2. Динамика поступательного движения Лабораторная работа №2. Изучение законов равно-ускоренного движения на примере машины Атвуда

Цель работы: изучение основных законов кинематики и динамики поступательного движения, проверка законов равноускоренного движения и второго закона Ньютона, учет влияния силы трения, измерение ускорения свободного падения.

Оборудование.Экспериментальная установка «машина Атвуда», набор перегрузков, весы. На стержне установки укреплены три кронштейна: на верхнем и среднем установлены фотоэлектрические датчики Д1 и Д2. На нижнем кронштейне закреплены две металлические платформы с резиновыми амортизаторами. Система грузов удерживается в состоянии покоя при помощи электромагнита. Когда груз один из грузов проходит через верхний датчик Д1, включается секундомер, начинается отсчет времени. При прохождении груза через второй, нижний, датчик Д2 секундомер отключается, а на электронном табло фиксируется время движения. В этот же момент времени электромагнит Э фиксирует блок, и система грузов останавливается. Если установка исправна и правильно установлена, грузы не должны ударяться о платформы. Если это все же происходит, основание установки следует выставить строго горизонтально при помощи уровня, так, чтобы груз проходил через датчик Д2, не задевая его.

Теория эксперимента. Установка «машина Атвуда» позволяет изучать динамику равноускоренного движения при малом ускорении движения. Установка состоит из легкого блока, двигающегося с минимальным трением, перекинутой через блок легкой малорастяжимой нити, на которой подвешены два тела массы m. Если на одно из них положить добавочный груз (перегрузок) массы Δm, то система начнет двигаться с некоторым ускорением a. Проанализируем движение на основе второго закона Ньютона. Сравним два решения задачи и сделаем оценку: какой должна быть масса перегрузка Δm, чтобы можно было пренебречь силой трения.

Найдем ускорение, пренебрегая силой трения и массой блока. Пусть первый груз имеет массу (m+Δm), а второй – массу m. Запишем второй закон Ньютона для этих тел:

(1)

где - ускорение груза(m+Δm), - ускорение груза массыm. и- силы упругости, действующие на тела со стороны нитей. Запишем систему (1) в проекциях на оси координат, обозначенные на рис. 10 какy и y’:

(2)

Будем считать, что нить нерастяжима, масса блока равна нулю, а изменением натяжения вдоль нити можно пренебречь, тогда

(3)

(4)

Сложим два уравнения системы (4), получим выражение для ускорения:

. (5)

Из последнего уравнения видно, что если Δm<<m, то ускорение будет небольшим: a<<g. Увеличивая массу перегрузка Δm, можно увеличить ускорение системы.

Теперь будем учитывать силу трения и массу блока. Снова применим второй закон Ньютона для (m+Δm) и m. Система уравнений (1) останется в силе, как и система (2). Блок совершает вращательное движение. Уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

. (6)

Здесь - момент импульса блока,- сумма моментов внешних сил: сил натяжения нитейи силы трения блока об ось, имеющую радиусr. Проекция момента импульса блока из однородного материала на его ось:

, (7)

где J – момент инерции блока, - проекция угловой скорости на ось вращения. Блок имеет внешний радиусR, внутренний r, поэтому уравнение (6) примет вид:

. (8)

Пусть нить нерастяжима и невесома, и изменением натяжения вдоль нити можно пренебречь, тогда:

. (9)

Линейное ускорение грузов и угловое ускорение блока связаны формулой:

. (10)

Объединим уравнения (2) и (7) и учтем (9), получим систему уравнений:

(11)

Просуммируем первое и второе уравнения, и, с учетом третьего, тогда:

(12)

Если предположить, что сила трения пропорциональна сумме сил давления нитей на блок, а коэффициент трения равенμ, тогда:

. (13)

Из уравнения (12) можно найти ускорение движения грузов:

. (14)

В числителе (14) второе слагаемое является силой трения. Это означает, что если масса перегрузка

, (15)

