§6.2 Затухающие колебания

До сих пор мы рассматривали свободные колебания осциллятора без учёта сопротивления среды, в которой происходят эти колебания.

В реальных условиях на колеблющееся тело всегда действуют силы сопротивления (трения), в результате чего амплитуда с течением времени уменьшается и колебания становятся затухающими.

Пусть маятник колеблется в вязкой среде (рис.). В этом случае на осциллятор кроме возвращающей силы F_упр = -kx будет действовать ещё одна сила – сила сопротивления среды F_с. При малых колебаниях скорость движения осциллятора мала, поэтому сила сопротивления пропорциональна скорости и направлена в противоположную сторону:

(6.27)

где r – коэффициент сопротивления среды, зависящий от плотности среды и геометрических размеров осциллятора; - относительная скорость движения осциллятора и среды.

Согласно второму закону Ньютона, результирующая этих сил и определяет то ускорение, с которым колеблется осциллятор. Уравнение движения осциллятора в этом случае имеет вид:

или

Разделив последнее уравнение на m, получим:

Введя обозначения и, имеем

или

(6.28)

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где δ – коэффициент затухания; ω₀ – круговая частота собственных колебаний.

Решение этого уравнения записывается в виде:

x = A₀е^-δt sin(ωt+φ₀) (6.29)

Выражение А=±А₀ е^-δt , есть переменная во времени амплитуда колебания; А₀ — амплитуда в момент t = 0; ω -частота затухающих колебаний; φ₀-начальная фаза колебаний.

График этой функции изображён на рисунке(кривая 1)пунктирная линия 2 изображает ход убывания амплитуды. Осциллятор колеблется по закону синуса, но амплитуда колебания с течением времени уменьшается по экспоненте. Затухания происходят тем быстрее, чем больше δ, т.е. с увеличением внутреннего трения среды и уменьшением массы осциллятора.

Наглядной характеристикой затухания является отношение двух амплитуд, отличающихся по времени на период Т. Это соотношение называется декрементом затухания

(6.30)

Прологарифмируем это выражение:

(6.31)

Значение θ=δТ называется логарифмическим декрементом затухания.

Время в течении которого амплитуда убывает в е раз, называетсявременем жизни осциллятора. За время жизни τ осциллятора успевает совершить N колебаний.

(6.32)

Следовательно, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний осциллятора за время его жизни.

Так как , то отсюда вытекает один из возможных методов экспериментального определения коэффициента сопротивления среды. Измерив отношение амплитуд за период и определив период находят δ, а потом по формулерассчитываютr.

Частота ω свободных затухающих колебаний будет меньше частоты свободных колебаний осциллятора ω₀:

ω ² = ω₀² - δ² (6.33)

Это происходит потому, что сопротивление уменьшает скорость движения осциллятора. Однако уменьшение скорости частично компенсируется уменьшением амплитуды колебания, поэтому изменение частоты незначительно.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента сопротивления r и определяется формулой:

(6.34)

Уменьшение амплитуды колебания со временем приводит к непрерывному убыванию полной энергии осциллятора.

Так как Е∼А², А=А₀е^-δt то Е=Е₀е^-2δt

где Е₀ – значение энергии в начальный момент времени t = 0. Наличие сопротивления среды (силы трения), приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии осциллятора, т.е. к необратимому переходу её в тепловую энергию.