2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг
Задача 2. На
финансовом рынке имеются три вида ценных
бумаг: бумаги первого вида – безрисковые
ожидаемой эффективности
,
а бумаги второго и третьего видов –
некоррелированные рисковые ожидаемых
эффективностей
и
с рисками
и
соответственно.
Требуется решить
задачу Тобина о формировании оптимального
портфеля ценных бумаг минимального
риска заданной эффективности
.
Как устроена рисковая часть оптимального
портфеля? При какой ожидаемой эффективности
портфеля
возникает необходимость в проведении
операции "короткая продажа" ("short
sale")?
Решение:
Введем переменные,
обозначив через
долю капитала, вложенного в безрисковые
ценные бумаги, через
- долю капитала, вложенного в рисковые
ценные бумаги 1-го вида, через
- долю капитала, вложенного в рисковые
ценные бумаги 2-го вида.
Для удобства записи применяемых при решении задачи формул примем следующие векторно-матричные обозначения:
- вектор-столбец
долей рисковых составляющих портфеля;
-
вектор-столбец эффективностей рисковых
ценных бумаг;
- ковариационная
матрица доходностей рисковых ценных
бумаг;
.
Так как в данной
конкретной задаче доходности рисковых
ценных бумаг являются некоррелированными,
то ковариационная матрица
диагональная и имеет вид:
.
Вектор эффективностей
рисковых ценных бумаг
.
Оптимальное решение задачи Тобина о формировании портфеля минимального риска выражается формулами ([1], [2]):
,
;
где
- матрица, обратная к ковариационной
матрице
.
Зададимся
эффективностью портфеля
.
Сначала найдем обратную матрицу
по известной формуле
,
где
,
–
алгебраическое дополнение элемента
ковариационной матрицы
.
В нашем случае
,
,
,
,
;
.
Заметим, что в случае диагональной
матрицы
справедлива формула
,
и нахождение обратной матрицы существенно
упрощается.
Далее находим векторы-столбцы
,
;
вычисляем знаменатель основной формулы
.
Затем применим основную формулу и найдем вектор-столбец оптимальных долей рисковых ценных бумаг
.
Таким образом, в
данной конкретной задаче
,
,
т.е. рисковые доли оптимального портфеля
должны быть одинаковыми. Здесь
- заданная эффективность оптимального
портфеля.
Используя долевое
соотношение
,
находим безрисковую долю оптимального
портфеля
.
Необходимость в
проведении финансовой операции "short
sale" ("короткая продажа") возникает
если
,
т.е. при условии
.
Следовательно, если желаемый уровень
эффективности оптимального портфеля
мы зададим большим 7, то для обеспечения
минимального риска всего портфеля
надлежит организовать быструю продажу
государственных безрисковых ценных
бумаг.
-
Задача линейного программирования
Задача 3. Для
изготовления двух видов продукции
и
используют четыре вида ресурсов
,
,
,
.
Запасы ресурсов, число единиц ресурсов,
затрачиваемых на изготовление единицы
продукции, а также прибыль, получаемая
от реализации единицы продукции,
приведены в таблице (цифры условные)
|
Ресурсы |
Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции |
Запасы ресурсов |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
6 |
36 |
|
|
2 |
1 |
16 |
|
|
- |
1 |
5 |
|
|
3 |
- |
21 |
|
Прибыль от единицы продукции (усл. ден. ед.) |
2 |
3 |
|
Найти такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.
Требуется:
1) Составить математическую модель данной задачи.
2) Решить полученную задачу линейного программирования графическим методом.
3) Решить задачу симплекс-методом.
Решение:
1) Для составления математической модели поставленной задачи сначала введем переменные:
- количество единиц
продукции
,
планируемое к выпуску;
- количество единиц
продукции
,
планируемое к выпуску.
Затем запишем
выражение целевой функции, имеющей
смысл суммарной прибыли от реализации,
выпущенной продукции:
.
Далее составим систему ресурсных ограничений (затраты соответствующего ресурса не должны превышать его запаса):
По смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными:
,
.
В результате получаем математическую модель стандартной задачи линейного программирования в нормальной форме ([3]):
Найти такие значения
переменных
и
,
которые удовлетворяют системе линейных
неравенств
и доставляют наибольшее значение целевой функции
.
2) при решении поставленной выше задачи линейного программирования графическим методом будем следовать приведенному в работе [4] алгоритму графического метода.
В системе координат
на плоскости переменных
построим выпуклый многоугольник
допустимых значений переменных. Для
этого сначала построим ограничивающие
этот многоугольник прямые, уравнения
которых получаются заменой в ограничениях
на переменные знаков неравенств на
соответствующие равенства:
,
опорные точки (0; 6) и (18, 0);
,
опорные точки (0; 16) и (8, 0);
(горизонтальная
прямая);
(вертикальная
прямая);
(ось
);
(ось
).
Затем определим
полуплоскости, задаваемые каждым из
неравенств системы ограничений, и
находим пересечение выделенных
полуплоскостей. В результате получаем
многоугольник
.
***
Далее находим
вектор-градиент
целевой функции
и строим его, прикладывая в начале
координат. Заметим, что целевая функция
возрастает в направлении вектора-градиента.
