Глава 6 Механические колебания
§6.1 Свободные колебания
Движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки времени, называются механическими колебаниями.
Механическая система, находящаяся в состоянии колебательного движения, называется осциллятором. Примерами простейших механических осцилляторов являются пружинный, математический и физический маятник. Колебания этих систем совершается под действием возникающей силы, пропорциональной смещению системы из положения равновесия. Если возвращающая сила при малых колебаниях зависит от смещения линейно, то осциллятор называется гармоническим.
Если же возвращающая сила зависит от смещения более сложно, например Fв = -кх+gx2+hx3 , то такой осциллятор называется ангармоническим.
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания.
Свободными (собственными) колебаниями называют такие, которые происходят под действием внутренних сил без внешних воздействий за счёт первоначально полученной телом энергии. Такие колебания возникают в системе после того, как система была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Примером таких колебаний является пружинный, математический и физический маятник. Отличительной особенностью систем, в которых происходят свободные колебания, является наличие у них положения устойчивого равновесия. Именно около этих положений и совершаются свободные колебания.
§6.1.1 Пружинный маятник
Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника. Наша цель — определить траекторию движения тела.
Пружинный маятник – это некоторое тело на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с массой тела. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник (рис.4.1).
Пусть тело массой m укреплено на пружине, упругость которой k. В отсутствии сил трения на тело, выведенное из положения равновесия, действует сила упругости Fупр = -kx, пропорциональная смещению тела х от положения равновесия и направленная к этому положению. Благодаря инертности колеблющееся тело не
останавливается
в положении равновесия (когда сила
упругости обращается в нуль), а продолжает
двигаться в прежнем направлении.
Рис.4.1
ma=
F
или
,
где
следует
(
6.1)
Разделим части уравнения (6.1) на массу колеблющегося тела m и получаем
(
6.2)
Сделаем замену
(
6.3)
Величина ω0 является собственной частотой колебаний маятника.
Учитывая это, формулу (6.2) можно записать в виде
(
6.4)
Выражение (6.4) является дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний.
Из
формулы (4.3) учитывая, что
получим,
что
периода колебаний пружинного маятника равен
(6.5)