8.3 Вязкость. Уравнение Ньютона.

При течении реальной жидкости (или газов) отдельные слои воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называется внутренним трением, или вязкостью.

Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твёрдыми пластинками, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью υ_В. Условно представим жидкость в виде нескольких слоёв 1, 2, 3 и т.д. Слой «прилипший» ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна ( нижняя пластинка) слои жидкости имеют всё большие скорости (υ₁ < υ₂ <υ₃ <...и т.д) у слоя, который «прилип» к верхней пластинке, будет максимальная скорость υ_В.

Слои воздействуют друг на друга. Так, например, слой 3 стремится ускорить движение слоя 2, но сам испытывает торможение с его стороны, и ускоряется слоем 4 и т. д. Сила внутреннего трения пропорциональна площади S взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость. Так как разделение на слои условно, то силу принято выражать в зависимости от изменения скорости, отнесенного к длине в направлении, перпендикулярном скорости, т. е. от

(8.9)

Это уравнение Ньютона. Здесь η — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом внутреннего трения, или динамической вязкостью (или просто вязкостью). Вязкость зависит от состояния и молекулярных свойств жидкости (или газа).

Единицей вязкости является паскаль-секунда (Па • с). Иногда вязкость выражают в пуазах¹ (П):

1 Па-с = 10 П.

Для многих жидкостей, например для воды, вязкость не зависит от ,

такие жидкости подчиняются уравнению Ньютона (8.9) и их называют ньютоновскими. Жидкости, не подчиняющиеся уравнению (8.9), относят к неньютоновским. Иногда вязкость ньютоновских жидкостей называют нормальной, а неньютоновских — аномальной.

Жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например растворы полимеров, и образующие благодаря сцеплению молекул или частиц пространственные структуры, являются неньютоновскими. Кровь, также является неньютоновской жидкостью.

§ 8.4 Течение вязкой жидкости и газа по трубам. Формула Пуазейля

Течение вязкой жидкости и газа по трубам является достаточно распространённым случаем, который встречается как в технике (например, нефте-и газопроводы), так и в биологических системах (кровеносная система человека, трахеи лёгочной системы — совокупность разветвлённых цилиндрических сосудов разного диаметра).

Вследствие симметрии в трубе частицы текущей жидкости, равноудалённые от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости будет неподвижен. Примерное распределение скорости частиц жидкости в сечении трубы показано на рис. 8.9.

Чтобы определить зависимость скорости υ слоев жидкости, протекающей по трубе от их расстояния r до оси трубы, мысленно выделим цилиндрический объём жидкости некоторого радиуса r и длины ℓ. На торцах этого цилиндра поддерживаются давления Р₁ и Р₂ соответственно, что обусловливает результирующую силу

F = Р₁πr² – Р₂πr² = (Р₁ - Р₂) πr² (8.10)

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная [см. (8.9)]

(8.11)

где S = 2πrℓ - площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр, уравновешены: F = F_ТР . Подставляя (8.10) и (8.11) в это равенство, получаем

(8.12)

Знак «-» в правой части уравнения обусловлен тем, что < 0 (скорость уменьшается с увеличением r). Из (8.12) имеем

(8.13)

Проинтегрируем это уравнение:

(8.14)

Здесь R – радиус трубы, нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему к внутренней поверхности трубы (υ = 0 при r =R), а верхние пределы – переменные. Интегрируя (8.14), получаем параболическую зависимость скорости слоёв жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис. 8.9, а).

(8.15)

Слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0), имеет наибольшую скорость:

(8.16)

Установим, от каких факторов зависит объем Q жидкости, протекающей по горизонтальной трубе в единицу времени. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr. Элементарная площадь сечения этого слоя (рис. 8.9, б) равна dS = 2πrdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью υ. В единицу времени слой переносит объем жидкости (газа)

dQ = υdS=υ 2πrdr (8.17)

Подставив (8.15) в (8.17), получим

(8.18)

откуда интегрированием по всему сечению находим

(8.19)

Эту зависимость называют формулой Пуазейля.

Для труб переменного сечения

(8.20)

Проведём аналогию между формулой Пуазейля и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока – объёму жидкости, протекающей через сечение трубы в единицу времени, электрическое сопротивление – гидравлическому сопротивлению Х:

(8.21)

т

б)

.е. гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость η, длина ℓ трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлением позволяет определить гидравлическое сопротивление системы последовательно и параллельно соединённых труб.

Так, например, общее гидравлическое сопротивление трёх труб, соединённых последовательно и параллельно, вычисляется соответственно по формулам

Х = Х₁+Х₂+Х₃ (8.22)