то система грузов не сдвинется с места. Обычно коэффициент трения качения . Поэтому, грузы смогут прийти в движение при некоторой минимальной массеm₀, когда их массы связаны соотношением:

. (16)

Последнее выражение позволяет оценить трение в блоке. Если Δm₀=1г, а m=57г, то коэффициент трения качения блока. Обычно берут массу перегрузка, равную десяти массам перегрузка, при котором блок едва начинает вращаться: Δm=10Δm₀, тогда вторым членом в числителе формулы (14) можно пренебречь. Если масса m лежит в пределах: , то ускорениеa приблизительно пропорционально массе перегрузка Δm. В указанном диапазоне значений Δm силой трения можно пренебречь и применять формулу (5) для расчета ускорения. Пусть начальная скорость движения грузов равна нулю, тогда можно считать, что тела движутся по закону:

. (17)

Расстояние h каждое из них преодолеет за время:

. (18)

Если менять расстояние h между оптическими датчиками, то изменится и время движения t. Ускорение движения грузов a зависит также от массы перегрузка Δm, поэтому при заданном расстоянии h между датчиками, время движения будет определяться величиной Δm. В измерениях будет проверяться зависимость времени движения t от массы Δm и от высоты h.

Ход работы

1. При помощи весов найдите массы тел, закрепленных на одной нити машины Атвуда. Если это необходимо, к одному из грузов подберите добавочные малые тела, чтобы массы, подвешенные на одной нити, стали равными.

2. Определите минимальную массу перегрузка Δ, приводящего блок в движение. Это следует сделать в разных положениях блока и взять наибольшее значение. В дальнейших экспериментах следует использовать перегрузки, масса которых в5-10 раз превышает Δ.

3. Убедитесь, что грузы в машине Атвуда движутся равноускоренно. Для этого выполните экспериментальную проверку закона равноускоренного движения (17). Зависимость времени движения t от высоты падения h при постоянной массе Δm занесите в таблицу:

Таблица 1

h			t1	t2	t3	t4		Δm		Δm0

4. Найдите зависимость времени движения системы грузов от массы Δm перегрузка при постоянном расстоянии между датчиками. Перегрузок выбирайте так, чтобы пренебречь моментом инерции блока J и влиянием силы трения, равной : масса Δm должна лежать в пределах: . Значения занесите в таблицу

Таблица 2

Δm	m

Обработка результатов

Постройте график функции . Для этого по оси абсцисс отложите величину, по оси ординат – время движения:y=t. По тангенсу наклона прямой рассчитайте ускорение свободного падения. Найдите полную погрешность полученного значения величиныg.

Контрольные вопросы

1. В чем преимущество машины Атвуда при измерении ускорения свободного падения?

2. Оцените возможную абсолютную погрешность в определении g , если измерять его, свободно бросая тело сквозь систему двух оптических датчиков (при доступных в установке точности измерения времени и масштабах высоты).

3. Зависят ли значения силы натяжения нитей T₁ и T₂ в эксперименте от массы перегрузка ? Каким образом? Получите выражения для сил натяжения нитейT₁ и T₂..

4. Рассчитайте коэффициент трения μ.

5. Как в эксперименте можно учесть момент силы трения?

6. Каковы могут быть причины неучтенных погрешностей в эксперименте? Как оценить эти погрешности?

7. Пусть верхний датчик находится в середине колонны, так что груз проходит через него с ненулевой начальной скоростью. Можно ли применять для расчетов формулу (18)? Какой вид она должна принять в этом случае?

8. Построить качественно график зависимости времени движения от высоты падения, если груз проходит через верхний датчик с ненулевой скоростью

9. Зная силы натяжения нитей и силу трения, рассчитаqnt момент инерции блока J.

10. Пусть масса перегрузка Δm принимает значения, близкие к массе Δm₀. Построить график зависимости t=t(Δm).

11. Постройте графики зависимости кинетической энергии каждого из грузов от времени t.

12. Постройте графики зависимости кинетической энергии каждого из грузов от высоты h.

Литература: [1] - § 8, 9; [2] - § 32, 33; [3] - § 89.