Примеры решения задач
Пример
. Запишите
уравнение затухающих колебаний
материальной точки, если смещение х0
точки при
составляет 10см, период затухающих
колебаний Т=3с, логарифмический декремент
затухания θ=0,03, начальная фаза колебаний
равна нулю.
Дано:
;
и х0=10см=0,1м;
Т=
3с; θ=0,03.
Найти: 1) х(t).
Решение. Уравнение затухающих колебаний, если начальная фаза равна нулю, имеет вид:
,
(1)
Где А0 - амплитуда колебаний в момент времени t=0.
Циклическая частота
(2)
Коэффициент затухания δ найдём из выражения для логарифмического декремента затухания: θ=δТ, откуда
.
Амплитуду
А0
найдём из начальных условий (х0=10см
при
=1с),
согласно уравнению (1), где
,
откуда
.
Подставив
в формулы (2), (3) и (4) заданные цифры найдём
с-1;
δ=0,01; А0=10,1см.
Тогда, подставив эти значения в уравнение
(1), запишем искомое уравнение затухающих
колебаний:
Ответ:
Пример . Маятник совершил 100 полных колебаний, при этом его амплитуда уменьшилась в 10 раз. Определить логарифмический декремент затухания маятника.
Дано:
N=100;
.
Найти: θ.
Решение. Логарифмический декремент затухания
,
(1)
где
условный
период затухающих колебаний ( ν - частота
колебаний); δ – коэффициент затухания.
Амплитуда затухающих колебаний в момент времени t=0.
Из формулы (1) найдём δ= ν θ, где частоту ν вычислим, зная число N полных колебаний за время t, за которое произошло указанное уменьшение амплитуды:
,
откуда
и тогда
.
(3)
Подставив выражение (3) в формулу (2), получаем
,
Откуда искомый декремент затухания
Ответ: θ=0,023
Пример . Логарифмический декремент θ затухания камертона, колеблющегося с частотой ν=100Гц, составляет 0,002. Определите промежуток времени, за который амплитуда возбужденного камертона уменьшится в 50 раз.
Дано:
ν=100Гц; θ=0,002;
.
Найти: t.
Решение. Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по закону
,
(1)
где А0 – начальная амплитуда (в момент времени t=0); δ - коэффициент затухания.
Логарифмический
декремент затухания θ =δТ, где
- условный период затухающих колебаний.
Тогда
δ=θ ν
и выражение (1) можно записать виде
,
откуда искомый промежуток времени
Ответ: t =19,6 с
Пример . Точка массой m=20 г совершает затухающие колебания, начальная амплитуда А0 которых равна 6см, начальная фаза φ0=0, коэффициент затухания δ=1,6 с-1. В результате действия на это тело внешней периодической силы установились вынужденные колебания, описываемые уравнением x=3cos(10πt-0,75π), см. Найдите: 1) уравнение собственных затухающих колебаний; 2) уравнение внешней периодической силы.
Дано: m=20г=0,02кг; x=3cos(10πt-0,75π), см; x=0,03cos(10πt-0,75π), м; φ0=0; А0 = 6см=0,06м; δ=1,6 с-1.
Найти: 1) х(t); 2) F(t).
Решение. Уравнение собственных затухающих колебаний с нулевой начальной фазой
(1)
Для определения собственной частоты ω0 колебательной системы запишем выражение для сдвига фаз φ между собственными и вынужденными колебаниями
(2)
где ω – циклическая частота внешней вынуждающей силы, которая, согласно заданному в задаче уравнению вынужденных колебаний, равна 10π. Из этого же уравнения следует, что φ = -0,75π , т.е. tgφ=1. Тогда, согласно (2),
,
откуда после подстановки числовых значений получаем ω0=10,5π с-1.
Уравнение (1) собственных затухающих колебаний после подстановки числовых значений запишется в виде:
,
м.
Уравнение внешней вынуждающей силы
F=F0cosωt,
где F0 и ω - соответственно амплитуда и частота внешней вынуждающей силы (по условию задачи ω =10π c-1 ).
Зная выражение для амплитуды вынужденных колебаний
(из заданного уравнения вынужденных колебаний А=0,03 м), найдём амплитуду вынуждающей силы:
.
Подставив числовые значения, получаем F0=8,85∙10-2 Н. Тогда искомое уравнение внешней периодической силы
F=8,85∙10-2 cos10πt, Н.
Ответ:
,
м., F=8,85∙10-2
cos10πt,
Н.
Пример . Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν =800Гц. Определите резонансную частоту νрез, если собственная частота ν0 колебательной системы составляет 802 Гц..
Дано: ν =800Гц; ν0 =802 Гц.
Найти: νрез.
Решение. Циклическая частота затухающих колебаний
,
(1)
где ω0-собственная циклическая частота колебательной системы; δ – коэффициент затухания.
Резонансная частота
(2)
Из уравнений (1) и (2) находим
ω02=ω2+δ2; (3)
ω02=ω2рез+2δ2. (4)
Умножив уравнение (3) на 2 и вычитая из него (4), получаем
ω2рез=2ω2- ω02 (5)
Учитывая, что ω=2πν, из уравнения (5) найдём искомую резонансную частоту:
Ответ: νрез=798Гц