§ 6.4 Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой

Рассмотрим механическую систему из трёх маятников, изображённую на рисунке (рис.6.12). Два нижних маятника 1 и 2, которые могут колебаться в вертикальных плоскостях, вызывают колебания маятника 3. При одновременном действии маятников 1 и 2 маятник 3 суммирует колебания, обусловленные нижними маятниками. Происходит сложение колебаний одного направления, и маятник 3 совершает колебание х = х₁ + х₂. Найдём это результирующее колебание. Пусть колебания маятника 3, возникающее при действии нижних маятников, происходят с одинаковой частотой, с той же частотой колеблется маятник 3: ω₀₁ = ω₀₂= ω₀

Запишем уравнения для смещения маятника 3:

x₁=A₁sin(ω₀₁t + φ₀₁) (при неподвижном 2)

x₂=A₂sin(ω₀₂t + φ₀₂) (при неподвижном 1)

Для нахождения результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм.

Изобразим положение векторов А₁ и А₂ в начальный момент времени (рис. 6.13), углы между этими векторами и осью ОХ равны начальным фазам складываемых колебаний φ₀₁ и φ₀₂. Вектор А характеризует результирующее колебание.

Т

Рис. 6.12

ак какА₁ и А₂ вращаются с одинаковой угловой

скоростью, то и сумма их – вектор А- будет вращаться с той же угловой скоростью , т. е. результирующее движение является гармоническим с круговой частотой ω₀:

х=x₁+ x₂=A₁sin(ω₀t + φ₀₁) +A₂sin(ω₀t + φ₀₂) =Asin(ω₀t+φ₀) (6.45)

Значение амплитуды результирующего колебания найдём на основании теоремы косинусов

А² = А₁²+ А₂² - 2А₁А₂ соs (φ₀₂ - φ₀₁) и

(6.46)

Амплитуда сложного колебания зависит от разности начальных фаз исходного колебания.

Проанализируем полученное выражение.

• Если разность начальных фаз равна чётному числу π, т.е. φ₀₂ - φ₀₁= 0, 2π, 4π, … 2kπ, где k = 0, 1, 2, ..., тогда соs 2kπ = 1. В этом случае колебания совпадают по фазе и амплитуда результирующего колебания принимает максимальное значение, равное сумме амплитуд слагаемых колебаний

(6.47)

При равенстве амплитуд А₁ = А₂ размах колебаний маятника 3 возрастает вдвое.

• Если разность начальных фаз равна нечётному числуπ, т.е. φ₀₂ - φ₀₁= π , 3 π, 5 π, … (2k + 1)π, где k = 0, 1, 2, тогда соs (2k + 1) π = -1. В этом случае колебания совершаются в противоположных фазах и результирующая амплитуда минимальна и равна разности амплитуд слагаемых колебаний:

При равенстве амплитуд А₁ = А₂ колебания гасят друг друга и маятник 3 остаётся на месте.

Пользуясь векторной диаграммой, можно найти фазу результирующего колебания. Как видно из рис. 4.14, tgφ₀ равен отношению проекции А на ось ОУ к проекции А на ось ОХ, т. е. . Учитывая, что проекция суммы равна сумме проекций, имеем

А_У= А_1У + А_2У = А₁sinφ₀₁ + А₂sinφ₀₂

А_X= А_1X + А_2X = А₁cosφ₀₁ + А₂cosφ₀₂

(6.48)

Таким образом, по формулам (6.47) и (6.48) можно найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

Рис. 6.15

Когда частоты слагаемых колебаний мало отличаются друг от друга: ω₀₁ ≈ ω₀₂, то результирующее колебание происходит с амплитудой, изменяющейся периодически от некоторого максимального значения до нуля. Такие колебания называются биениями. Их график показан на рис. 6.15.