После этого строим нулевую линию уровня
целевой функции
,
которая проходит через начало координат
и перпендикулярна вектору-градиенту
.
Затем передвигаем
нулевую линию уровня
параллельно самой себе в направлении
вектора-градиента
до тех пор, пока она не займет предельное
крайнее положение по отношению к
выпуклому многоугольнику
.
Этим положением является точка
(см. рис.).
Наконец, определяем
на пересечении, каких ограничивающих
прямых лежит угловая точка
:
;
находим координаты этой точки, решая
соответствующую систему уравнений
имеем
(6;
4), т.е.
,
;
и вычисляем значение целевой функции
в этой точке:
.
Примечание. В
случае решения задачи минимизации
целевой функции
целевую линию уровня
следует передвигать до первого
соприкосновения с выпуклым многоугольником
допустимых значений переменных.
3) Симплекс-метод
решения задачи линейного программирования
работает применительно к канонической
форме. Поэтому предварительно перейдем
от указанной выше нормальной формы
рассматриваемой задачи к канонической
форме с помощью надлежащего преобразования
целевой функции и введения дополнительных
неотрицательных (слабых) переменных
,
,
,
:
; 
где
.
Краткое описание алгоритма симплекс-метода содержится в работе [5], схему и терминологию которого мы будем использовать ниже.
Включим выражение целевой функции в систему уравнений канонической формы задачи и представим ее в специальном виде:
Составим расширенную матрицу этой специальной системы и назовем ее начальной симплекс-таблицей. Для удобства в таблице выделены первая строка и первый столбец для целевой функции, а также последний столбец свободных членов.
СТ-0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
18 |
|
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
16 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
7 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
Все переменные специальной системы оказались разбитыми на две группы:
- базисные переменные
,
,
,
( в СТ-0 им соответствуют "единичные"
столбцы) и
- свободные
переменные
,
(им соответствуют не "единичные"
столбцы в СТ-0).
Отметим, что в
данной задаче специальная система имеет
опорное (неотрицательное базисное)
решение:
,
,
,
,
,
,
которое получается, если в специальной
системе все свободные переменные
положить равными нулю. Соответствующие
этому опорному решению базисное значение
целевой функции
.
Суть симплекс-метода
заключается в упорядоченном переходе
от одного опорного решения специальной
системы уравнений к другому ее опорному
решению, имеющему меньшее (не большее)
значение целевой функции
.
Для нахождения нового опорного решения
одну из свободных переменных переводят
в разряд базисных, а соответствующую
базисную переменную переводят в разряд
свободных переменных. Такая процедура
называется процедурой однократного
замещения. Требования в выбору этих
переменных указаны в алгоритме
симплекс-метода ([4], [5]).
Опишем подробно первый шаг применения симплекс-метода, т.е. процедуру однократного замещения.
В первой строке
для целевой функции начальной симплекс
таблицы (СТ-0) находим наибольший
положительный коэффициент
,
который и определяет так называемый
разрешающий столбец и ту свободную
переменную
,
которую следует перевести в разряд
базисных.
Далее находим отношения свободных членов СТ-0 к соответствующим положительным коэффициентам выделенного разрешающего столбца:
;
;
и среди этих
отношений выбираем наименьшее
.
Оно и определяет так называемую
разрешающую строку. На пересечении
разрешающей строки и разрешающего
столбца расположен разрешающий элемент
(в данном случае
).
Далее вычисления организуются в следующем порядке:
- разрешающая строка делится на разрешающий элемент и переписывается в новую симплекс-таблицу СТ-1;
- методом Гаусса с помощью преобразованной разрешающей строки получаем нули во всех элементах разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента.
Этим заканчивается процедура однократного замещения, и в результате получаем новую симплекс-таблицу
СТ-1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-3 |
-15 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-3 |
3 |
|
0 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
11 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
7 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
Новое опорное
решение:
,
,
,
,
,
,
а соответствующее ему базисное значение
целевой функции
.
Далее описанная процедура однократного замещения повторяется. Процесс последовательных приближений (итераций) к оптимальному решению следует повторять до тех пор, когда все коэффициенты в первой строке для целевой функции окажутся неположительными. Тогда будет достигнуто оптимальное решение.
Приведем последующие шаги табличной реализации симплекс-метода решения поставленной задачи:
СТ-2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
3 |
-21 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-3 |
3 |
|
0 |
0 |
0 |
-2 |
1 |
0 |
5 |
5 |
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
4 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
СТ-3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
-24 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
6 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
4 |
Таким образом, оптимальное решение рассматриваемой задачи линейного программирования выражается равенствами
,
,
,
,
,
,
а соответствующее ему оптимальное
значение целевой функции
.
Примечание. Если в систему ограничений задачи линейного программирования входят неравенства типа "больше шла равно"
,
то для приведения задачи к канонической форме следует заменить каждое такое неравенств равносильной ему системой соотношений:
где
- дополнительная неотрицательная
балансовая переменная.
В этом случае
специальная система не имеет начального
опорного решения и для получения
допустимого базисного решения нужно
сначала перевести базисную переменную
в разряд свободных переменных, используя
процедуру однократного замещения
симплекс-метода.