§ 21.3 Дифракция от малого круглого отверстия

Пусть на пути сферической волны, распространяющейся от точечного источника монохроматического светаS (рис. 21.4), поставлена непрозрачная преграда с круглым отверстием радиуса г, точка О - центр отверстия. За отверстием расположен экран, на котором наблюдается дифракционная картина (дифракция Френеля). Выделим на этом экране точку М так, чтобы на одной прямой, перпендикулярной преграде и экрану, оказались точки S, О и М. Зададимся вопросом, какая будет освещённость в точке М?

На рис. 21.4 показано положение волнового фронта в момент достижения волной преграды с отверстием. Из точки М отрезками b₁= b₀ +λ/2, b₁= b₀ +2λ/2, b₁= b₀ +3λ/2,… b_m= b₀ +mλ/2, проведем на волновом фронте окружности. Окружности разобьют участок волнового фронта, который ограничен отверстием (сферический сегмент), на кольцевые зоны Френеля. Отрезок b_m «прочерчивает» окружность, совпадающую с границей отверстия.

Так как лучи, идущие из крайних точек зоны, имеют разность хода в полволны, то колебания от этих двух точек приходят в точку М в противоположной фазе. Для каждой точки одной зоны найдется точка в соседней зоне с разностью хода в полволны. Следовательно, в точке М излучение соседних зон сходится с разностью хода λ /2 и в результате интерференции взаимно «гасятся». Поэтому если число зон, которые укладываются в отверстии, четное, то в точке М будет тем­ное пятно, а если нечетное, то - светлое. Если отверстие открыва­ет всего лишь одну зону или не­большое нечетное число зон, то амплитуда колебаний, а значит, и интенсивность света в точке М больше, чем в случае отсутствия экрана с отверстием. Максимум интенсивности соответствует размеру отверстия в одну зону. Для того, чтобы определить освещённость в точке М необходимо знать число m открываемых отверстием зон Френеля.

Из рисунка видно, что

r² = a²-(a-h) ² = b²_m-(b₀+h) ² = (b₀+mλ/2) ² - (b₀+h) ²,

где a - радиус волнового фронта, h -высота сферического сегмента.

Раскрыв скобки имеем:

r² = 2ah-h ² = b₀mλ+m²λ²/4 -2b₀ h -h ²,

отсюда

Полагая, что m не очень велико, можно в числителе пренебречь членом, содержащим λ². В этом приближении получим:

(21.8)

При не слишком больших значениях m можно считать, что высота сферического сегмента значительно меньше радиуса сферической волны: а>>h, поэтому можно пренебречь h ² по сравнению с 2ah. Отсюда, имеем:

(21.9)

или

(21.10)

Так как соседние зоны Френеля ослабляют друг друга, то если на пути световой волны поставить пластинку, которая перекрывала бы только нечётные (или чётные) зоны, интенсивность света в точке М возрастёт. Такая пластинка называется зонной.

§ 21.4 Дифракция на щели в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера)

Пусть на щель падает плоская монохроматическая световая волна (рис. 21.5). За щелью поместим линзу, которая собирает лучи в своей фокальной плоскости. В этом случае интерферируют между собой параллельные лучи, распространяющиеся в данном направлении.

В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля освещенную щель можно рассматривать как множество точечных когерентных источников света, так что от каждой точки щели распространяются световые когерентные лучи по всем направлениям.

Выберем сначала направление, параллельное главной оптической оси линзы и совпадающее с первоначальным направлением лучей (рис. 21.5). Линза соберет лучи этого направления в своем главном фокусе F. Все эти лучи до точки схождения F проходят одинаковые оптические пути, поэтому они придут в одинаковой фазе и уси­лят друг друга.

Следовательно, в результате интерференции в главном фокусе линзы всегда наблюдается максимум света.

Рассмотрим теперь лучи, идущие под углом φ к первоначальному направлению распространения. Эти лучи линза L соберет в точке М экрана. Лучи когерентны, поэтому они будут интерферировать. Лучи до точки М прошли различные пути. Между лучами, идущими от крайних точечных источников, возникает разность хода,

Δ = a sin φ (21.11)

[a = АВ — ширина щели, АС - новый фронт волны для лучей, идущих под углом φ к первоначальному направлению].

Начиная от плоскости АС лучи не наберут разности фаз, так как до точки встречи их оптические пути одинаковы. Но до этой плоскости между лучами существует разность фаз.

Воспользуемся методом зон Френеля. Для определения числа зон Френеля поступим следующим образом; на отрезке ВС=Δ отложим отрезки, равные половине длины волны, и через эти точки проведем плоскости, параллельные АС. Эти плоскости разделят щель на зоны Френеля, которые в этом случае представляют собой полоски, параллельные краям щели. Из такого построения ясно, что разность хода лучей, идущих от двух соответствующих точек соседних зон Френеля, равна λ/2. На щели укладывается k зон Френеля:

или a sin φ = k λ/2

Если k — четное число (k = 2m), то на щели укладывается четное число зон Френеля, которые попарно гасят друг друга. В этом направлении будут минимумы света. Следовательно, условие минимумов

a sin φ = 2m λ/2 (m = 1, 2, 3,…) (21.12)

Если k — нечетное число (k = 2m +1), то в соответствующих направлениях получим максимум света; следовательно, условие максимумов

a sin φ = (2m+1) λ/2 (m = 1, 2, 3,…) (21.13)

При неизменной ширине щели максимумы света различной длины волны приходятся на различные углы. Если щель освещается белым светом, то нулевой (центральный) максимум φ = 0 будет белым, так как в этом направлении усиливаются все длины волн. По обе стороны от нулевого максимума расположатся максимумы первого порядка. Они будут цветными. Действительно, согласно формуле (21.12), красный свет (λ = 0,76 мкм) отклонится на больший угол, а фиолетовый (λ = 0,4 мкм) - на меньший. Между ними расположены остальные цвета спектра.