриваемой задачи линейного программирования выражается равенствами
, , , , , , а соответствующее ему оптимальное значение целевой функции .
Примечание. Если в систему ограничений задачи линейного программирования входят неравенства типа "больше шла равно"
,
то для приведения задачи к канонической форме следует заменить каждое такое неравенств равносильной ему системой соотношений:
где - дополнительная неотрицательная балансовая переменная.
В этом случае специальная система не имеет начального опорного решения и для получения допустимого базисного решения нужно сначала перевести базисную переменную в разряд свободных переменных, используя процедуру однократного замещения симплекс-метода.