§6.1.2 Математический маятник

Математический маятник – это идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на длинной, тонкой, невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли (рис. 6.2).

Рис.6.2

При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол α, такой, что выполняется условие sinα = α, на тело будет действовать возвращающая сила F=-mgsinα=-mgα, пропорциональная смещению. Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Силы, которые по своей природе не являются силами упругости, но формально подчиняются закону Гука, называются квазиупругими силами.

По второму закону Ньютона

ma=-mgα, ( 6.6)

где

, ( 6.7)

Сделаем замену

( 6.8)

и получим

( 6.9)

- дифференциальное уравнение математического маятника

и период колебаний математического маятника

( 6.10)

§4.1.3 Физический маятник

Физический маятник, представленный на рис.6.3 является твердым телом, имеющим неподвижную ось вращения, не проходящую через его центр масс (точка С). При отклонении тела от положения равновесия на малый угол α на тело действует момент силы тяжести относительно горизонтальной оси вращения, проходящей через точку О,

М = -mgℓsinα (6.11)

[ℓ — расстояние от центра масс (точка С) до оси вращения О; знак минус указывает, что направление момента сил тяжести противоположно направлению отклонения].

Так как при малых углах sinα = α, то М = -mgℓα

Исходя из основного уравнения динамики вращательного движения, найдем

Jβ = M, где ( 6.12)

Тогда

или

Разделим последнее уравнение на J, получим

( 6.13)

Введём замену откуда получим

( 6.14)

- дифференциальное уравнение физического маятника

и период колебаний физического маятника

( 6.15)

Величину

( 6.16)

называют приведённой длиной физического маятника (длина такого математического маятника, который имеет такой же период колебаний, что и данный физический маятник).

§6.1.4 Гармонические колебания

Общим решением полученных дифференциальных уравнений является выражение вида:

x = Asin(ω₀t+φ₀) или x = Acos(ω₀t+φ₀) (6.17)

Оно определяет смещение осциллятора от положения равновесия х в зависимости от времени t.

Колебания, при которых координаты колеблющегося тела меняются с течением времени по закону синуса (или косинуса), называются гармоническими.

Уравнение (6.17) называется уравнением колебаний гармонического осциллятора.

Рассмотрим входящие в выражение (6.17) величины, которыми характеризуются любые колебательные движения:

• А – амплитуда колебаний (максимальное отклонение гармонического осциллятора от положения равновесия);

• ωt+φ₀ - фаза колебаний (скалярная величина, определяющая состояние колебательной системы в данный момент времени;

• φ₀ - начальная фаза (величина, определяющая состояние колебательной системы в начальный момент времени);

• ω - циклическая, или угловая частота собственных колебаний гармонического осциллятора ( число колебаний за 2π секунд).

Важнейшее свойство гармонических колебаний – их изохронность, т.е. независимость периода от амплитуды и начальной фазы. Именно это свойство позволяет использовать маятники в часах для отсчёта равных промежутков времени.